任明生，卓澤朋，于瑞瑞

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

有限域上negabent函數(shù)的若干結論

任明生，卓澤朋，于瑞瑞

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

討論一類跡函數(shù)表示的布爾函數(shù)，利用negabent函數(shù)的已有結論，給出該類函數(shù)為negabent函數(shù)的充要條件.

布爾函數(shù)；互相關系數(shù)；negabent函數(shù)

0 引言

布爾函數(shù)在密碼學中扮演著重要的角色，特別是在對稱密碼學中.Rothaus［1］介紹一類bent函數(shù)，這類函數(shù)在密碼學和編碼理論中非常重要.雖然許多具體構造的bent函數(shù)是已知的，但是一般的bent函數(shù)的結構仍不清楚.

如果一個布爾函數(shù)的nega-Hadamard變換的絕對值都相等，那么稱其為negabent函數(shù).近年來，有很多關于negabent函數(shù)的研究成果［2-12］.Stanica等［5-10］給出nega-Hadamard變換特征的詳細結果，同時還給出negabent函數(shù)分解的一些結論；文獻［7］討論nega-Hadamard變換的結論；文獻［8］利用二次丟番圖積分方程研究negabent函數(shù)，給出判定函數(shù)是否為negabent函數(shù)的條件和間接構造negabent函數(shù)的方法；文獻［11］給出含有奇數(shù)或偶數(shù)個變量布爾函數(shù)是negabent函數(shù)的充要條件，同時給出一種構造negabent函數(shù)的方法.

1 預備知識

設F2表示只有兩個元素的有限域.n元布爾函數(shù)是映射 f：Fn2?F2，記Bn為所有n元布爾函數(shù)所組成的集合.整數(shù)集、實數(shù)集和復數(shù)集分別用Z，R和C表示.此外，R上的加法記為與Fn2的加法記作⊕，⊕i.元素x中1的個數(shù)稱為x的漢明重量，記為ωt(x)，即如果一個布爾函數(shù)的真值表包含相等個數(shù)的0和1，即：ωt(f)=2n-1，說這個布爾函數(shù)是平衡的.函數(shù) f(x)和g(x)的距離用d( f,g)表示，也就是 f⊕g，即：d(f,g)=ωt(f⊕g).

設布爾函數(shù) f(x)∈Bn，對于任意x=(x1,x2,…,xn)∈F2n，f(x)∈Bn的代數(shù)正規(guī)型（ANF）為

其中λu∈F2，u=(u1,u2,…,un)∈F2n；f(x)的代數(shù)次數(shù)deg(f)是ANF中變量最多的非零單項式的變元個數(shù).代數(shù)次數(shù)最多為1的布爾函數(shù)稱仿射函數(shù)，記作An.常數(shù)項為0的仿射函數(shù)叫做線性函數(shù).在F2n上的任何線性函數(shù)都可表示成

其中x,ω∈F2n.代數(shù)次數(shù)大于1的布爾函數(shù)，稱為非線性函數(shù).非線性n元函數(shù) f(x)的非線性度為nl(f)=ming∈An(d ( f,g ))，即到所有 n元仿射函數(shù)的最小漢明距離.如果 x=(x1,x2,…,xn)∈F2n和y=(y1,y2,…,yn)∈F2n,，定義的數(shù)量積（或內積）為x?y=x1y1⊕x2y2⊕…⊕xnyn.

f∈Bn在任何點ω∈Fn2的Walsh-Hadamard變換可表示為

f∈Bn在任何點ω∈Fn2的nega-Hadamard變換是復值函數(shù)：

對一個整數(shù)n，函數(shù) f∈Bn是bent函數(shù)當且僅當對所有ω∈Fn2.類似的，f是negabent函數(shù)當且僅當其中ω∈Fn2.如果 f是bent和negabent的，說 f是bent-negabent的.在兩種不同的傅立葉變換下，它們具有一些有趣的性質.

負互相關系數(shù) f和g在ω為：

f在ω上的負自相關系數(shù)為

定義1 設 f(x),g(x)∈Bn，f(x)和g(x)的負相關平方和指標定義為

如果 f=g，那么Δf,f稱為 f的負自相關平方和，即Δf=

注意到，NCf(0)=2n.因此，文獻［5，9，10］提到布爾函數(shù) f(x) ∈Bn是negabent函數(shù)當且僅當NCf(ω )=0，當所有ω∈F2n-{0}.因此，Δf≥22n,在等式成立當且僅當 f是negabent函數(shù).

2 negabent函數(shù)在有限域上的若干結果

本節(jié)討論定義在F2n上的布爾函數(shù)，并且描述這些函數(shù)的negabent性質.向量空間F2n通過在F2上選擇的一個基，可以看作與F2n是等同的.

設2是一個素數(shù)的冪，函數(shù)Tr:F2n→F2的定義為

有限域上的加法運算記作“+”.若選擇基{α1,α2,…,αn}是自對偶的，那么函數(shù)可表示為：

為了給出研究結果，先給出以下引理.

引理1［9，12］函數(shù) f2n:F2→F是negabent函數(shù)F2n當且僅當

對任意的ω∈F2*n，其中,F2*

n表示F2n上除0以外其他元素構成的一個乘法群.

文獻［13］研究semi-bent序列的具有多于一個跡形式的無限類.例如和本文提出negabent函數(shù)的一個充分且必要條件.

注意：當n為奇數(shù)（或偶數(shù)）時，若布爾函數(shù)的Walsh-Hadamard變換僅僅取，則稱為semi-bent函數(shù).

通過引理1，知道函數(shù) f是negabent函數(shù)當且僅當對任意的也即是

通過置換多項式的一些知識，也可給出negabent函數(shù)的一種刻畫.

定理2 設n為偶數(shù)，并按定理1的形式定義 f.那么 f是negabent函數(shù)當且僅當多項式上的置換多項式.

證明 由定理1，得到 f是negabent函數(shù)當且僅當ω2i+ω2n-i+ω2n-j+ω≠0對任意的，這意味著多項式在F2n上沒有非零根.注意到P(x)是線性多項式，且線性多項式若為置換多項式當且僅當沒有非零根.證畢.

［1］ROTHAUS O S.On“bent”functions［J］.Journal of Combinatorial Theory，1976，20（3）：300–305.

［2］PARKER M G，POTT A.On Boolean functions which are bent and negabent［C］//SABLAVROLLES D.International Conference on Sequences，Subsequences and Consequences.Berlin:Springer-Verlag，2007：9-23.

［3］SCHMIDT K U，PARKER M G，POTT A.Negabent functions in the Maiorana-McFarland class［C］//EMMANUELL Diaz. Sequences and Their Applications-Seta 2008.Lexington:Random House,2008:390-402.

［4］SARKAR S.On the symmetric negabent Boolean functions［C］//EMMANUELL Diaz.Progress in Cryptology-Indocrypt 2009.New Dechi:Springer-Verlag,2009:136-143.

［5］STANICA P，GANGOPADHYAY S，CHATURVEDI A，et al.Nega-Hadamard transform，bent and negabent functions［C］// SABLAVROLLES D.International Conference on Sequences and Their Applications.Berling:Springer-Verlag，2010：376-378.

［6］GANGOPADHYAY S，CHATURVEDI A.A new class of bent-negabent Boolean functions［J］.Iacr Cryptology Eprint Archive，2010，27（3）：32-35.

［7］卓澤朋，崇金鳳，魏仕民.Nega-Hadamard變換和negabent函數(shù)［J］.山東大學學報（理學版），2013，48（7）：29-32.

［8］REN Chunlun，LIU Fengmei，LI Zhongxian，et al.Some results about negabent functions［J］.Journal on Communications，2011,32（8）：179-182.

［9］SARKAR S.Characterizing negabent Boolean functions over finite fields［C］//SABLAVROLLES D.International Conference on Sequences and Their Applications.Berlin:Springer-Verlag,2012：77-88.

［10］STǎNICǎ P，GANGOPADHYAY S，CHATURVEDI A，et al.Investigations on bent and negabent functions via the nega-Hadamard transform［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2012，58（6）：4064-4072.

［11］SU Wei，POTT A，TANG Xiaohu.Characterization of negabent functions and construction of bent-negabent functions with maximum algebraic degree［J］.IEEE Transformation on Information Theory，2013，59（6）：3387-3395.

［12］SARKAR S.Some results on bent-negabent Boolean functions over finite fields［J］.Eprint Arixiv,2014,49(2):2164-2170.

［13］CHARPIN P，PASALIC E，TAVERNIER C.On bent and semi-bent quadratic Boolean functions［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2010，51（12）：4286-4298.

Some Results on Negabent Boolean Functions

REN Mingsheng，ZHUO Zepeng，YU Ruirui
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Discuss the trace function representation of Boolean function.Based on it，some properties on negabent functions are discussed.We present two necessary and sufficient conditions for the decision on negabent function.

Boolean function；cross-correlation coefficient；nega-crosscorrelation coefficient

TN 918.8

A

2095-0691（2017）01-0013-04

2016-08-18

安徽省自然科學基金資助項目（1608085MF143）；安徽高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目（gxyqZD2016112）

任明生（1992- ），男，安徽濉溪人，碩士生，研究方向：密碼學.通信作者：卓澤朋（1978- ），男，安徽靈璧人，教授，研究方向：密碼學.