江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) (215512)

殷偉康

基于數(shù)學(xué)文化觀的“數(shù)列的概念”教學(xué)實(shí)踐與思考*

江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) (215512)

殷偉康

數(shù)學(xué)是一種文化，已逐步成為數(shù)學(xué)教育工作者的共識(shí).美國(guó)著名數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因認(rèn)為“數(shù)學(xué)文化應(yīng)該包括兩個(gè)方面：作為人類文化子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化，它所涉及的是數(shù)學(xué)與其他文化、與整個(gè)文明的關(guān)系；另一方面就是數(shù)學(xué)本身作為一個(gè)文化系統(tǒng)，它的發(fā)生、發(fā)展及其結(jié)構(gòu).”筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)文化作為一種基本的文化形態(tài)，是屬于科學(xué)文化范疇的，從系統(tǒng)觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)文化是一個(gè)以數(shù)學(xué)學(xué)科體系為核心，以數(shù)學(xué)思想、精神、知識(shí)、方法、技術(shù)、理論等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)部分的具有強(qiáng)大精神與物質(zhì)功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng).從物質(zhì)形態(tài)上看，“數(shù)學(xué)本身就是文化”，是以數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)發(fā)展為背景，以數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)教學(xué)為載體所展現(xiàn)的文化.從意識(shí)形態(tài)上看，“數(shù)學(xué)文化”是指蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程中的觀點(diǎn)、信念、態(tài)度和方法，是比數(shù)學(xué)成果更有價(jià)值的內(nèi)容.著力構(gòu)建數(shù)學(xué)文化的課堂，讓學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷、體驗(yàn)、感悟、欣賞與交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)，沐浴“數(shù)學(xué)文化”的陽(yáng)光，潛移默化地接受數(shù)學(xué)文化的感染和熏陶，產(chǎn)生數(shù)學(xué)文化的共鳴，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)出生命的活力.那么，如何使數(shù)學(xué)文化從理念走進(jìn)課堂，真正融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中？筆者以“數(shù)列的概念”為例，闡述數(shù)學(xué)文化觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考.

一、以史引趣，激發(fā)探究

情境1 數(shù)列3，6，12，24，48，96，192，…，這是一個(gè)非常平常的一列數(shù)，普魯士天文學(xué)家提丟斯運(yùn)用它作一個(gè)運(yùn)算：在這組數(shù)據(jù)前加上“0”得到“0，3，6，12，24，48，96，192，…”然后每個(gè)數(shù)加上4后，再將每個(gè)數(shù)除以10，得到一列數(shù)0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，16.9，…(這一列數(shù)中的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)之差組成新的一列數(shù)0.3，0.3，0.6，1.2，2.4，4.8，6.9，…)再把這一列數(shù)和太陽(yáng)到各行星的距離作比較，得到了下面結(jié)論：(單位為天文單位)

行星距離類別水星金星地球火星?木星土星?……實(shí)際距離0.390.721.01.52?5.29.5?……計(jì)算距離0.40.71.01.62.85.210.019.6……

觀察表格，發(fā)現(xiàn)第二組數(shù)與太陽(yáng)距離六大行星的實(shí)際距離有密切聯(lián)系，提丟斯就是利用這個(gè)表格預(yù)言了天王星的存在.1781年發(fā)現(xiàn)的天王星，證實(shí)了提丟斯的猜想，它到太陽(yáng)的距離為19.2個(gè)天文單位(19.2接近于19.6),使人們對(duì)提丟斯定則更加確信無(wú)疑.觀察上表，是否在距離太陽(yáng)約為2.8個(gè)天文單位的區(qū)域內(nèi)存在尚未被發(fā)現(xiàn)的行星？根據(jù)這一猜測(cè)，天文學(xué)家們開(kāi)始在此區(qū)域內(nèi)尋找.1801年意大利天文學(xué)家比亞茲，果然在這個(gè)距離發(fā)現(xiàn)了谷神星，它與太陽(yáng)的近似距離為2.7個(gè)天文單位.天文學(xué)家利用行星與太陽(yáng)之間的距離與這一數(shù)列的變化規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)的聯(lián)想和合情推理而研究發(fā)現(xiàn)了谷神星.由此可見(jiàn)，通過(guò)對(duì)這一組神奇的一列數(shù)的研究揭開(kāi)了宇宙運(yùn)行的神秘面紗.

設(shè)計(jì)意圖：教師注重開(kāi)發(fā)數(shù)列概念教學(xué)中的文化資源，運(yùn)用科學(xué)史上的真實(shí)故事，能極大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣熱情，從而為學(xué)好數(shù)列這一章奠定了情感基礎(chǔ)，激發(fā)了探究的欲望.

二、以史為鑒，創(chuàng)設(shè)情境

情境2 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過(guò)三角形數(shù)(如圖1)：1，3，6，10，15，…；類似地(如圖2)：1，4，9，16，25，…被稱為正方形數(shù).

相繼的三角形數(shù)之和為正方形數(shù)，類似地，相繼的正方形數(shù)之和為金字塔數(shù)1，5，14，30，55，….(用PPT展示畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成果，其中三角形數(shù)和正方形數(shù)在數(shù)學(xué)史上稱為“形數(shù)理論”，古代數(shù)學(xué)家用“形數(shù)理論”推導(dǎo)或證明了許多公式.)

圖1 圖2

情境4 某種細(xì)胞，如果每個(gè)細(xì)胞每小時(shí)分裂為2個(gè)，那么每過(guò)1小時(shí)，1個(gè)細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)依次為1，2，4，8，16，….

情境5 常熟市2015年2月16日至20日的全天最低氣溫(單位：攝氏度)依次是1.1，-1.2，2.3，-0.4，-0.8.

情境6 從1984年到2016年我國(guó)共參加了9次奧運(yùn)會(huì)，各次參賽獲得的金牌總數(shù)依次為15，5，16，16,28，32，51，38,26.

設(shè)計(jì)意圖：古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派崇尚“萬(wàn)物皆數(shù)”，并將數(shù)與圖形結(jié)合研究，通過(guò)介紹古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的三角形數(shù)與正方形數(shù)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史與切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的思考過(guò)程，感受數(shù)學(xué)文化的熏陶.展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的文化背景，是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的自然流露，使學(xué)生體會(huì)到其中的趣味性、文化性和思想性.

三、辨析探究，建構(gòu)概念

問(wèn)題1 請(qǐng)同學(xué)們觀察上面的幾組對(duì)象，這些對(duì)象有什么特點(diǎn)？

問(wèn)題2 從數(shù)的角度分析這幾組對(duì)象描述的語(yǔ)言中有何共同特點(diǎn)？如何表述？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察、討論、質(zhì)疑與交流，讓學(xué)生歸納出數(shù)列概念——按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.在數(shù)列概念形成過(guò)程中，讓學(xué)生感覺(jué)概念的生成自然而然，水到渠成.

問(wèn)題3 1，2，4是數(shù)列嗎？它與數(shù)列4，2，1是同一數(shù)列嗎？

問(wèn)題4 數(shù)列與我們學(xué)過(guò)的哪一個(gè)數(shù)學(xué)概念很像？它們一樣嗎？能總結(jié)出二者之間的區(qū)別嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)集合與數(shù)列進(jìn)行辨析，集合中的元素具有互異性，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不可以重復(fù)；數(shù)列中的項(xiàng)是數(shù)，而集合中的元素可以是數(shù)，也可以不是數(shù)；數(shù)列中的數(shù)是有次序的，而集合中的元素具有無(wú)序性.通過(guò)學(xué)生的判斷、辨析，加深對(duì)數(shù)列概念的理解.

四、類比探究，深化概念

問(wèn)題5 給定一個(gè)數(shù)列，應(yīng)能夠指明第一項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，……，每一項(xiàng)都是確定的，即指明項(xiàng)數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)就確定．所以數(shù)列中的每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與我們學(xué)過(guò)的什么有密切關(guān)系？

問(wèn)題6 你能用直觀的方法表示情境3、4中的數(shù)列嗎？它還有哪些表示方法？

問(wèn)題7 分別利用列表、圖像、公式表示同一個(gè)數(shù)列.這三種表示法的共同特征是什么？都涉及哪些量，它們之間有什么關(guān)系？

問(wèn)題8 數(shù)列是函數(shù)嗎？你能說(shuō)出為什么嗎？函數(shù)的要素是什么？類比函數(shù)可知，數(shù)列{an}中，什么相當(dāng)于函數(shù)的自變量？什么相當(dāng)于函數(shù)的因變量？

設(shè)計(jì)意圖：三種表示方法都反映了項(xiàng)與序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)n與an是逐一對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的最顯著的特征——單值對(duì)應(yīng)，由此可猜想數(shù)列是函數(shù)，顯得自然而然、水到渠成.引導(dǎo)學(xué)生類比映射和函數(shù)知識(shí)來(lái)研究數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：逐步揭示數(shù)列是函數(shù)的實(shí)質(zhì)，數(shù)列通項(xiàng)公式可看作是相應(yīng)函數(shù)的解析式，從而將數(shù)列概念成功納入到函數(shù)的概念體系中去，深化對(duì)數(shù)列概念本質(zhì)的理解.

問(wèn)題10 如圖3所示的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形.在下面4個(gè)三角形圖案中，白色的小三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

圖3

問(wèn)題11 設(shè)初始等邊三角形面積為1，白色三角形表示除去的面積，分別求出上述4個(gè)三角形圖案中黑色三角形的面積和周長(zhǎng)，若面積和周長(zhǎng)分別構(gòu)成數(shù)列{bn}、{cn}，請(qǐng)寫(xiě)出這二個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

問(wèn)題12 觀察數(shù)列{bn}和{cn}的變化趨勢(shì)，你能得出什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：1951年波蘭數(shù)學(xué)家謝賓斯基創(chuàng)造了一個(gè)美妙的藝術(shù)品“謝賓斯基三角形”.取一個(gè)實(shí)心的正三角形，三邊中點(diǎn)的連線將它分成四個(gè)小三角形，去掉中間的那個(gè)小三角形，對(duì)其余的小三角形重復(fù)以上步驟.以上步驟可以不斷重復(fù)，無(wú)限進(jìn)行下去，得到的圖形的面積趨于零，而它的周長(zhǎng)越趨近于無(wú)窮大(即小圖形的數(shù)目趨于無(wú)窮，作為小圖形的邊的線段數(shù)目趨于無(wú)窮).

五、教學(xué)反思，感悟提升

數(shù)學(xué)文化具有極強(qiáng)的內(nèi)在邏輯性、歷史發(fā)展的延續(xù)性和廣泛的外部聯(lián)系，教師要善于挖掘數(shù)學(xué)史料中有關(guān)數(shù)學(xué)概念的獨(dú)特文化背景，利用數(shù)學(xué)概念的背景或者產(chǎn)生的曲折歷程，對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行再加工，將其融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)之中，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更具數(shù)學(xué)魅力.

1.融入數(shù)學(xué)文化，激發(fā)探究欲望

“數(shù)列的概念”作為章節(jié)的第一課，更多地承載著傳遞數(shù)學(xué)文化的重任，有效地融入數(shù)學(xué)史料，營(yíng)造濃郁的數(shù)學(xué)文化氣息的課堂氛圍，能以豐富的數(shù)學(xué)文化給學(xué)生以美的享受和啟迪.因此，筆者以提丟斯數(shù)列引入課題，讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)的神奇，原來(lái)浩瀚的宇宙處處存在著數(shù)學(xué)規(guī)律，有利于激發(fā)學(xué)生探究欲望.這樣的課堂引入不僅直接引入課題，而且蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)文化元素，使數(shù)學(xué)課堂更具有濃厚的數(shù)學(xué)味道.問(wèn)題情境設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)文化背景，挖掘文化資源，如情境2介紹了古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究成果：三角形數(shù)與正方形數(shù)(平方數(shù))，并適當(dāng)進(jìn)行拓展，相似地，將平方數(shù)列相繼求和，則可得到金字塔數(shù)，使學(xué)生了解這些數(shù)列背后更深刻的文化意義，并從數(shù)學(xué)家身上看到富有啟發(fā)的數(shù)學(xué)思想、創(chuàng)新意識(shí)和理性精神.從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探究的興趣，提高數(shù)學(xué)思維的能力.

2.凸顯數(shù)學(xué)文化，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

特級(jí)教師俞昕認(rèn)為：在一定意義上，個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程具有與數(shù)學(xué)文化發(fā)展的相似性．因此，可以從數(shù)學(xué)文化曲折的發(fā)展路徑去洞察數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，為此課堂教學(xué)要凸顯數(shù)學(xué)文化，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化和探究知識(shí)過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化現(xiàn)象.在探究數(shù)學(xué)概念形成與發(fā)展過(guò)程中，要揭示數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法和觀點(diǎn)，展示數(shù)學(xué)概念中數(shù)學(xué)文化背景，才能更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解和領(lǐng)悟.如通過(guò)對(duì)問(wèn)題6-8的探究，引導(dǎo)學(xué)生類比研究函數(shù)的方法來(lái)研究數(shù)列，有利于學(xué)生辨清數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，領(lǐng)悟數(shù)列概念的本質(zhì)，并掌握運(yùn)用類比思想研究問(wèn)題的方法.

3.滲透數(shù)學(xué)文化，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)史是從一個(gè)側(cè)面反映了人類文化史，又是人類文明史的重要組成部分.對(duì)數(shù)學(xué)史料中的有關(guān)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行有效地選擇、重組、加工，結(jié)合知識(shí)的邏輯順序和學(xué)生的心理發(fā)生順序，設(shè)計(jì)成符合學(xué)生認(rèn)知水平和可探究的問(wèn)題情境.如對(duì)情境2和問(wèn)題10-12的探究，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究的各種多邊形數(shù)以及經(jīng)典的謝賓斯基三角形進(jìn)行探究，引領(lǐng)學(xué)生接受數(shù)學(xué)文化的洗禮與熏陶，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值．引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史中的數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行探究，這不僅是一種教材的“二次開(kāi)發(fā)”，更是一種數(shù)學(xué)文化的有效滲透，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

基于數(shù)學(xué)文化觀的課堂教學(xué)理念是：從“傳授數(shù)學(xué)知識(shí)”走向“傳播數(shù)學(xué)文化”，從數(shù)學(xué)文化的視角出發(fā)，結(jié)合學(xué)情，運(yùn)用數(shù)學(xué)史的有效融入方式，對(duì)教材進(jìn)行“二次開(kāi)發(fā)”，嘗試“重構(gòu)式”教學(xué)方法，將數(shù)學(xué)文化的精髓依附在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程之中.因此，在教學(xué)中，要注重創(chuàng)設(shè)以數(shù)學(xué)史料為背景的問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，再現(xiàn)數(shù)學(xué)歷史原貌，展示數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在獲得知識(shí)的過(guò)程中，體驗(yàn)其中蘊(yùn)含的思想方法，促進(jìn)學(xué)生去感悟和建構(gòu)數(shù)學(xué)新概念，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)文化的熏陶，提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[1]俞昕.平凡中閃耀出數(shù)學(xué)的本質(zhì)——賞析一堂常態(tài)課“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(3)：12-13．

[2]殷偉康.構(gòu)建數(shù)學(xué)文化課堂的思考與實(shí)踐[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究,2012(1)：2-5．

[3]吳進(jìn)，殷偉康.問(wèn)題引領(lǐng) 誘發(fā)探究 促進(jìn)建構(gòu)——數(shù)列的概念教學(xué)實(shí)錄與反思[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015(9)：34-37．

[4]袁芹芹.從“數(shù)列的概念”教學(xué)談數(shù)學(xué)課堂中的德育教育[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2014(6)：13-14．

本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”重點(diǎn)資助課題：構(gòu)建數(shù)學(xué)文化課堂的教學(xué)實(shí)踐研究(課題批準(zhǔn)號(hào)B-a/2013/02/069)研究成果之一.