許翔鵬，黃 海，黃 舟

(1.北京航空航天大學(xué)，北京100191;2.中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽621999)

基于自適應(yīng)算法的Stewart平臺微振動低頻激勵控制研究

許翔鵬1，黃 海1，黃 舟2

(1.北京航空航天大學(xué)，北京100191;2.中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽621999)

針對空間微振動環(huán)境模擬的需求，以Stewart平臺為對象，研究低頻微振動激勵控制.傳統(tǒng)定增益控制器需要反復(fù)調(diào)節(jié)參數(shù)來獲取滿意的系統(tǒng)輸出，同時由于摩擦等因素引起的非線性現(xiàn)象，導(dǎo)致難以在低頻段建立精確的系統(tǒng)模型，以上問題均給控制器的設(shè)計帶來困難.為此，設(shè)計一種自適應(yīng)控制器加傳統(tǒng)PID控制器的控制方案，并針對自適應(yīng)控制器對于非參數(shù)不確定性等因素敏感的問題，采用dead-zone技術(shù)對自適應(yīng)律進行修正，以提高控制器的魯棒性.將此算法應(yīng)用于Stewart微激勵控制系統(tǒng)中，實驗結(jié)果表明系統(tǒng)平臺可以很好的輸出單自由度與多自由度低頻正弦激勵，驗證控制器在實際工程中的有效性.

自適應(yīng)控制器;魯棒性;Stewart平臺;低頻激勵

0 引言

隨著相機、望遠鏡、傳感器等精密星載設(shè)備精度要求的不斷提高，太空環(huán)境中的微振動干擾對于星載精密設(shè)備的影響越來越受到工程界的重視.研究表明［1］在太空微重力的環(huán)境存在大量低頻的微振動現(xiàn)象，振動頻率主要分布在0.1～10 Hz之間，特別在1 Hz附近的振動量級可以到達10 mg左右，因此在星載設(shè)備發(fā)射到太空之前，對設(shè)備進行微激勵低頻實驗十分必要.振動實驗多采用單軸激勵方式，但是在實際工作中，星載設(shè)備受到的振動是多自由度的，單軸振動實驗并不能有效模擬太空振動環(huán)境.多軸振動實驗對于星載精密儀器是更為有效的評價手段，但中國由于缺少實驗設(shè)備、試驗方法以及相應(yīng)的試驗規(guī)范，多軸振動實驗尚未納入航天器設(shè)計和驗證流程［2］.因此，研制多自由度微激勵系統(tǒng)平臺以及相應(yīng)的振動控制算法具有重要意義.

Stewart平臺是一種六自由度并聯(lián)機構(gòu)，具有定位精度高、剛度大、承載能力強、動態(tài)性能好等特點，被廣泛應(yīng)用于工程中的各個領(lǐng)域［3］.美國空軍實驗室的高頻振動臺［4］及MTS公司的 Model 353振動臺均采用了Stewart構(gòu)型.這類平臺具有多軸運動的能力，能夠同時產(chǎn)生六自由度的振動信號，可以更好地模擬精密設(shè)備的振動環(huán)境.對于Stewart多自由度微激勵系統(tǒng)，如何有效控制其產(chǎn)生期望的振動信號是研究的重點.國內(nèi)外學(xué)者在激振平臺的控制方面進行了大量研究，三參量控制(three variable control，TVC)是控制激振臺的一種方法，其中“三參量”代表振動臺的位移、速度和加速度，三參量控制可以分為前饋部分和反饋部分，兩部分的增益可以獨立調(diào)節(jié)［5］.1984年，日本三菱公司成功研制出6m×6m的三向六自由度大型地震臺，首次采用三參量控制方法實現(xiàn)了液壓振動試驗系統(tǒng)的加速度控制，之后該方法便得到了廣泛的應(yīng)用，但這種算法需要對其中的六個參數(shù)反復(fù)手動調(diào)節(jié)，使用時比較不便.幅值相位控制是一種自適應(yīng)控制方法，可實現(xiàn)對正弦信號幅值和相位的跟蹤，這種方法以一個正弦信號和它的一個90°相角延時信號的加權(quán)和作為輸入信號，將誤差反饋到一個最小均方(LMS)控制器中以調(diào)節(jié)權(quán)系數(shù)，最終使這個誤差趨于零，但是此種方法只有一個權(quán)系數(shù)可調(diào)，系統(tǒng)的收斂過程較慢［6］.

基于以上控制問題，本文提出了一種多個參數(shù)可調(diào)的自適應(yīng)控制器，該控制器不需要任何關(guān)于模型的先驗知識同時又不需要反復(fù)手動調(diào)節(jié)增益參數(shù)，通過在線的實時適應(yīng)使系統(tǒng)輸出信號與參考信號一致.最后在多自由度微激勵控制系統(tǒng)中進行實驗驗證，實驗表明該控制器對于多自由度微激勵控制系統(tǒng)有著良好的控制效果，驗證了該控制器在實際工程中的有效性.

1 控制器的設(shè)計

微激勵振動臺低頻控制中存在著摩擦等非線性因素的干擾，增加了控制器設(shè)計的難度.實際工程中系統(tǒng)的動力學(xué)特性通常是隨時間變化的，在控制過程中系統(tǒng)可能會出現(xiàn)參數(shù)的變化，傳統(tǒng)定增益控制無法處理好此類問題.除此之外，很多控制器的設(shè)計過程需要建立精確的系統(tǒng)模型，工程實際難以實現(xiàn).為了解決上述問題，本文設(shè)計自適應(yīng)控制器加傳統(tǒng)PID控制器的控制方案，該方案不需要任何關(guān)于系統(tǒng)的先驗知識，并且在實驗過程中不需要調(diào)節(jié)任何控制參數(shù).

本文設(shè)計的控制器由自適應(yīng)控制器和傳統(tǒng)PID控制器兩部分構(gòu)成.其中，自適應(yīng)控制器的控制律為

式中ua(t)為自適應(yīng)控制器的控制信號，Kr，K為自適應(yīng)增益系數(shù)，r(t)為輸入信號，y(t)為輸出信號，參考模型可為一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)，本文進行了進一步簡化將模型取為單位1，自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of the adaptive controller

定理1.如果兩個信號e與φ建立如下動力學(xué)關(guān)系:

式中，e(t)為標量輸出信號，H(s)是一個嚴格正定的傳遞函數(shù)，k是一個知道正負的常數(shù)，φ(t)是m×1關(guān)于時間的向量函數(shù)，v(t)是m×1的觀測向量，如果向量φ如式(3)變化

如果γ為正的常數(shù)，那么e(t)和φ(t)全局有界.如果v(t)也是有界的，那么當t→∞時，e(t)→0.

證明.用狀態(tài)空間來表示動力學(xué)關(guān)系式(2)

根據(jù)Kalman-Yakubovich引理可知，由于H(s)是嚴格正定傳遞函數(shù)，給定一個對稱正定的矩陣Q，存在另一個對稱正定矩陣P滿足以下關(guān)系:

構(gòu)造李雅譜諾夫函數(shù)

對式(8)求導(dǎo)可得

因此由式(1)～(2)定義的系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，式(8)～(9)表明e和φ是全局有界的.

根據(jù)定理1本文的自適應(yīng)律如式(11)

式中，Kr為輸入信號的自適應(yīng)增益系數(shù)，K為系統(tǒng)輸出的自適應(yīng)增益系數(shù)，α，β分別為自適應(yīng)律中的增益系數(shù).自適應(yīng)律是針對連續(xù)系統(tǒng)設(shè)計的，但是在實際過程中需要將連續(xù)的自適應(yīng)律轉(zhuǎn)化成離散的自適應(yīng)律，當系統(tǒng)采樣頻率很高時，可以將連續(xù)的自適應(yīng)律直接應(yīng)用到離散系統(tǒng)中.在實現(xiàn)的過程中可以通過數(shù)值積分的形式得到離散自適應(yīng)律表達式，本文通過采用梯形積分公式得出自適應(yīng)律的遞推表達式如式(12)所示:

式中，N代表采樣間隔，Ts為采樣周期.除此之外，該控制算法的計算量較小，所以控制器的采樣頻率很高，可直接將離散的自適應(yīng)律應(yīng)用到實際控制器中.

自適應(yīng)控制算法考慮的僅僅是參數(shù)不確定性，但是實際系統(tǒng)有著很多非參數(shù)不確定性因素，例如低頻運動過程中的摩擦、傳感器的觀測噪聲、計算的截斷誤差等.這些非參數(shù)不確定性因素會導(dǎo)致自適應(yīng)控制器出現(xiàn)參數(shù)漂移的問題最終導(dǎo)致系統(tǒng)的突然發(fā)散.因此提高自適應(yīng)控制器的魯棒性是必須解決的問題，其中死區(qū)和σ-modification是提高控制器魯棒性的兩種措施［8-9］.本文采用了dead-zone技術(shù)對自適應(yīng)律進行了修正，可以有效解決自適應(yīng)控制器中參數(shù)漂移的問題，即給誤差一個閾值，當誤差絕對值小于Δ，自適應(yīng)律不再更新，反之需要繼續(xù)適應(yīng)，修正后的自適應(yīng)律如下.

綜上，本文設(shè)計自適應(yīng)控制器的控制律如式(1)，自適應(yīng)律如式(13)所示.除此之外本文又采取了自適應(yīng)控制器與傳統(tǒng)PID控制器結(jié)合的方式對系統(tǒng)進行控制如圖2所示.

圖2 控制器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The structure of the controller

因此總的控制律如(14)式所示

基于以上設(shè)計的控制器，本文進行了基于MATLAB/Simulink模型仿真，由于作動器系統(tǒng)采用位移傳感器(linear variable differential transformer，LVDT)，故本作動器系統(tǒng)可以等效成一個二階系統(tǒng)，仿真過程中的模型為二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

為了更好地表明本文控制器在解決模型參數(shù)不確定性上的優(yōu)勢，本文設(shè)計仿真系統(tǒng)的參數(shù)如下:其中ωn=40×π×(1±50%)，ξ=0.1×(1±50%)，參考信號為0.1～1 Hz以幅值1mm進行掃頻，1～4 Hz幅值以頻率平方衰減的形式進行掃頻，同時在系統(tǒng)輸出中加入少量白噪聲信號用來模擬傳感器中的觀測噪聲.在不改變控制器中任何參數(shù)的情況下，針對不同的仿真模型，均可以達到良好的控制效果，仿真結(jié)果表明控制器可以有效解決模型參數(shù)不確定性問題.仿真結(jié)果如圖3，系統(tǒng)輸出完全跟隨上參考信號，誤差的量級在0.01 mm之內(nèi)，接近觀測噪聲的量級，表明該控制器對于二階系統(tǒng)有著良好的控制效果.

圖3 控制器仿真結(jié)果Fig.3 The simulation result of the control system

2 Stewart微激勵平臺的低頻控制策略

Stewart平臺最初由Gough引入，并作為輪胎測試實驗的一部分，隨后被Stewart進行了改進被用作了飛行模擬器平臺［9］.Stewart平臺具有多自由度、高精度、高剛度等優(yōu)點，被應(yīng)用于各個工程領(lǐng)域，主要用于飛行模擬器，并聯(lián)機床，醫(yī)療機械，隔振臺等領(lǐng)域.本文將Stewart平臺作為微激勵臺進行控制，Stewart作為并聯(lián)機構(gòu)可以同時產(chǎn)生不同方向的振動激勵.Stewart平臺是一個多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)，研究表明對于并聯(lián)機器人運動學(xué)反解比運動學(xué)正解容易的多，通過運動學(xué)反解將上平臺的運動轉(zhuǎn)換到各個作動腿的運動，這樣就把一個多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)轉(zhuǎn)換為單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO).上平臺的位移與各個作動腿作動位移之間的關(guān)系通過Jacobian矩陣的逆建立起來，具體如下:

其中，θ為各個作動腿的位移，σ為上平臺的位移，J-1為Jacobian逆矩陣.Stewart平臺的結(jié)構(gòu)如圖4所示，Jacobian逆矩陣的如下［10］:

圖4 Stewart結(jié)構(gòu)圖Fig.4 The structure of the Stewart platform

綜上對于Stewart微激勵系統(tǒng)的低頻控制策略如圖5所示，首先通過運動學(xué)反解將上平臺的位移轉(zhuǎn)換到各個作動腿上的位移，即將Stewart平臺MIMO系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為SISO系統(tǒng)進行控制.

圖5 Stewart平臺低頻控制策略Fig.5 The low-frequency control scheme of the Stewart platform

然后控制器通過安裝在作動器上的LVDT位移傳感器進行閉環(huán)控制，使傳感器的輸出跟隨上作動腿的參考信號，如果位移傳感器的輸出能跟上其作動腿的參考信號，通過運動學(xué)正解(即將各個腿的作動位移轉(zhuǎn)換到上平臺的位移)，那么實際上平臺的位移輸出將跟隨上激振臺的參考信號.基于以上控制策略，通過Stewart微激勵控制系統(tǒng)進行了實驗，來驗證控制策略的有效性.

3 實驗結(jié)果

3.1 試驗裝置

Stewart微激勵控制系統(tǒng)包括4部分:機械系統(tǒng)、氣撐系統(tǒng)、控制硬件系統(tǒng)和控制軟件系統(tǒng).Stewart平臺分為上下平臺，中間通過6個作動器連接，整個機械系統(tǒng)如圖6所示.

圖6 Stewart機械系統(tǒng)Fig.6 The Mechanical system of the Stewart

氣撐系統(tǒng)有3個輔助支撐和4個空氣彈簧柔性支撐構(gòu)成，主要是起平衡上平臺及負載重量的作用.除此之外，音圈電機由于結(jié)構(gòu)簡單，響應(yīng)快，頻帶高被應(yīng)用于各個工程領(lǐng)域，本激勵平臺就采用音圈電機作為作動器.控制軟件系統(tǒng)是基于Linux-Rati系統(tǒng)，通過此系統(tǒng)對平臺進行實時控制.

由于本文研究的是低頻激勵控制，傳感器為LVDT位移傳感器，加速度傳感器為高頻控制提供測量信號，本文并不涉及.實驗系統(tǒng)包括:Stewart機械平臺，基于Linux-Rati系統(tǒng)工控機，音圈電機作動器，LVDT位移傳感器，A/D、D/A轉(zhuǎn)換卡等如圖7所示.

圖7 實驗控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.7 The structure of the experimental control system

3.2 試驗結(jié)果分析

本文進行了如下工況實驗:定頻的單自由度正弦激勵實驗，定頻的多自由度正弦激勵實驗，幅值隨頻率衰減的多自由度低頻掃頻實驗.

工況1.振動方向為Z方向平動，參考信號是幅值為1 mm頻率為1 Hz的正弦信號，實驗結(jié)果如圖8.圖8(a)中的黑線代表Z方向平動的參考信號，粉線代表系統(tǒng)Z方向平動的輸出信號，紅線和藍線分別代表 X方向平動和 Y方向平動上的輸出信號，圖8(b)3條線代表平臺轉(zhuǎn)動的輸出信號.從圖中可以看出系統(tǒng)Z方向平動輸出信號能夠很好的跟上參考信號，X和Y方向平動輸出在0.01 mm左右，3個轉(zhuǎn)動方向輸出在0.05 mrad左右，非振動方向的誤差幾乎都達到了觀測噪聲的量級，實驗結(jié)果表明控制器對于單自由度控制具有良好的效果.

圖8 Z向平動頻率1 Hz的正弦激勵結(jié)果Fig.8 The translational results of Z axes with 1 Hz sine signal

工況2.振動方向為多自由度分別是X方向平動、Z方向平動以及繞Z軸轉(zhuǎn)動，X方向平動與Z方向平動的參考信號是幅值為0.375 mm頻率為2 Hz正弦信號，繞Z方向轉(zhuǎn)動的參考信號是幅值為1.5 mrad頻率為2 Hz正弦激勵.實驗結(jié)果如圖9所示，3個方向均可以有效的跟隨參考信號，而其他非振動方向上的輸出接近噪聲量級，系統(tǒng)可以穩(wěn)定的產(chǎn)生多自由度的正弦激勵.

工況3.振動方向為Z方向平動和繞Z軸的轉(zhuǎn)動，Z方向平動參考信號為0.1～1 Hz幅值為1 mm的掃頻信號，在1～4 Hz為幅值隨頻率平方衰減的掃頻信號.Z方向轉(zhuǎn)動參考信號為0.1～1 Hz幅值為2 mrad的掃頻信號，在1～4 Hz為幅值隨頻率平方衰減的掃頻信號.實驗結(jié)果如圖10所示，圖10(a)黑線為系統(tǒng)Z方向平動的參考信號，粉線為系統(tǒng)Z方向平動輸出信號，可以看出系統(tǒng)可以很好的跟隨參考信號.繞Z軸方向轉(zhuǎn)動的實驗結(jié)果如圖10(b)所示，由此可知對于繞Z軸方向轉(zhuǎn)動也有著良好的控制效果，實驗結(jié)果表明控制器對于多自由度掃頻激勵也有著良好的控制效果.

圖9 X向平動、Z向平動及Z向轉(zhuǎn)動2 Hz正弦激勵結(jié)果Fig.9 The translational results of X axes and the translational and rotational results of Z axes with 2 Hz sine signal

圖10 Z向平動與Z向轉(zhuǎn)動掃頻結(jié)果Fig.10 The translational and rotational results of Z axes with sweep signal

根據(jù)以上實驗結(jié)果可知，該方法對于Stewart微激勵系統(tǒng)的低頻控制有良好的控制效果，Stewart平臺可以穩(wěn)定地輸出單自由度以及多自由度正弦激勵信號，可以更好地模擬空間低頻振動環(huán)境，具有重要的工程意義.

4 結(jié)論

本文為了更好地模擬精密設(shè)備在太空中的低頻振動環(huán)境，對多自由度微激勵平臺進行了低頻控制算法的研究.針對傳統(tǒng)定增益控制器參數(shù)調(diào)節(jié)困難以及精確系統(tǒng)模型難以建立等問題，提出了一種在線實時調(diào)節(jié)參數(shù)的自適應(yīng)控制器.文章中給出控制器的控制律以及自適應(yīng)律，并采用死區(qū)技術(shù)對自適應(yīng)律進行修正，有效解決了參數(shù)漂移問題，提高了控制器的魯棒性.最后在Stewart平臺上進行實驗驗證，實驗表明該控制器能夠使系統(tǒng)準確輸出單自由度以及多自由度的低頻正弦位移激勵信號，證明了該控制器在實際工程應(yīng)用中的有效性.

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Low-Frequency Control of Micro-Vibration Generation Using Stewart Platform Based on Adaptive Algorithm

XU Xiangpeng1，HUANG Hai1，HUANG Zhou2
(1.Beihang University，Beijing 100191，China; 2.Institute of Systems Engineering，China Academy of Engineering Physics，Mianyang 621999，China)

The Stewart platform is used to simulate the micro-vibration environment in space.The low-frequency control of micro-vibration generation is conducted based on the platform.The parameters are tuned repeatedly to get a satisfied performance of the system in the traditional fixed-gain controllers.Meanwhile，the nonlinear phenomenon caused by the friction makes it difficult to build an accurate system model.With the problems described above，it is difficult to design the controller for the system.To solve the problems，an adaptive controller is presented.Due to the sensitivity of non-parameter uncertainties，the dead-zone technique is used to modify the adaptive laws to improve the robustness.The algorithm is applied to the multi-degree micro-vibration excitation control system.The experimental results show that the platform can generate low-frequency sinusoidal signal excitations in both one-degree and multi-degree direction.The experimental results verify that the method is applicable for practical engineering problems.

adaptive controller;robustness;Stewart platform;low-frequency excitation

V448

A

1674-1579(2017)01-0036-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.01.006

許翔鵬(1991—)，男，碩士研究生，研究方向為基于多自由度微激勵系統(tǒng)的控制研究;黃 海(1963—)，男，教授，研究方向為飛行器結(jié)構(gòu)優(yōu)化，空間智能結(jié)構(gòu)及其控制等;黃 舟(1991—)，男，助理工程師，研究方向為航天器振動試驗設(shè)備結(jié)構(gòu)設(shè)計.

2016-09-16