歐陽華+楊忠林+周衛(wèi)平

[摘 要]數(shù)字濾波器設(shè)計是數(shù)字信號處理實驗教學(xué)的重要內(nèi)容，傳統(tǒng)的濾波器設(shè)計實驗根據(jù)給定的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計出滿足該指標(biāo)的系統(tǒng)函數(shù)，并通過觀察系統(tǒng)的頻率響應(yīng)驗證濾波性能。教師可以通過設(shè)計基于聲音信號的數(shù)字濾波實驗，將正弦噪聲加入音樂信號中，讓學(xué)生自主設(shè)計一個簡單的陷波器濾除正弦噪聲，通過聽覺驗證是否達到濾波效果。教學(xué)實踐證明，采用聲音信號作為濾波對象，使得實驗過程完整直觀，既深化了學(xué)生對濾波器設(shè)計原理的理解，也鍛煉了學(xué)生自主設(shè)計能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)字濾波器；聲音信號；陷波器

[中圖分類號] TN713+.7 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2017）04-0006-03

引言

數(shù)字濾波是數(shù)字信號處理技術(shù)最典型的應(yīng)用之一，與此對應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計實驗是“數(shù)字信號處理”教學(xué)重要的環(huán)節(jié)，它通過計算機仿真的方法將理論設(shè)計過程用Matlab程序語言完成，簡化步驟和計算，加深對設(shè)計方法的理解。常規(guī)的濾波器設(shè)計實驗根據(jù)給定濾波器的性能要求，用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變的系統(tǒng)函數(shù)H（z）去逼近這一性能要求。也就是說，實驗的目的是設(shè)計出滿足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H（z），或者是單位沖激響應(yīng)h（n），然后畫出該系統(tǒng)在特定頻率范圍的頻率響應(yīng)曲線，驗證該系統(tǒng)是否達到技術(shù)指標(biāo)。該基本實驗從技術(shù)指標(biāo)開始，到系統(tǒng)函數(shù)結(jié)束，由一組數(shù)據(jù)得到另一組數(shù)據(jù)，是濾波器設(shè)計的核心工作。但實驗過程不完整，實驗對象不具體，在提出問題，分析問題，解決問題環(huán)節(jié)中，只體現(xiàn)了解決問題的數(shù)學(xué)方法。完成實驗后學(xué)生會感到困惑，為什么這樣的H（z）就能實現(xiàn)濾波，它的濾波性能到底如何呢？

結(jié)合我校自主研究實驗項目，在傳統(tǒng)濾波器設(shè)計實驗的基礎(chǔ)上，本文設(shè)計了一個加入正弦噪聲的音樂信號作為系統(tǒng)輸入的數(shù)字濾波實驗。針對帶噪聲的音樂信號這個具體對象，學(xué)生自己確定要解決什么問題，解決問題思路和方法，判斷問題是否解決。結(jié)果表明該濾波器設(shè)計實驗效果良好，學(xué)生借助人耳這個天然的“傅里葉分析儀”感受到所設(shè)計的濾波器的濾波效果，加深了學(xué)生對濾波器原理的理解，促進了對濾波器設(shè)計方法的掌握。

一、數(shù)字濾波器設(shè)計原理

允許某些信號分量（有用信號）通過、同時阻止其他分量信號（噪聲）通過的系統(tǒng)稱為濾波器。在本科階段只討論信號和噪聲處于不同的頻率范圍的加性噪聲，即信號和噪聲是疊加在一起的。在LSI系統(tǒng)分析理論中，輸出信號y（n）是輸入信號x（n）與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h（n）的卷積：

在實際應(yīng)用中，為了采用因果穩(wěn)定的IIR系統(tǒng)或FIR系統(tǒng)來逼近理想特性，對理想頻率特性的要求適當(dāng)放寬，具體表現(xiàn)為在通帶和阻帶之間引入一個過渡帶，并允許幅度響應(yīng)在通帶和阻帶有一定的波動。以物理可實現(xiàn)的因果穩(wěn)定低通濾波器為例，其幅度特性如圖2所示。理想濾波器的截止頻率放寬為兩對技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp和通帶容限δp；阻帶截止頻率ωs和阻帶容限δs。為了便于表示，通常使用通帶允許的最大衰減Ap=-201g（1-δp）和阻帶應(yīng)達到的最小衰減As=-201g（1-δs）來描述通帶和阻帶容限。

二、一個簡單的陷波濾波器設(shè)計

為幫助學(xué)生理解濾波器的功能和設(shè)計原理，我們設(shè)計了一個基于音頻信號處理的數(shù)字濾波實驗。實驗對象是加入單頻正弦噪聲的音頻信號，實驗?zāi)康氖窃O(shè)計一個簡單的IIR濾波器濾除正弦噪聲。根據(jù)實驗?zāi)康?，我們?yīng)該設(shè)計一個截止頻率在正弦噪聲附近的帶阻濾波器。帶阻濾波器的阻帶在整個頻率范圍的中間部分，這樣的頻率響應(yīng)不可能由一個一階實系數(shù)系統(tǒng)函數(shù)產(chǎn)生，故其階次至少為2階。

設(shè)噪聲頻率是ω0，這樣我們可以選擇一個形如（1-2cosω0z-1+z-2）的二階多項式作為系統(tǒng)函數(shù)分子的一個因式，從而在中間頻率段的ω0處為系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計了一個零點，這將強迫幅度函數(shù)在ω0處為零。這時的頻率ω0就是陷波頻率，該濾波器就是陷波濾波器。該陷波濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的形式如下[1]：

可見Matlab運行結(jié)果與理論計算是一致的。

更簡單直觀的濾波器設(shè)計方法是調(diào)用濾波器設(shè)計和分析工具箱。濾波器設(shè)計和分析工具箱（Filter Design and Analysis Tool （FDATool））是快速設(shè)計和分析濾波器的強大的圖形用戶界面，它不需要編程，只要通過菜單操作，進行指標(biāo)參數(shù)選擇就可以設(shè)計出滿足要求的各種類型濾波器。

對于本例的參數(shù)設(shè)置步驟如下：（1）響應(yīng)類型（“Response Type”）選擇最后一項下拉框中的“Notching”；設(shè)計方法（“Design Method”）選擇IIR下拉菜單中的“Single Notch”。該步驟確定了將采用單一頻率的陷波器來實現(xiàn)濾波功能。（2） 在頻率指標(biāo)（“Frequency Specifications”）文本框中設(shè)定技術(shù)指標(biāo)，以Hz為單位，信號抽樣頻率Fs = 44100，陷波頻率為Fnotch =1000，帶寬為Bandwidth=25。（3）在幅度指標(biāo)（“Magnitude Specifications”）文本框中設(shè)定帶寬增益為Apass=3。上述設(shè)置工作完成之后，按下“Design Filter”按鈕，結(jié)果就出來了！參數(shù)設(shè)置和頻率響應(yīng)如圖5所示。

得到陷波器的分子、分母系數(shù)向量b、a后，調(diào)用filter函數(shù)對混入噪聲后的信號進行濾波，濾波后的信號及其頻譜圖如圖6所示。從圖6（b）中的幅度頻譜圖可以觀察到噪聲已經(jīng)濾除。聽覺上也能夠直接感受到濾波后的音頻信號。

示例中的單頻噪聲濾波也可以采用一般的帶阻濾波器實現(xiàn)，如IIR橢圓濾波器、海明窗FIR濾波器等。[3]相對于一般的帶阻濾波器，陷波器具有計算簡單、階次低，頻率選擇性好等優(yōu)點。如果噪聲是多個單頻正弦信號的疊加，例如同時加入1000Hz和2000Hz的噪聲，則可以設(shè)計兩個陷波頻率分別為1000Hz和2000Hz的陷波器，再將兩個陷波器級聯(lián)形成一個四階的帶阻濾波器。

四、結(jié)語

綜上所述，基于聲音信號的數(shù)字濾波器設(shè)計改善了傳統(tǒng)的濾波器設(shè)計方式，能夠從聽覺上讓學(xué)生直接感受到鋁箔效果。教學(xué)實踐證明，采用聲音信號作為濾波對象，使得實驗過程完整直觀，既深化了學(xué)生對濾波器設(shè)計原理的理解，也鍛煉了理論聯(lián)系實際的自主設(shè)計能力。

進一步的工作可以在音頻信號中加入多頻率噪聲或色噪聲，并考慮加入噪聲的類型，以及噪聲和信號的頻譜的相對位置。在加入相同的噪聲頻譜的情況下，比較經(jīng)典濾波、維納濾波和自適應(yīng)濾波等不同的濾波方法的效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] Sanjit K. Mitra著，孫洪等譯. 數(shù)字信號處理——基于計算機的方法（第三版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[2] 歐陽華，尹為民，邵英.基于比較教學(xué)法的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計實驗[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報，2011（1）：75-77.

[3] 申艷，陳后金，薛健，等. 基于Matlab 加噪語音的FIR 濾波器設(shè)計[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報，2011（2）：41-44.

[特約編輯：黃緊德]