中國原子能科學(xué)研究院 梁 浩

運動學(xué)擬合程序KFFitter設(shè)計

中國原子能科學(xué)研究院 梁 浩

根據(jù)運動學(xué)擬合的原理,用面向?qū)ο缶幊陶Z言C++，開發(fā)了運動學(xué)擬合程序KFFitter． KFFitter具有簡潔容易使用的應(yīng)用接口和容易拓展的程序設(shè)計．該程序只依賴于數(shù)據(jù)分析框架ROOT，基本上是自完備(self-contained)的，很容易嵌入ROOT腳本中．

末態(tài)重建；運動學(xué)擬合；拉格朗日乘子法

1. 簡介

在高能物理分析中，運動學(xué)擬合是常用的提高測量精度的手段。在高能物理分析中，將探測器重建的輸出粒子經(jīng)過噴注重建(jet clustering)，孤立輕子識別和初態(tài)光子識別后，被分析對象可以表示為噴注，孤立輕子或孤立光子。探測器重建能量動量時，重建算法沒有考慮母粒子的動量-能量關(guān)系，即，也沒有考慮反應(yīng)過程的能量動量守恒條件。當(dāng)考慮到測量的物理量的這些約束條件，可以對探測器重建的結(jié)果進行修正，以更接近真實值，從而提高測量精度。

我們開發(fā)了運動學(xué)擬合軟件KFFitter。KFFitter是一個基于ROOT和面向?qū)ο缶幊陶Z言C++的運動學(xué)擬合程序。KFFitter由于采用ROOT內(nèi)置的矩陣操作，因而依賴于ROOT。 KFFitter程序?qū)崿F(xiàn)簡潔緊湊，可以直接包含進ROOT的C++腳本中。類似的軟件包如MarlinKinf i t[1]采用C++開發(fā)，但是依賴于Marlin框架，不方便與ROOT協(xié)作；以及軟件包Telesis[2]采用了面向過程的編程語言Fortran。

下面將介紹KFFitter的原理和方法，程序結(jié)構(gòu)和運行結(jié)果。

2. 原理

運動學(xué)擬合采用一些模型無關(guān)的基本物理關(guān)系，來提供額外信息，即約束。在KFFitter中內(nèi)置了三種運動學(xué)約束：

2.1 如果某些粒子衰變自某一個已知質(zhì)量的粒子，那么這些粒子的總四動量的不變質(zhì)量必須為，即。

2.2 如果存在兩個同種類型粒子，但是該粒子的質(zhì)量的還沒有精確測量。那么兩個粒子子的衰變產(chǎn)物的四動量和的不變質(zhì)量相等，即。

2.3 如果反應(yīng)初態(tài)的四動量已經(jīng)知道，那么末態(tài)四動量之和也應(yīng)為，即。注意，這種情況下共四個被約束的自由度。

假設(shè)分析對象共有個粒子（包括噴注，孤立輕子和孤立光子）。第個粒子的探測器重建的四動量并不一定滿足這些約束條件。修正后的四動量應(yīng)該，在滿足約束條件的前提下，使得探測過程的似然度最高，其中為第個粒子的探測器重建的四動量的協(xié)方差。

我們采用參數(shù)來描述個粒子的能量和動量，其中。可以一般性的表示為，其中為的矩陣。總約束可以一般性的表示為，其中r為總被約束的自由度. 選取任意方便的參數(shù), 對上式做線性展開得到，其中

根據(jù)拉格朗日乘子法[3][4], 在上面約束條件下, 使得最小的解為，其中而。在上面的處理中，由于線性展開是近似的，因此最終結(jié)果也是近似的。為了使得約束方程嚴(yán)格成立，我們采用迭代算法：將上一步產(chǎn)生的, 當(dāng)做下一步的和；迭代這一過程直到或者迭代次數(shù)達到用戶指定的上限。

3. 程序結(jié)構(gòu)

KFFitter具有簡單易用的用戶接口。KFFitter具有關(guān)鍵的三個C++類：

3.1 KFParticle粒子類, 用于指定粒子的探測器重建的四動量和四動量的協(xié)方差.

3.2 KFConstrain 約束類, 是所有約束類的父類, 其子類實現(xiàn)不同類型的約束。其成員函數(shù)addParticle可以指定約束所作用的粒子。其三個子類KFMassContrain，KFMassEqualContrain和KF4MomentumContrain分別實現(xiàn)了第二節(jié)所描述的三種約束類型。

3.3 KFFitter 約束類, 調(diào)用KFParticle和KFConstrain的成員函數(shù)來統(tǒng)籌算法運行過程。其成員函數(shù)addParticle來指定所有參與擬合的粒子。調(diào)用其成員函數(shù)f i t可以進行擬合。

可見KFFitter只暴露高級的應(yīng)用接口給用戶，用戶不需要處理矩陣的向量。KFFitter自身，完成矩陣維度，矩陣元，參數(shù)向量與粒子動量能量影射等人工處理容易出錯的任務(wù)。另外容易被拓展，用戶只需要編寫KFContrain的派生類，即可添加新的物理約束。

4. 模擬以及擬合結(jié)果

我們在正負電子對撞機（CEPC）預(yù)研過程中的物理分析里，使用了KFFitter。我們分別對WW融合過程（）和希格斯輻射（）過程的模擬重建數(shù)據(jù)進行了運動學(xué)擬合。參與運動學(xué)擬合的對象共有兩個，即兩個噴注（對應(yīng)）。約束條件為兩個噴注的不變質(zhì)量等于希格斯粒子的質(zhì)量，即，其中和，分別為兩個噴注的能量和動量。

運動學(xué)擬合之前和運動學(xué)擬合之后，WW融合過程和希格斯輻射過程的反沖質(zhì)量譜如圖表 1和圖表 2所示，虛線表示希格斯輻射過程的反沖質(zhì)量，實線表示W(wǎng)W融合過程的的反沖質(zhì)量。反沖質(zhì)量由計算。對于希格斯輻射過程，的反沖質(zhì)量應(yīng)該為粒子的質(zhì)量。粒子的自然寬度. 當(dāng)沒有運動學(xué)擬合, 反沖質(zhì)量譜全高半寬約為；當(dāng)經(jīng)過運動學(xué)擬合，反沖質(zhì)量譜全高半寬約為。這表明經(jīng)過運動學(xué)擬合，噴注的四動量更接近真實值。

圖 表1 沒有經(jīng)過運動學(xué)擬合的反沖質(zhì)量譜

圖表 2 經(jīng)過運動學(xué)擬合的反沖質(zhì)量的譜

5. 結(jié)論

我們采用了C++編程語言，結(jié)合高能物理的需求，通過最大化似然度方法設(shè)計開發(fā)了運動學(xué)擬合程序KFFitter。KFFitter提供了簡潔易用的應(yīng)用界面，使得用戶免于低級的矩陣操作．KFFitter只依賴于ROOT，基本上自完備的. 最后通過實踐表明，KFFitter實現(xiàn)正確并具有實用價值。

[1]List B,List J. MarlinKinfit: An Object-Oriented Kinematic Fitting Package[J]. 2009.

[2]http://bes.ihep.ac.cn/bes2/software/BES-I/HTML/telesis.html

[3].Avery P.Applied Fitting Theory VI Formulas for Kinematic Fitting[J].CBX,1998.

[4]Yan L,Kang-Lin H E,Wei-Guo L I,et al.Lagrange multiplier method used in BESⅢ kinematic fitting[J].Chinese Physics C,2010, 34(2):204-209.