郭宗明+張耀庭+樊劍+盧杰志+羅敏

摘 要：為了評(píng)估鋼筋混凝土（RC）構(gòu)件的損傷狀態(tài)，在Maltab中建立了基于剛度退化和纖維梁柱單元的損傷模型.首先在OpenSees中建立基于纖維梁柱單元的構(gòu)件、結(jié)構(gòu)數(shù)值分析模型，將分析模型所得到的纖維應(yīng)力、應(yīng)變值導(dǎo)入在Matlab中所建立的損傷模型，并計(jì)算纖維、截面、構(gòu)件的損傷值.所建立的損傷模型使用再加載剛度退化定義混凝土纖維的損傷，使用低周疲勞準(zhǔn)則定義鋼筋纖維的損傷，使用塑性應(yīng)變定義預(yù)應(yīng)力筋的損傷，并分別使用截面抗彎剛度退化、桿端抗彎剛度退化評(píng)估截面、構(gòu)件的損傷.最后，選取循環(huán)荷載作用下的一榀預(yù)應(yīng)力混凝土框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)，對(duì)所建立損傷模型的適用性進(jìn)行驗(yàn)證.結(jié)果表明：該損傷模型不僅可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)構(gòu)件的損傷狀態(tài)，而且可通過剛度組裝和靜力凝聚方法在各層次損傷指數(shù)間建立緊密的聯(lián)系.此外，所建立的損傷模型將來可被嵌入OpenSees，直接實(shí)現(xiàn)針對(duì)混凝土構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的損傷評(píng)估.

關(guān)鍵詞：剛度退化；纖維梁柱單元；靜力凝聚；損傷指數(shù)；鋼筋混凝土構(gòu)件

中圖分類號(hào)：TU375 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-2974（2017）03-0076-12DOI：10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.03.010

Abstract：To estimate the damage state of reinforced concrete （RC） members， a damage model was established based on stiffness degradation and fiber beam-column elements in Matlab. Firstly， the numerical analysis model of a member or a structure based on fiber beam-column elements was established in OpenSees， and the strains and stresses of fibers outputted by OpenSees were then read into the damage model established by Matlab， which estimated the damage values at fiber， section， and member levels. In the established model， fiber damages of concrete， reinforcing steel， and prestressing tendon were defined by the initial reloading modulus degradation， low-cycle fatigue law， and plastic strain， respectively. The section and member damage states were then evaluated by the degradation of the sectional bending stiffness and rod-end bending stiffness， respectively. The established model was verified by comparison with a structural test results of prestressed concrete frame subjected to cyclic loads. The results indicate that the damage model can determine its damage states accurately， and a close relationship between damage indices at various levels by using the direct stiffness method and static condensation method. Furthermore， the established damage model can be embedded in OpenSees to determine the damage states of RC members and structures directly in the future.

Key words：stiffness degradation； fiber beam-column element； static condensation； damage index； reinforced concrete member

作為基于性能地震工程的重要研究?jī)?nèi)容之一，結(jié)構(gòu)的損傷評(píng)估已成為土木工程領(lǐng)域的熱門研究課題.近幾十年來，多種適用于鋼筋混凝土構(gòu)件、結(jié)構(gòu)的損傷模型[1-5]相繼被提出.損傷模型通常使用損傷指數(shù)對(duì)損傷程度進(jìn)行量化，并被表示為某個(gè)或多個(gè)特定反應(yīng)參數(shù)的函數(shù)，這些反應(yīng)參數(shù)包括：應(yīng)力、位移、延性、剛度、滯回能等.

作為損傷模型常用的參數(shù)之一，剛度可以直接描述材料、截面、構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能.因此，基于剛度退化的損傷模型可用于評(píng)估上述各層次的損傷狀態(tài).不同的研究者已基于剛度退化提出可用于評(píng)估構(gòu)件、結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)的損傷模型.Ghobarah等[6]根據(jù)地震前后力位移曲線初始斜率的變化評(píng)估樓層、結(jié)構(gòu)的損傷； Kunnath等[7]使用割線剛度及加載前的切線剛度建立了適用于構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的損傷模型.目前基于剛度退化的損傷模型大多假設(shè)損傷集中在構(gòu)件的某些特定區(qū)域，并通過引入塑性鉸或其他類型的鉸體現(xiàn)上述假設(shè).但由于地震作用及結(jié)構(gòu)本身具有隨機(jī)性，造成損傷出現(xiàn)的位置帶有一定的隨機(jī)性.因此，這些損傷模型很難準(zhǔn)確地識(shí)別出損傷的具體位置及大小，甚至對(duì)構(gòu)件局部的損傷造成誤判.與集中損傷假設(shè)不同，纖維梁柱單元假設(shè)非彈性行為分布于整個(gè)單元，因此將纖維梁柱單元引入構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的損傷分析有望解決上述問題.

在基于纖維單元的損傷模型中，纖維損傷指數(shù)的定義是該方法的基礎(chǔ)，而如何建立各層次損傷指數(shù)的聯(lián)系則是該方法的關(guān)鍵.Tsuchiya等[8]使用斷裂系數(shù)定義混凝土的損傷，使用截面的平均斷裂系數(shù)定義截面損傷.Teng等[9]和Li等[10]使用最不利截面的平均損傷指數(shù)定義截面損傷.Heo[11]通過混凝土的應(yīng)力值定義其損傷指數(shù)，通過鋼筋的低周疲勞壽命定義其損傷指數(shù)，之后使用加權(quán)系數(shù)方法得到了構(gòu)件、結(jié)構(gòu)的損傷.李忠獻(xiàn)等[12]基于剛度退化和自由能退化線性組合評(píng)估鋼筋混凝土構(gòu)件的損傷.雖然上述損傷模型都引入了纖維單元計(jì)算各層次的損傷，但由于加權(quán)系數(shù)、平均值等方法的頻繁使用，不僅破壞了損傷指數(shù)與其物理意義的聯(lián)系，也在損傷轉(zhuǎn)化過程中引入了更多的不確定性.

為解決現(xiàn)有基于剛度退化的損傷模型和基于纖維單元的損傷模型所存在的不足，本文聯(lián)合使用剛度退化和纖維單元建立了新的損傷模型.同時(shí)，在各層次損傷指數(shù)的轉(zhuǎn)化過程中，使用了直接剛度法和靜力凝聚法.最后，選取循環(huán)荷載作用下的一榀預(yù)應(yīng)力混凝土框架，對(duì)所建立的損傷模型進(jìn)行驗(yàn)證，以確定所建立模型的可靠性并評(píng)估其損傷狀態(tài).

1 基于剛度退化和纖維單元損傷模型的建立

本文使用Simplified Chang and Mander Concrete模型[2， 13]、Modified Reinforcing Steel模型[14]和Hysteretic模型[14]分別描述混凝土、普通鋼筋和預(yù)應(yīng)力筋的力學(xué)行為.如圖1所示，首先使用OpenSees對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析，使用“recorder”命令輸出纖維的應(yīng)力、應(yīng)變.使用Matlab的“l(fā)oad”命令讀入纖維的應(yīng)力、應(yīng)變等數(shù)據(jù)，并通過在Matlab中建立的損傷模型計(jì)算纖維、截面、構(gòu)件等層次的損傷.其中，混凝土纖維使用再加載剛度的退化定義其損傷指數(shù)，鋼筋纖維使用低周疲勞準(zhǔn)則定義其損傷指數(shù)，預(yù)應(yīng)力筋使用塑性應(yīng)變定義其損傷指數(shù).之后，通過計(jì)算包含損傷纖維貢獻(xiàn)的截面抗彎剛度的退化定義截面的損傷.然后使用基于力的方法將截面有效剛度矩陣轉(zhuǎn)化為單元有效剛度矩陣，使用直接剛度方法和靜力凝聚方法將單元有效剛度矩陣轉(zhuǎn)化為只包含桿端自由度的構(gòu)件有效剛度矩陣，通過桿端抗彎剛度的退化定義單個(gè)構(gòu)件的損傷指數(shù).

若單根構(gòu)件只使用一個(gè)單元進(jìn)行模擬，則式（19）經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后可直接用于描述具有剛體位移模式的桿端力與桿端位移的關(guān)系.若單根構(gòu)件使用若干單元進(jìn)行模擬，則將所有單元有效剛度矩陣組裝成具有剛體位移模式的構(gòu)件有效剛度矩陣，使用靜力凝聚法去除內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的自由度.對(duì)于上述2種情況（如圖5所示），單根構(gòu)件桿端力Fmember與桿端變形dmember的關(guān)系都可以表示為：

2 損傷模型的驗(yàn)證

本文選取由孟少平[24]進(jìn)行擬靜力測(cè)試的一榀2層2跨預(yù)應(yīng)力混凝土框架對(duì)所建立的損傷模型進(jìn)行說明和驗(yàn)證.框架編號(hào)為PPCF-2，為保證節(jié)點(diǎn)不發(fā)生剪切破壞，在內(nèi)節(jié)點(diǎn)梁下加腋，其尺寸與配筋如圖6所示.測(cè)試過程中，恒定豎向荷載80 kN首先加在各梁的跨中，之后水平往復(fù)荷載作用在預(yù)應(yīng)力框架的各樓層上.水平荷載由力位移混合方法控制（如圖7所示），水平力在第一層、第二層的加載比例為1∶2.2.

預(yù)應(yīng)力混凝土梁數(shù)值分析模型由鋼筋混凝土梁、預(yù)應(yīng)力筋和連接鍵組成.每根鋼筋混凝土梁被劃分為6個(gè)單元，每個(gè)梁?jiǎn)卧?個(gè)Gauss-Lobatto積分點(diǎn).使用6段直線線型擬合預(yù)應(yīng)力筋曲線線型，并使用Hysteretic模型模擬預(yù)應(yīng)力筋的滯回性能，預(yù)應(yīng)力筋的有效預(yù)應(yīng)力值為839 N/ mm2.連接鍵為剛臂連接，以實(shí)現(xiàn)預(yù)應(yīng)力筋結(jié)點(diǎn)與鋼筋混凝土梁相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的自由度耦合.預(yù)應(yīng)力構(gòu)件的建模細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[25].每根鋼筋混凝土柱被劃分為3個(gè)單元，每個(gè)柱單元包含5個(gè)Gauss-Lobatto積分點(diǎn).梁、柱編號(hào)如圖8所示.鋼筋混凝土梁截面被劃分為6×10根纖維（圖9（a）），鋼筋混凝土柱截面被劃分為10×10根纖維（圖9（b））.混凝土和鋼筋的本構(gòu)被定義在纖維上.選用Concrete07材料模型，即Simplified Chang and Mander模型，模擬約束和非約束混凝土纖維的滯回性能.選用Modified Reinforcing Steel材料模型模擬鋼筋的滯回行為.數(shù)值仿真模型中，鋼筋與混凝土所采用的力學(xué)參數(shù)見表1.預(yù)應(yīng)力混凝土框架基底剪力頂層位移的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果如圖10所示，結(jié)果表明模擬與實(shí)驗(yàn)吻合得較好，因此所建立的纖維分析模型可用于評(píng)估預(yù)應(yīng)力混凝土框架的損傷.

使用所建立的損傷模型可以觀察到混凝土纖維的損傷發(fā)展過程.選取梁Beam 11最左側(cè)單元中的第2個(gè)截面Sec1（圖8）中的混凝土纖維C1，C2和C3的受壓損傷說明這一發(fā)展過程（如圖11所示）.由于C2更靠近梁的外側(cè)，所以與C1（如圖12 （a）所示）相比C2所經(jīng)受的壓應(yīng)變更大（如圖12 （b）所示），C1的損傷指數(shù)值要比C2大.對(duì)于局部y坐標(biāo)值相同的C2和C3，由于側(cè)向約束效應(yīng)的影響，C2的應(yīng)力應(yīng)變性能得到改善（如圖12 （b）（c）所示），C3的損傷指數(shù)值比C2大.

選取梁Beam 11最左側(cè)單元中的第2個(gè)截面Sec1和第3個(gè)截面Sec2 （圖8）中局部坐標(biāo)相同的鋼筋纖維Rs，分別記為Rs1和Rs2，觀察其損傷發(fā)展過程（圖13）.由于Rs1更靠近梁端，所經(jīng)歷的應(yīng)變幅值更大（圖14），所以Rs1的損傷值比Rs2大.

選取梁Beam 11最左側(cè)單元中的第2個(gè)截面Sec1 （圖8）中的預(yù)應(yīng)力鋼筋纖維Pt（記為Pt1）說明其損傷發(fā)展過程（圖15）.從圖16可以看出，預(yù)應(yīng)力筋Pt1經(jīng)歷了塑性應(yīng)變，其最大應(yīng)變值為0.012 6（圖16），最大損傷值達(dá)到0.123 4.

在恒定豎向荷載作用下，預(yù)應(yīng)力混凝土框架PPCF-2經(jīng)歷了31次水平加載循環(huán).選取其中的7個(gè)加載點(diǎn)（如圖17所示），說明PPCF-2梁柱各截面的損傷發(fā)展過程.跨中豎向荷載加載至80 kN后（加載點(diǎn) A），各層梁的跨中、兩端出現(xiàn)23條彎曲裂縫，如圖17（a）所示各層梁的跨中、兩端出現(xiàn)了明顯的損傷.第3個(gè)水平加載循環(huán)結(jié)束后（加載點(diǎn)B），上、下各層梁端均出現(xiàn)豎向彎曲裂縫，如圖17（b）所示各層梁兩端的損傷發(fā)展比較迅速.第5個(gè)水平加載循環(huán)結(jié)束后（加載點(diǎn)C），Beam 11 和 Beam 21左側(cè)出現(xiàn)少量新的正彎曲裂縫、已有裂縫進(jìn)一步延伸，此時(shí)Beam 11 和 Beam 21左側(cè)的損傷有了明顯的發(fā)展（如圖17（c）所示），兩根梁截面的最大損傷值分別達(dá)到0.581 0和0.615 4.該加載步結(jié)束時(shí)，Column 22 的兩端出現(xiàn)了水平裂縫，Column 23 的頂端出現(xiàn)微裂縫，這些現(xiàn)象與圖17（c）相吻合.從第5個(gè)加載循環(huán)結(jié)束至第14個(gè)加載循環(huán)結(jié)束（加載點(diǎn)C→加載點(diǎn)E）的過程中，梁端已有彎曲裂縫不斷延伸，Beam 11和Beam 21左端與Beam 12和Beam 22右端的非預(yù)應(yīng)力筋屈服，柱底出現(xiàn)水平裂縫且中柱開始出鉸.此過程中，預(yù)應(yīng)力框架的損傷發(fā)展與圖17（d）（e）一致.之后，梁端與柱端的塑性鉸進(jìn)一步發(fā)展，至第25個(gè)水平加載循環(huán)結(jié)束后（加載點(diǎn)F），梁端塑性鉸截面保護(hù)層混凝土被壓碎，底層柱根部混凝土被局部壓酥，這些現(xiàn)象與圖17（f）相吻合.整個(gè)加載結(jié)束時(shí)，梁端塑性鉸已經(jīng)歷較大轉(zhuǎn)動(dòng)，裂縫開展明顯，底層柱根部混凝土局部剝落（如圖18所示），最終破壞形態(tài)與圖17（g）一致.

通過分析各層構(gòu)件的損傷發(fā)展過程（如圖19所示），可以發(fā)現(xiàn)：整個(gè)加載過程中，梁的損傷指數(shù)值大于邊柱的損傷指數(shù)值；加載結(jié)束時(shí)，一層邊柱、中柱的損傷指數(shù)值與梁的損傷指數(shù)值比較接近，二層中柱的損傷指數(shù)值與梁的損傷指數(shù)值比較接近，邊柱損傷指數(shù)值較小.以上結(jié)果與預(yù)應(yīng)力框架PPCF-2預(yù)期破壞形態(tài)相符（如圖18所示），也與其“混合耗能”設(shè)計(jì)準(zhǔn)則相符，即：邊節(jié)點(diǎn)采用“強(qiáng)柱弱梁”設(shè)計(jì)，內(nèi)節(jié)點(diǎn)采用“強(qiáng)梁弱柱”設(shè)計(jì).說明所建立的損傷模型可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)構(gòu)件的損傷狀態(tài)，并可用于確定結(jié)構(gòu)的失效路徑及預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的失效模式.

3 結(jié) 論

為了實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確地確定鋼筋混凝土構(gòu)件的損傷狀態(tài)，本文基于剛度退化和纖維單元，利用OpenSees得到的加載過程中材料的應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)值，在Maltab中建立了一個(gè)適用于鋼筋混凝土構(gòu)件的損傷模型.將所建立的損傷模型應(yīng)用于循環(huán)荷載作用下的一榀預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的分析，以對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證.基于本文研究，可得到如下結(jié)論：

1）預(yù)應(yīng)力混凝土框架的損傷計(jì)算結(jié)果表明，所建立的損傷模型可以準(zhǔn)確確定混凝土、鋼筋和預(yù)應(yīng)力筋的損傷值，并確定截面、構(gòu)件的損傷位置、損傷狀態(tài)，并據(jù)此確定結(jié)構(gòu)的失效路徑、預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的失效模式.

2）由于本文所提出的損傷模型將纖維的剛度退化和有效面積作為計(jì)算的基礎(chǔ)，在不引入截面、構(gòu)件層次力位移關(guān)系的條件下，即可評(píng)估截面、構(gòu)件的損傷， 因此，所提出的模型可以不引入加權(quán)系數(shù)，而利用有限元中的方法（直接剛度法、靜力凝聚法）準(zhǔn)確地確定各層次的損傷，減少了各層次損傷指數(shù)在轉(zhuǎn)化過程中的不確定性.

3）靜力凝聚法不僅減少了計(jì)算自由度、考慮了內(nèi)部損傷的影響，為直接剛度法的使用提供了便利，也為損傷模型的簡(jiǎn)便、定量地實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提供了理論依據(jù).

該模型完善了OpenSees中針對(duì)構(gòu)件的損傷評(píng)估功能，為地震作用下大型結(jié)構(gòu)多層次損傷評(píng)估打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).然而，該模型還存在一些局限性.如：沒有考慮混凝土受壓損傷和受拉損傷之間的相互影響，未考慮縱向鋼筋的非彈性屈曲效應(yīng)，也未考慮預(yù)應(yīng)力筋低周疲勞損傷.除了應(yīng)優(yōu)化混凝土、鋼筋及預(yù)應(yīng)力筋的損傷模型，未來的研究也應(yīng)確定樓層、結(jié)構(gòu)的損傷指數(shù)及不同損傷等級(jí)所對(duì)應(yīng)的損傷指數(shù)范圍，為所建立的損傷模型應(yīng)用于構(gòu)件及結(jié)構(gòu)的損傷評(píng)估提供依據(jù).

參考文獻(xiàn)

[1] PARK Y， ANG A. Mechanistic seismic damage model for reinforced concrete[J]. Journal of Structural Engineering， 1985， 111（4）： 722-739.

[2] MANDER J B， CHENG C. Renewable hinge detailing for bridge columns [C]//Proceedings of Pacific Conference on Earthquake Engineering. Melbourne， Australia： Australian Earthquake Engineering Society， 1995： 197-206.

[3] GHOBARAH A. Performance-based design in earthquake engineering： state of development[J]. Engineering Structures， 2001， 23（8）： 878-884.

[4] 陳清軍，周成杰，楊永勝. 基于環(huán)境振動(dòng)信號(hào)的框架結(jié)構(gòu)震后損傷識(shí)別[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版， 2014， 41（9）： 20-26.

CHEN Qingjun， ZHOU Chengjie， YANG Yongsheng. Damage identification of frame structure after earthquakes based on environmental vibration records[J].Journal of Hunan University：Natural Sciences， 2014， 41（9）： 20-26. （In Chinese）

[5] YAZGAN U， DAZIO A. Post-earthquake damage assessment using residual displacements[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics， 2012， 41（8）： 1257-1276.

[6] GHOBARAH A， ABOU-ELFATH H， BIDDAH A. Response-based damage assessment of structures[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics， 1999， 28（1）： 79-104.

[7] KUNNATH S K， EL-BAHY A， TAYLOR A W， et al. Cumulative seismic damage of reinforced concrete bridge piers[R]. Buffalo， NY： US National Center for Earthquake Engineering Research， 1997： 111-128.

[8] TSUCHIYA S， MAEKAWA K. Cross-sectional damage index for RC beam-column members subjected to multi-axial flexure[J]. Journal of Advanced Concrete Technology， 2006， 4（1）： 179-192.

[9] TENG J， LI Z， OU J， et al. Fiber damage analysis model for RC beam-column based on EEP super-convergent computation[J]. Science China Technological Sciences， 2011， 54（10）： 2542-2548.

[10]LI Z， TENG J， HE X. Seismic damage analysis model for RC structures based on concrete plastic damage model [C]//Proceedings of Structures Congress 2011. Las Vegas， Nevada： American Society of Civil Engineers， 2011： 2768-2779.

[11]HEO Y. Framework for damage-based probabilistic seismic performance evaluation of reinforced concrete frames[D]. Ann Arbor： University of California， Davis， 2009： 92-119.

[12]李忠獻(xiàn)，陳宇，李寧. 基于材料損傷的鋼筋混凝土構(gòu)件損傷模型[J]. 工程力學(xué)， 2014， 31（6）： 53-59.

LI Zhongxian ， CHEN Yu ， LI Ning. A damage model for reinforced concrete members based on material damage[J]. Engineering Mechanics， 2014，31（6）： 53-59. （In Chinese）

[13]WAUGH J D. Nonlinear analysis of T-shaped concrete walls subjected to multi-directional displacements[D]. Ames， Iowa： Department of Civil， Construction， and Environmental Engineering， Iowa State University， 2011： 36-67.

[14]MAZZONI S， MCKENNA F， SCOTT M H， et al. OpenSees command language manual[R]. Berkeley， California： Pacific Earthquake Engineering Research Center， 2006： 131-147.

[15]KOH S K， STEPHENS R I. Mean stress effects on low cycle fatigue for a high strength steel[J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures， 1991， 14（4）： 413-428.

[16]MINER M A. Cumulative damage in fatigue[J]. Journal of Applied Mechanics， 1945， 12： A159-A164.

[17]張耀庭，趙璧歸，杜曉菊，等. 基于纖維模型的 RC 結(jié)構(gòu)的鋼筋本構(gòu)關(guān)系研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版， 2015，42（9）： 23-32.

ZHANG Yaoting， ZHAO Bigui， DU Xiaoju， et al. Research on the constitutive model of steel for reinforced concrete structures based on the fiber model[J].Journal of Hunan University： Natural Sciences， 2015，42（9）： 23-32. （In Chinese）

[18]DODD L， RESTREPO-POSADA J. Model for predicting cyclic behavior of reinforcing steel[J]. Journal of Structural Engineering， 1995， 121（3）： 433-445.

[19]MANSOUR M， LEE J， HSU T T. Cyclic stress-strain curves of concrete and steel bars in membrane elements[J]. Journal of Structural Engineering， 2001， 127（12）： 1402-1411.

[20]HSU T T， MO Y. Unified theory of concrete structures[M]. Chichester， United Kingdom： John Wiley & Sons， 2010： 381-410.

[21]VAN PAEPEGEM W， DECHAENE R， DEGRIECK J. Nonlinear correction to the bending stiffness of a damaged composite beam[J]. Composite Structures， 2005， 67（3）： 359-364.

[22]LI S， ZHAI C， XIE L. Evaluation of displacement-based， force-based and plastic hinge elements for structural non-linear static analysis[J]. Advances in Structural Engineering， 2012， 15（3）： 477-488.

[23]WELFERT B D. A note on classical Gauss-Radau and Gauss-Lobatto quadratures[J]. Applied Numerical Mathematics， 2010， 60（6）： 637-644.

[24]孟少平. 預(yù)應(yīng)力混凝土框架結(jié)構(gòu)抗震能力及設(shè)計(jì)方法的研究[D]. 南京：東南大學(xué)土木工程學(xué)院， 2000：74-89.

MENG Shaoping. Study on capacity and design approach of prestressed concrete frame structures for seismic resistance [D]. Nanjing： School of Civil Engineering， Southeast University， 2000： 74-89. （In Chinese）

[25]郭宗明，張耀庭，盧杰志，等. 基于纖維單元的預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件非線性有限元分析模型研究[C]//第24屆全國(guó)結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集. 北京： 中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)， 2015： I368-I376.

GUO Zongming， ZHANG Yaoting， LU Jiezhi， et al. A study on the nonlinear finite element analytical model for prestressed concrete members based on OpenSees [C] //Proceeding of the 24th National Conference on Structural Engineering. Beijing： The Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics， 2015： I368-I376.