楊盛慶，杜耀珂，賈艷勝，王文妍

(1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海201109;2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201109)

基于約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)的長(zhǎng)期穩(wěn)定高精度衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航技術(shù)*

楊盛慶1，2，杜耀珂1，2，賈艷勝1，2，王文妍1，2

(1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海201109;2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201109)

針對(duì)基于星間相對(duì)測(cè)量的相對(duì)導(dǎo)航算法中由測(cè)量方程將相對(duì)軌道擬平根數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)位置過程導(dǎo)致的模型非線性，提出一種基于約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)的衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航方法.該方法通過編隊(duì)衛(wèi)星之間一段時(shí)間的切向漂移估計(jì)半長(zhǎng)軸偏差，合理處理半長(zhǎng)軸偏差對(duì)雙星相對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響，克服了模型線性化造成的誤差，能夠?qū)崿F(xiàn)長(zhǎng)期穩(wěn)定的高精度衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航.

衛(wèi)星編隊(duì);長(zhǎng)期穩(wěn)定;相對(duì)導(dǎo)航;約化相對(duì)軌道擬平根數(shù);半長(zhǎng)軸偏差

0 引言

隨著衛(wèi)星應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展，部分空間應(yīng)用任務(wù)難以依靠單一的衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)［1］.衛(wèi)星編隊(duì)的協(xié)同工作，是衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展的必然趨勢(shì).目前，衛(wèi)星的編隊(duì)任務(wù)大致可以分為合作目標(biāo)的編隊(duì)保持、空間交會(huì)對(duì)接和空間服務(wù)幾大類.衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)、導(dǎo)航與控制的研究是實(shí)現(xiàn)編隊(duì)任務(wù)的基礎(chǔ).衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究，初期主要基于C-W方程，分析了衛(wèi)星編隊(duì)的自然周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)解的存在性［2-4］，繼而采用EKF/UKF算法實(shí)現(xiàn)了基于相對(duì)位置、速度的編隊(duì)導(dǎo)航［5］.

針對(duì)近地觀測(cè)衛(wèi)星普遍選用近圓軌道的特點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了基于相對(duì)軌道擬平根數(shù)的編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型［6-8］.此類相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型利用相對(duì)軌道擬平根數(shù)，克服了短周期項(xiàng)對(duì)導(dǎo)航模型的影響.由該模型衍生的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)是設(shè)計(jì)編隊(duì)保持控制策略的有效依據(jù).針對(duì)相對(duì)軌道擬平根數(shù)設(shè)計(jì)衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航算法，具有重要的研究意義.基于相對(duì)軌道擬平根數(shù)的編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型是在等半長(zhǎng)軸、等軌道傾角假設(shè)下得到的近似模型，描述的是衛(wèi)星編隊(duì)的自然周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)［9-10］.近地衛(wèi)星受大氣阻力的影響較明顯，設(shè)計(jì)長(zhǎng)期穩(wěn)定的編隊(duì)導(dǎo)航算法時(shí)，必須考慮半長(zhǎng)軸偏差造成的影響.

本文介紹了基于相對(duì)軌道擬平根數(shù)的編隊(duì)導(dǎo)航算法，通過分析導(dǎo)航模型的非線性因素，定位導(dǎo)航算法中線性化誤差的來源.通過引入半長(zhǎng)軸偏差對(duì)模型的影響，提出了基于星間相對(duì)測(cè)量與相對(duì)軌道擬平根數(shù)的衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航方法，能夠提供長(zhǎng)期穩(wěn)定和高精度的編隊(duì)導(dǎo)航結(jié)果.

1 基于相對(duì)軌道擬平根數(shù)的編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)

1.1 相對(duì)軌道擬平根數(shù)

定義相對(duì)軌道擬平根數(shù)［9-10］

式中，ak，ek，ik，ωk，Ωk，uk(k=1，2)均取軌道平根數(shù)，下標(biāo)1表示目標(biāo)星，下標(biāo)2表示跟隨星.同時(shí)定義標(biāo)量δe，δi滿足

基于相對(duì)軌道擬平根數(shù)的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)滿足

式中，l可以理解為對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)偏差引起的切向偏差的估計(jì)值.不能簡(jiǎn)單地由緯度幅角偏差造成的a1Δu表述該切向偏差，因此引入補(bǔ)償項(xiàng)a1coti1ΔiY，該公式對(duì)等半長(zhǎng)軸的假設(shè)依賴性較強(qiáng).

1.2 衛(wèi)星編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)及其構(gòu)型參數(shù)

［9］給出了衛(wèi)星編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程.本文在其基礎(chǔ)上考慮半長(zhǎng)軸偏差Δa和切向偏差l的影響.圖1為球面三角間的關(guān)系，由于ΔΩ為小量，ΔN1N2N3中邊長(zhǎng)N2N3=a1ΔΩsini1.根據(jù)等角關(guān)系有ΔN12N2N3～ΔN12S1S2，滿足三角形相似定理N2N3/(a1sinφ)=S1S2/［a1sin(u1-φ)］.因此，相對(duì)位置可以表述為

式中，xH，yH，zH為編隊(duì)坐標(biāo)系下三軸變量.本文在參考文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上，分別在xH上加入半長(zhǎng)軸偏差Δa，在yH上加入切向偏差l.

不妨記p=a1δe，s=a1δi，式(5)可改寫為

對(duì)式(6)求導(dǎo)得

圖1 衛(wèi)星編隊(duì)的球面幾何關(guān)系Fig.1 Spherical relationship of satellites formation

依據(jù)式(6)～(7)，編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)p，s，θ，φ，l滿足

2 基于星間測(cè)量的編隊(duì)導(dǎo)航

2.1 觀測(cè)量與編隊(duì)導(dǎo)航方法

目前，星間相對(duì)測(cè)量的精度已滿足編隊(duì)導(dǎo)航的任務(wù)要求［11］.本文設(shè)計(jì)了基于星間相對(duì)測(cè)量的編隊(duì)導(dǎo)航方法，即將星間測(cè)量的相對(duì)位置Z=［xHyHzH］T作為編隊(duì)導(dǎo)航的觀測(cè)量.

編隊(duì)導(dǎo)航的關(guān)鍵是要描述好測(cè)量方程和狀態(tài)方程.濾波器的狀態(tài)變量為相對(duì)軌道擬平根數(shù)，而觀測(cè)量為編隊(duì)坐標(biāo)系下的相對(duì)位置.測(cè)量方程表示兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，根據(jù)球面幾何的原理，測(cè)量方程和測(cè)量矩陣可以表述為［9-10］

2.2 編隊(duì)導(dǎo)航模型的線性化誤差

編隊(duì)導(dǎo)航濾波算法中，將每一步的狀態(tài)預(yù)測(cè)值與測(cè)量值進(jìn)行比較，以兩者之間產(chǎn)生的偏差作為修正量的依據(jù).由于測(cè)量值為相對(duì)位置，導(dǎo)航濾波的狀態(tài)變量為相對(duì)軌道擬平根數(shù)，需要進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換.記觀測(cè)量為Z，則偏差為Δ=Z-HX.H矩陣中的-1.5［u*1(t1)-u*1(t0)］Δa表示目標(biāo)星與跟隨星之間由半長(zhǎng)軸偏差時(shí)間積累導(dǎo)致的切向漂移線性化近似，u*1(t0)為編隊(duì)導(dǎo)航初始時(shí)刻目標(biāo)星的緯度幅角.取Δu*1=u*1(t1)-u*1(t0)代表的是目標(biāo)星在軌道面內(nèi)運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的弧度，為一個(gè)遞增的值，不能簡(jiǎn)單地將其中的u*1(t1)理解為目標(biāo)星當(dāng)前時(shí)刻的緯度幅角.

在進(jìn)行長(zhǎng)期編隊(duì)導(dǎo)航時(shí)，Δu*1與Δa的匹配存在問題，具體表現(xiàn)為Δu*1累積的時(shí)間越長(zhǎng)，當(dāng)前時(shí)刻計(jì)算-1.5［u*1(t1)-u*1(t0)］Δa使用的Δa越大，這使得乘積項(xiàng)-1.5［u*1(t1)-u*1(t0)］Δa不能準(zhǔn)確體現(xiàn)半長(zhǎng)軸偏差導(dǎo)致的切向漂移隨時(shí)間變化的過程.

3 基于約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)的編隊(duì)導(dǎo)航方法

針對(duì)上述模型的線性化誤差，設(shè)計(jì)基于約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)的編隊(duì)導(dǎo)航方法，其主要特點(diǎn)為:

(1)考慮半長(zhǎng)軸偏差Δa對(duì)模型的影響，導(dǎo)航時(shí)不再對(duì)Δa進(jìn)行濾波，直接由累積的切向漂移進(jìn)行估計(jì)并用于狀態(tài)預(yù)測(cè);

(2)使用約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)進(jìn)行濾波，其中Δu為衛(wèi)星之間緯度幅角平根的偏差.半長(zhǎng)軸偏差造成的切向漂移已體現(xiàn)在公式(9)中a1Δu項(xiàng)，因此使用約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)表述測(cè)量方程和測(cè)量矩陣顯然更為合理.

3.1 相對(duì)軌道擬平根數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程及狀態(tài)預(yù)測(cè)

導(dǎo)航算法的狀態(tài)預(yù)測(cè)需要考慮半長(zhǎng)軸偏差的影響，使用相對(duì)軌道擬平根數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程，其形式如下［12-13］:

式中，

3.2 約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)及其導(dǎo)航模型

約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)定義為

測(cè)量矩陣定義為

測(cè)量方程滿足

考慮到Δa的數(shù)值穩(wěn)定性，Δa根據(jù)一段時(shí)間積累的切向漂移Δl結(jié)合公式Δl=-1.5ntΔa進(jìn)行估算，其中n為軌道角速度.一般取經(jīng)歷一軌約6 000 s積累的Δl=l(t0+6 000)-l(t0)，l(t)的計(jì)算公式參見式(8).綜上所述，半長(zhǎng)軸偏差滿足

3.3 擴(kuò)展卡爾曼濾波

運(yùn)行在近圓軌道上的編隊(duì)衛(wèi)星，當(dāng)滿足兩星相對(duì)距離遠(yuǎn)小于軌道半長(zhǎng)軸的假設(shè)，可以采用EKF進(jìn)行導(dǎo)航濾波.EKF的標(biāo)準(zhǔn)算法如下［15-16］:

其中:Zk表示當(dāng)前時(shí)刻觀測(cè)量;表示前一時(shí)刻濾波狀態(tài)量;表示由狀態(tài)方程和RK4方法計(jì)算得到的狀態(tài)預(yù)測(cè)量;的形式參見式(11);為測(cè)量矩陣，其形式參見式(12);表示的是測(cè)量方程，其形式參見式(13);Φk，k-1為狀態(tài)矩陣，其形式參見式(14);Pk-1表示前一時(shí)刻狀態(tài)誤差協(xié)方差陣;Pk/k-1表示預(yù)測(cè)的當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)誤差協(xié)方差陣;Q為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣;R為測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣;Kk為當(dāng)前時(shí)刻的卡爾曼增益矩陣.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及仿真條件

考慮如下形式的SAR衛(wèi)星編隊(duì)工況:編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)為p=388 m，s=3 060 m，θ=84°，φ=90°，l= 100 m，Δa=-1 m.GNSS接收機(jī)通過星間鏈路進(jìn)行載波相位差分得到相對(duì)位置觀測(cè)數(shù)據(jù)，測(cè)量精度為單軸0.1 m.目標(biāo)星與跟隨星的大氣阻力攝動(dòng)設(shè)置10%的偏差量.

4.2 仿真分析

圖2 兩種不同的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)確定方法的比較Fig.2 Comparison of different formation determinations

根據(jù)上述條件仿真5天，得到仿真結(jié)果如下.圖2為針對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)，兩種不同編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)確定方法的比較，由相對(duì)軌道擬平根數(shù)求得的構(gòu)型參數(shù)穩(wěn)定形更佳.圖3為改進(jìn)前后編隊(duì)導(dǎo)航結(jié)果的比較，改進(jìn)后的導(dǎo)航算法構(gòu)型參數(shù)的準(zhǔn)確精度更高且穩(wěn)定性更好.

圖3 改進(jìn)前后編隊(duì)導(dǎo)航結(jié)果的比較Fig.3 Comparison of navigation results between the improved approach and old approach

特別是改進(jìn)后的算法克服了參數(shù)l確定精度的單向發(fā)散問題.改進(jìn)前后的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)確定精度如表1所示.

表1 編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)的確定精度Tab.1 Precision of formation feature determination

5 結(jié)論

本文介紹了一種基于星間相對(duì)測(cè)量與相對(duì)軌道擬平根數(shù)的衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航方法.文中指出，編隊(duì)導(dǎo)航模型的線性化誤差主要體現(xiàn)為半長(zhǎng)軸偏差造成的切向漂移的狀態(tài)預(yù)測(cè)與觀測(cè)量不匹配.針對(duì)上述問題，本文提出了根據(jù)切向漂移進(jìn)行半長(zhǎng)軸偏差估計(jì)和針對(duì)約化相對(duì)軌道擬平根數(shù)進(jìn)行導(dǎo)航濾波的編隊(duì)導(dǎo)航方法.該導(dǎo)航方法對(duì)大氣阻力造成的半長(zhǎng)軸隨時(shí)間累積的偏差具有良好的辨識(shí)能力，能夠輸出長(zhǎng)期穩(wěn)定的高精度編隊(duì)導(dǎo)航結(jié)果.

參考文 獻(xiàn)

［1］楊樂平，朱彥偉，黃渙.航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃與控制［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2010.

［2］ALFRIEND K T，VADALI S R，GURFIL P，et al.Space formation flying:dynamic，control and navigation［M］.Elsevier，2009.

［3］林來興，車汝才.衛(wèi)星編隊(duì)飛行精確動(dòng)力學(xué)模型與三維定位系統(tǒng)［J］.宇航學(xué)報(bào)，2008，29(3):831-837.LIN L X，CHE R C.Accurate dynamics models of satellite formation flying and 3-dimension positioning system［J］.Journal of Astronautic，2008，29(3):831-837.

［4］楊維廉.基于軌道攝動(dòng)解的衛(wèi)星編隊(duì)飛行［J］.宇航學(xué)報(bào)，2008，29(4):1166-1171.YANG W L.Formation flying based on orbit perturbation solution［J］.Journal of Astronautic，29(4):1166-1171.

［5］楚瑞.EKF/UKF在編隊(duì)飛行衛(wèi)星GPS相對(duì)導(dǎo)航中的應(yīng)用［J］.空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2008，34(5):57-60.CHU R.Application of EKF/UKF in the GPS relative navigation for formation flying of spacecraft［J］.Aerospace Control and Application，2008，34(5):57-60.

［6］劉付成，完備，杜輝珂，鄭科宇.近地軌道編隊(duì)飛行衛(wèi)星構(gòu)形保持控制方法研究［J］.上海航天，2014，31 (4):6-10.LIU F C，WAN B，DU Y K，ZHENG K Y.Researchon satellites formation-keeping control method in low earth orbit［J］.Aerospace Shanghai，2014，31(4):6-10.

［7］Amico S D，Gill E，Montenbruck O.Relative orbit control design for the PRISMA formation flying mission［C］//Proceedings of the Conference of AIAA Guidance，Navigation and Control.Washingtong D.C.: AIAA，2006.

［8］GILL E，MONTENBRUCK O，AMICO S D.Autonomous formation flying for the PRISMA mission［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2006，44(3):671-681.

［9］杜耀珂，陽光，王文妍.InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型的e/i矢量設(shè)計(jì)方法［J］.上海航天，2011，28(5):8-13.DU Y K，YANG G，WANG W Y.e/i vector design method for InSAR formation flying orbit［J］.Aerospace Shanghai，2011，28(5):8-13.

［10］SIMONE D A，ARDAENS J S，LARSSON R.Spaceborne autonomous formation-flying experiment on the PRISMA mission［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35(3):834-850.

［11］涂佳，谷德峰，吳翊等.基于星載雙頻GPS的長(zhǎng)基線衛(wèi)星編隊(duì)高精度快速星間相對(duì)定位［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33(8):1850-1855.TU J，GU D F，WU Y，et al.Precise and rapid intersatellite relative positioning for long baseline satellite formation using onboard dual-frequency GPS［J］.Systems Engineering and Electronics，2011，33(8):1850-1855.

［12］劉林.航天器軌道理論［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2000.

［13］OLIVER M，EBERHARD G.衛(wèi)星軌道-模型、方法和應(yīng)用［M］.王家松，祝開建，胡小工，等譯.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2012.

［14］章仁為.衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1998.

［15］付夢(mèng)印，鄧志紅，閆莉萍.Kalaman濾波理論及其在導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［16］杜耀珂，彭仁軍.近地衛(wèi)星利用光學(xué)敏感器的自主導(dǎo)航方法［J］.空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2008，34(4):55-59.DU Y K，PENG R J.Autonomous navigation for the near-earth satellite using the optical sensors［J］.Aerospace Control and Application，2008，34(4):55-59.

Long-Term Stable and High-Precision Relative Navigation Method for Satellites Formation Based on Reduced Relative Orbit Elements

YANG Shengqing1，2，DU Yaoke1，2，JIA Yansheng1，2，WANG Wenyan1，2
(1.Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology，Shanghai 201109，China; 2.Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology，Shanghai 201109，China)

Based on inter-satellite measurement and reduced relative orbit elements of satellites，an improved approach of formation navigation is investigated.The traditional navigation algorithm transforms the relative orbit elements into the relative position by measuring equations，which results in nonlinearity of the navigation model.In the improved approach，the difference of semi-axis is estimated via the excursion in along-track.The problem of linearization error can be solved by using the difference of semi-axis，which has an important influence on relative dynamic of satellites.The method can realize a long-term stable and high-precision navigation of satellites formation.

satellites formation;long-term stabilization;relative navigation;reduced relative orbit elements;difference of semi-axis

V474.1

A

1674-1579(2017)01-0030-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.01.005

楊盛慶(1985—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)、衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航;杜耀珂(1982—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航與控制;賈艷勝(1983—)，男，工程師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航;王文妍(1975—)，女，研究員，研究方向?yàn)樾l(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航與控制.

*上海市青年科技啟明星計(jì)劃資助項(xiàng)目(17QB1401400).

2016-08-01