郝 妍, 關洪巖

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

數(shù)學專業(yè)中幾何學教學的改革與探究

郝 妍, 關洪巖

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

幾何學是數(shù)學的重要分支,幾何學教學是數(shù)學專業(yè)課程教學的重要組成部分。首先,分析了高等師范院校數(shù)學專業(yè)幾何學教學的現(xiàn)狀,指出幾何學課程內(nèi)容的過度精簡,將導致學生幾何能力的欠缺并影響數(shù)學能力的全面發(fā)展,由此說明幾何學教學改革的必要性;其次,提出幾何學教學改革的總體思路與設想,主要體現(xiàn)在深入研究幾何類課程間的結構關系、重置幾何類課程體系、根據(jù)學生特點修訂課程的教學大綱、找到切合實際的教學手段和方法這3個方面;最后,以解析幾何課程為例深入探究幾何類課程的具體改革方案,并針對現(xiàn)行課堂中出現(xiàn)的問題提出相應的改革措施,為其他幾何學課程的改革打下基礎。

數(shù)學專業(yè); 幾何學教學; 教學改革; 幾何能力

0 幾何學教學的現(xiàn)狀

2014年數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)升為一批本科B段,錄取的學生都是超出一本線很多分較好的學苗,這對于沈陽師范大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院來講是一件振奮人心的大事。但隨之而來的問題也就出現(xiàn)了,原有的課程體系能否充分體現(xiàn)一批本的要求、最大限度的挖掘?qū)W生的潛能呢？尤其是幾何類課程,多年來一直處于被精簡、壓縮的位置,而數(shù)學本是分析、代數(shù)、幾何有機結合的整體,幾何學教學在數(shù)學教學中有著十分重要的地位,學好幾何學對于學習、理解現(xiàn)代數(shù)學起著至關重要的作用。只重視分析、代數(shù)的方法而忽略幾何的觀念是不利于學生數(shù)學能力培養(yǎng)的。近年來,由于高年級學生實習、找工作等原因,課堂教學時間縮短至3年,這導致基礎理論課的課時不斷壓縮,幾何學教學在數(shù)學教育的地位也有被削弱下滑的趨勢。原來在大二開設的《射影幾何》從數(shù)學專業(yè)的教學計劃中去掉,《微分幾何》變?yōu)檫x修課,而且課時也大大減少,《幾何基礎》與《微分流形初步》這樣的課根本沒有時間開設。對于這種情況不僅不利于師范生幾何空間觀念的培養(yǎng)和幾何空間想象能力的提高,而且?guī)缀涡摒B(yǎng)的不足也將成為學生進一步掌握現(xiàn)代數(shù)學的一大障礙。

1 幾何學教學改革的思路與設想

1.1 深入研究幾何類課程間的結構關系重置幾何類課程體系

20世紀90年代末之前,幾何學教學貫穿大學數(shù)學教學的始終:大一《解析幾何》、大二《射影幾何》、大三《微分幾何》、大四《幾何基礎》和《微分流形初步》。從內(nèi)容上來看,《解析幾何》是以向量與坐標系為基本工具,討論三維歐氏空間中平面、直線及曲面、曲線的方程及其基本性質(zhì),研究幾何圖形的代數(shù)表示及代數(shù)方程的幾何解釋,是大學數(shù)學的基礎[1];《微分幾何》則是以微積分(主要是微分)為主要工具,尋求三維及高維空間中曲線、曲面的局部與整體性質(zhì),它是《數(shù)學分析》在幾何學上的深化與應用,同時也是進一步學習現(xiàn)代微分幾何的基礎[2];《射影幾何》與《幾何基礎》的內(nèi)容與中學的初等幾何緊密相連,但在數(shù)學思想方法上則要用到公理化體系以及變換群等現(xiàn)代數(shù)學的概念,它們以初等幾何為載體,刻畫高深抽象的現(xiàn)代數(shù)學思想[3]。通過這2門課程的學習,可以從更高的視野審視、理解初等幾何,對提高學生數(shù)學素養(yǎng)起著十分重要的作用,而這對于師范類學生尤其重要。《微分流形初步》則一般作為選修課開設,供準備考研和有志于從事數(shù)學研究的學生選修。這些幾何課程包含了基礎理論和前沿研究基礎,結構合理,層次分明,構成了大學幾何學完整的課程體系。

結合幾何類課程的特點,為了使數(shù)學專業(yè)學生幾何學方面結構性缺失的現(xiàn)象得到有效的改變,應重新制定教學計劃,使幾何學成為數(shù)學教學中的重點內(nèi)容。以數(shù)學與系統(tǒng)科學學院學生的實際情況為例,參考分析類課程的改革經(jīng)驗[4],應使大一《解析幾何》,大二《射影幾何》,大三《微分幾何》成為必修,并適當開設《微分流形》《黎曼幾何初步》等選修課程。

1.2 根據(jù)學生的特點修訂幾何類課程的教學大綱

按照專業(yè)培養(yǎng)目標和課程的理論體系,參考國內(nèi)重點師范大學的教學大綱,對解析幾何、射影幾何、微分幾何這3門課程作為必修課的教學大綱進行修訂:充實解析幾何的內(nèi)容,降低射影幾何、微分幾何的難度,注重3門課之間的相互關聯(lián)。新教學大綱的制定應與本專業(yè)學生實際水平相匹配。

1.3 找到切合實際的教學手段和方法

改革傳統(tǒng)教學模式,將知識性、啟發(fā)性、趣味性相結合,并把傳統(tǒng)教學方法和現(xiàn)代化教學手段結合起來,適當運用多媒體等現(xiàn)代化工具,尤其對于空間作圖,使用多媒體課件有利于培養(yǎng)學生的幾何直觀與空間想象力,激發(fā)學生的學習興趣,提高教學質(zhì)量。同時,現(xiàn)代化教學手段的運用也可使教師省去一些不必要的抄寫,這在一定程度上彌補了課時不足的問題,并達到知識性、啟發(fā)性、趣味性相結合的效果。

2 以解析幾何為例探究幾何類課程課堂教學改革

2.1 現(xiàn)行解析幾何教學中出現(xiàn)的問題

空間解析幾何作為本科院校數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課,是中學平面解析幾何與立體幾何的繼續(xù)和提高,它與數(shù)學分析、高等代數(shù)有著緊密的聯(lián)系,也是微分幾何、高等幾何以及拓撲學等課程的基礎。目前在空間解析幾何教學中存在的問題主要有

1) 大學課堂上單向式滿堂灌的教學手段使學生們難以接受、知難而退;

對于剛剛步入大學校門的學生們來說,他們習慣了高中數(shù)學老師的教學模式,課上內(nèi)容少易理解,課下多做難題;但到了大學則截然相反,課上知識點多、內(nèi)容難,課下習題少。基于課時量少內(nèi)容多的要求,解析幾何的課堂上需要講授大量的定義定理和例題,而且內(nèi)容的難度比起初等數(shù)學要難很多,又難又多的知識,再加上教師滿堂灌、一言式、灌輸式不合理的教學手段,忽視了學生主動探究知識、獲取知識、分析問題、解決問題的主體能動性,往往使學生們對大學的數(shù)學望而卻步,經(jīng)常是一堂課下來卻“不知所云”,最終導致“越難越不愛學,越不愛學越難”的結果。

2) 教學中忽略了解析幾何與其他課程的聯(lián)系,使學生感覺知識單一枯燥無味、難以理解;

解析幾何、數(shù)學分析和高等代數(shù)是高師院校數(shù)學專業(yè)的三大基礎課,它們各自獨立講授,又互相有所聯(lián)系,而且解析幾何也是其他幾何課程如高等幾何、微分幾何的基礎,因此解析幾何與許多數(shù)學專業(yè)課程有著聯(lián)系,而現(xiàn)代教學過程中,教師往往只是純粹講幾何知識,忽略了它與別的課程的聯(lián)系,這樣造成課程內(nèi)容單一、枯燥無味,無法激發(fā)學生的學習興趣。另外,在教學過程中也缺乏幾何與實際問題的聯(lián)系,只是抽象一味地講書本上的內(nèi)容,理論性強、抽象難懂,使學生對空間幾何圖形沒有什么具體概念,更無從下手。

3) 教學方式上仍然采用“一筆一板”的陳舊方式,忽略了計算機等現(xiàn)代教學手段,難以激發(fā)學生的學習興趣。

目前數(shù)學專業(yè)的基礎課程仍然采用一筆一板的授課方式,這樣做的好處是在進行數(shù)學計算時能夠一步一步推理清晰,印象深刻,但是對于解析幾何這樣包含空間立體圖形、坐標,又有相交、旋轉(zhuǎn)圖形的課程來說,多媒體教學對學生認識、理解圖形是有很大幫助的,如果在黑板上畫圖形,不但不清楚而且準確性差,學生也不能從多個角度去觀察立體圖形,導致學生無法理解圖形的方程。另外,其他先進的計算機、多媒體、網(wǎng)絡教學方式也是目前解析幾何教學中所缺乏的。

2.2 解析幾何課堂教學改革的措施

針對以上的問題,借鑒其他院校成功經(jīng)驗[5-10],對空間解析幾何課堂教學提出具體的改革方案。

1) 更新教學理念和教學方法

為了更好地使學生們從高中的教學模式向大學過渡,解析幾何作為第一門數(shù)學專業(yè)課需要改變以往單向灌輸式的教學理念和教學方法,取而代之以引導式、啟發(fā)式、互動式的教學模式,讓學生與教師共同參加課程的教與學,通過學生對教材的自主鉆研并與小組討論相結合,按互教和互學的模式進行討論和交流心得等方式學習,培養(yǎng)大學生的自學能力和創(chuàng)造性思維。在整個教學過程中,老師起到引導、補充、歸納和完善的作用,這樣既能充分發(fā)揮學生的積極主體作用,又能體現(xiàn)教師的主導作用。

改變以往“老師講學生聽,課堂靜悄悄”的上課模式,變灌輸式教學為引導式教學、變被動式課堂為主動式課堂,充分調(diào)動學生的積極性,讓學生成為課堂的主人.

2) 優(yōu)化、重組教學內(nèi)容,確保教學質(zhì)量,提高教學效果

選擇優(yōu)質(zhì)的、前瞻性的教材,不斷將最新的教學成果引進到教學中,刪除那些陳舊繁瑣的內(nèi)容;進行內(nèi)容整合,合理設計,避免重復,體現(xiàn)出解析幾何與其他數(shù)學專業(yè)課的聯(lián)系,互相滲透;增加與實際問題相聯(lián)系的例子,激發(fā)學生的學習熱情;對于一些復雜難懂的知識點可以舉出簡單易懂的反例,便于學生理解。

改變學生以往懶惰的學習習慣,通過“提出問題”啟發(fā)學生能夠“自主學習”“合作學習”“探索學習”,建立課后討論小組,課上采用啟發(fā)式、討論式、問題式、互動式等教學方法.

3) 豐富教學手段

在保持和簡化傳統(tǒng)教學手段的前提下,融入現(xiàn)代教育技術,典型的就是多媒體課件的使用,多媒體的輔助教學,不僅有利于提高課堂的教學效率和教學質(zhì)量,更有利于提高學生的空間想象能力。它可以對重要的幾何概念進行“圖形化”和“實物化”分析講解,通過動態(tài)演示形象地揭示幾何概念的內(nèi)涵,清晰地展現(xiàn)幾何圖形的構造和特點,達到傳統(tǒng)式課堂教學難以達到的效果。另外,可以通過網(wǎng)絡,實現(xiàn)共享資源,構建交流平臺。

2.3 解析幾何課堂教學改革的反思

此次課堂教學改革歷經(jīng)了2個學年度,2015—2016年第一學期和2016—2017年第一學期,對這2屆學生進行了解析幾何課堂教學改革,而且這2屆學生都是數(shù)學專業(yè)升入一批本科B段后招生的,具有可比性。在2015—2016學年度的教學中按照課堂教學改革實施方案進行教學,初步收到了較好的效果,學生上課打起了精神,有了主動學習的熱情。在2016—2017學年度的解析幾何課堂上,繼續(xù)按照改革實施方案進行教學,而且對上一年感覺有欠缺的地方進行了完善,如課件的制作上、課堂提問的環(huán)節(jié)上、新課引入的情節(jié)上都加以修改和完善;2016—2017學年度的解析幾何由于招生人數(shù)、教師數(shù)量的改變,教學班的學生人數(shù)少于去年,大一新生的數(shù)量每個教學班平均40人,但是大二、大三、大四重修的學生可以自由選老師,有了多年教授解析幾何的經(jīng)驗和前一年教學改革的效果,本班選課學生的人數(shù)達到最多,在這樣一個有大一、大二、大三、大四學生都學習解析幾何的課堂上,又重新調(diào)整了課堂教學的步伐,試圖順應每一屆學生的需求,總體上達到了比較滿意的效果。另外,2個學期分別對學生進行了單元測試,從測試的成績看,經(jīng)過課堂教學改革的2屆學生確實比以前的學生成績有所提高,就這2屆學生相比較,第2屆經(jīng)過了完善之后的學生比第1屆的又有了進步,進步主要體現(xiàn)在80分上下的學生上,這一分數(shù)段的百分比有了很大提高,這說明經(jīng)過完善后的課堂教學改革,有利于提高學生的主觀能動性,新的課堂教學方式能夠激發(fā)學生的潛能。

總之,課堂教學改革的實施,無論對于學生還是老師都有收獲、有提高。作為教師,應繼續(xù)沿著課堂教學改革的路走下去,不斷修整、不斷完善、不斷創(chuàng)新,爭取打造出學生們最喜愛的課堂。

3 結 語

解析幾何的教學改革已經(jīng)實施,并且取得了很好的效果。學生的學習積極性提高,課堂氣氛活躍,基礎知識學得很扎實。其他幾何類課程的教學改革也在不斷地思索與嘗試之中。對數(shù)學專業(yè)中的幾何類課程進行改革,可以彌補現(xiàn)在大學數(shù)學教學中幾何方面明顯的結構性的缺失,補救學生幾何知識短缺、幾何觀念薄弱、幾何思想貧乏的問題,因此應在大學數(shù)學教育中給幾何學的教與學留出一片天空,突出其在數(shù)學教育中的重要作用,并在幾何學的課程教學改革上進行一些有益的嘗試,力爭取得較好的效果。

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Inquiry and reform of teaching in Geometry Class for mathematics major

HAOYan,GUANHongyan

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Geometry is an important branch of mathematics, the teaching of geometry is an important part of the teaching of mathematics. Firstly, by analyzing the present situation of the geometry teaching of mathematics in higher normal universities, the paper points out that the excessive reduction of content will lead to the lack of the student's ability of geometry and the all-round development of mathematical ability. It indicates that the necessity of the reform of geometry teaching. Second, it puts forward the train of thought and ideas of teaching reform, including the further study of geometric structure of the relationships between classes to reset the geometry class curriculum system、the revision of course syllabus according to the characteristics of students and finding practical teaching means and methods. Finally, it explores the specific reform of geometry curriculum by taking an example of analytic geometry curriculum, and puts forward the corresponding reform measures aiming at problems in the current classroom.This will lay the foundation for other geometry course reform.

Mathematics; Geometry teaching; The teaching reform; Geometric ability

2016-10-06。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014435)。

郝 妍(1980-),女,遼寧丹東人,沈陽師范大學講師,碩士。

1673-5862(2017)03-0356-04

G642

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.019