谷佳

【摘要】重積分是定義在空間區(qū)域上的積分，是定積分的推廣及發(fā)展.其中二重積分與三重積分應(yīng)用最廣，它們的幾何意義也對(duì)今后的問(wèn)題研究有重大作用.

【關(guān)鍵詞】二重積分；三重積分；幾何意義

在微積分中有兩大重要計(jì)算——微分和積分兩種運(yùn)算，是數(shù)學(xué)學(xué)科中非常經(jīng)典的互逆運(yùn)算.在一元函數(shù)積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中可以了解到，定積分是某種確定形式的和的極限，把這種和式的極限的思想推廣到定義在區(qū)域上多元函數(shù)的情況，就得到重積分.

二重積分表示一種類型和式的極限D(zhuǎn)f（x，y）dσ=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi）Δσi，三重積分表示ωf（x，y，z）dV=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi，ξi）Δvi，其值均取決于被積函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)則和積分區(qū)域，而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān).連續(xù)是可積的充分條件.

二者的不同點(diǎn)是：二重積分的被積函數(shù)是定義在平面區(qū)域D上的二元函數(shù)，而三重積分的被積函數(shù)是定義在空間區(qū)域ω上的三元函數(shù).

一、重積分的概念

設(shè)D為Rn中可求得體積的有界閉區(qū)域.f（X）是在D上有定義的函數(shù).將D分割成互相沒(méi)有公共內(nèi)點(diǎn)的任意N個(gè)可求得體積的閉子域D1，D2，…，DN，記此分劃為Δ，以‖Δ‖表示諸Di的直徑中最大者，稱之為此分劃的模數(shù).任取點(diǎn)Xi∈Di，i=1，…，N，作和數(shù)∑Ni=1f（Xi）V（Di）.如果當(dāng)‖Δ‖→0時(shí)，上述和數(shù)的極限存在，我們就說(shuō)函數(shù)f（X）于閉區(qū)域D上可積，且稱該極限值為f（X）在D上的（n重）積分，記為∫Df（X）dV或∫Df（X）dX或∫D…∫f（x1，…，xn）dx1…dxn，其中f（X）稱為被積函數(shù)，D為積分區(qū)域.

通常的二重積分和三重積分分別表示為Df（X）dV和Df（X）dV.

二、重積分的幾何意義

（一）二重積分的幾何意義

設(shè)f（x，y）是二重積分的被積函數(shù)，則

（1）當(dāng)f（x，y）≥0時(shí)，Df（x，y）dσ表示以曲面z=f（x，y）為曲頂，以D為底的柱體體積，或者表示為以μ=f（x，y）為平面密度的薄片D的質(zhì)量.

（2）當(dāng)f（x，y）<0時(shí)，二重積分是柱體體積或平面薄片質(zhì)量的負(fù)值.

（3）當(dāng)f（x，y）在D上的某些部分區(qū)域上是正值，而在其余的部分區(qū)域上是負(fù)值，那么，f（x，y）在D上的二重積分就是這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.

例1運(yùn)用二重積分的幾何意義判斷下例積分的值.

DR2-x2-y2dσ，D：x2+y2≤R2.

解投影區(qū)域是圓域D：x2+y2≤R2，被積函數(shù)是半球面z=R2-x2-y2，依據(jù)二重積分的幾何意義，上述積分即是上半球體的體積：

DR2-x2-y2dσ=12·43πR3=23πR3.

當(dāng)我們計(jì)算給定的二重積分時(shí)，也要注意選擇合適的方法，如上題應(yīng)用二重積分的幾何意義就非常簡(jiǎn)便，但是如果依據(jù)尋常方法就會(huì)加大難度.

例如，用尋常方法解答上題：令x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤R，θ≤r≤2π.則DR2-x2-y2dxdy=∫R0∫2π0（R2-r2）·rdrdθ=23πR3.

（二）三重積分的幾何意義

設(shè)f（x，y，z）是三重積分的被積函數(shù)，則

（1）當(dāng)f（x，y，z）>0時(shí)，wf（x，y，z）dV表示體密度μ=f（x，y，z）的空間立體ω的質(zhì)量.

（2）當(dāng)f（x，y，z）<0時(shí)，三重積分表示立體質(zhì)量的負(fù)值.

（3）當(dāng)f（x，y，z）在ω上某些部分區(qū)域上是正值，而在其余的部分區(qū)域上是負(fù)值，那么，f（x，y，z）在ω上的三重積分就是這些部分區(qū)域上的立體質(zhì)量的代數(shù)和.

（4）當(dāng)f（x，y，z）=1時(shí)，就是其密度分布均勻且為1，質(zhì)量就等于其體積值.

（5）當(dāng)f（x，y，z）≠1時(shí)，說(shuō)明密度分布不均勻.

例2運(yùn)用三重積分求由z=x2+y2及z=x2+y2所圍成的立體的體積的值.

解用柱面坐標(biāo)計(jì)算，顯然兩曲面的交線為

三、結(jié)論

應(yīng)用重積分可求立體的體積及空間物體的質(zhì)量，還可求曲面的面積、立體的重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和物體之間的引力等.但是若在這些問(wèn)題中巧妙地運(yùn)用重積分的幾何意義，會(huì)使某些難以理解的問(wèn)題大大簡(jiǎn)化、清楚易懂.

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