黃 煜 徐青山 劉建坤 衛(wèi) 鵬
(1東南大學電氣工程學院, 南京 210096)(2江蘇省電力公司電力科學研究院, 南京 210003)
基于混合高斯模型的相關非高斯輸入變量隨機潮流計算
黃 煜1徐青山1劉建坤2衛(wèi) 鵬2
(1東南大學電氣工程學院, 南京 210096)(2江蘇省電力公司電力科學研究院, 南京 210003)
提出一種考慮輸入變量相關性的隨機潮流計算方法.該方法針對系統(tǒng)中的非高斯輸入變量,建立其混合高斯模型(GMM).在此基礎上,引入高斯分量組合算法(GCCM),通過多次加權最小二乘計算(WLS)直接求得輸出變量的概率分布.研究限制GMM中高斯分量個數(shù)的約簡方法,以減少WLS運算次數(shù).對IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)的仿真和誤差分析表明,GMM具有擬合精度高、適用性廣的特點.所提方法與MCS的計算結果基本一致,但計算效率有了顯著提高,并且算法的速度和精度與WLS運算次數(shù)有關.
混合高斯模型;約簡算法;相關性;高斯分量組合;隨機潮流
近年來,以風電為代表的新能源發(fā)電在我國得到了大力發(fā)展[1-2].由于風機出力具有強隨機性、弱可控性,因而其大規(guī)模接入將給電網運行帶來許多不確定因素[3].而分布式電源及儲能的發(fā)展、電動汽車的興起以及電力市場的逐步建立則將加劇系統(tǒng)的不確定性[4-6].
另一方面,實際電力系統(tǒng)中還需考慮各種關聯(lián)因素的影響,如同一地區(qū)的同類負荷受自然或社會因素的影響具有相似的波動特性,地理位置相近的風電場之間風速具有強相關性(同時增大或減小)等[7-8],隨著能源互聯(lián)網概念的提出[9],未來電網中各部分的聯(lián)系將愈加緊密.為了應對新環(huán)境下電網呈現(xiàn)出的隨機性和相關性的挑戰(zhàn),準確評估系統(tǒng)的潮流分布特性是基礎和前提.
近些年,大量國內外學者在Borkowska等[10]提出的隨機潮流基礎上考慮相關性因素.目前,相關性的隨機潮流方法有蒙特卡洛仿真法(MCS)、點估計法(PEM)[11-12]和半不變量法[13]等.以簡單隨機采樣為基礎的傳統(tǒng)MCS除了原理簡單、精度高的優(yōu)勢外,還能方便地與ARMA模型和時移技術[14]、Nataf變換[15]、Copula函數(shù)等相關性問題的處理方法相結合,但計算規(guī)模大、耗時長,即使采用改進的抽樣技術,如拉丁超立方采樣[16]、準蒙特卡洛法等,計算負擔仍很重,這也制約了其進一步發(fā)展.而點估計法和半不變量法與MCS相反,文獻[17-18]通過Cholesky分解在上述方法的基礎上考慮輸入變量之間的相關性,但當系統(tǒng)規(guī)模較大時,其有效性及誤差大小有待進一步驗證.文獻[19]將不確定度量化的方法用于隨機潮流中,采用基于廣義正交多項式混沌(gPC)的隨機Galerkin法,將隨機潮流方差轉化為一組確定性的高維方差,通過一次求解代替MCS的反復計算,具有較高的計算精度.
由于系統(tǒng)的隨機輸入變量,如負荷功率、風電機組出力等大多是非高斯分布,難以用單一的標準分布函數(shù)準確擬合[20],使得PEM所得高階矩誤差較大,并給輸入變量的各階半不變量求解帶來困難.文獻[21-23]采用高斯分布來近似不同類型的負荷,由此產生的建模誤差會帶入到隨機潮流計算中,并在誤差傳遞作用下放大[24],影響結果的精度.
本文提出了采用混合高斯模型(Gaussian mixture model, GMM)描述系統(tǒng)的相關非高斯輸入變量,能夠適應各種分布類型且擬合精度較高.并在此模型基礎上,引入高斯分量組合算法(Gaussian component combination method, GCCM),通過多次加權最小二乘運算(weighted least square, WLS)得到各節(jié)點電壓和支路潮流的概率分布(PDF).為了減少WLS計算次數(shù),研究不同的約簡方法以限制GMM的高斯分量個數(shù).通過對IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)的測試,驗證了所提方法的準確性和實用性.
GMM是由若干個高斯分布加權線性疊加而成,對于一維隨機變量X,其PDF可表示為[25]
(1)
式中,ωi,μi和σi分別為GMM中第i個分量的權重、均值和標準差.其中,權重系數(shù)ωi必須滿足歸一化條件,即
(2)
通過EM算法[26]并結合量測數(shù)據(jù)可以方便地求得參數(shù)ω,μ和σ.而高斯分量個數(shù)n會直接影響模型的精確程度,n越大,模型的偏差越小.理論上,當n→∞時,GMM能夠平滑任何類型的輸入變量分布,但待求參數(shù)和耗時也增大.應用AIC信息準則[27]能夠較好地平衡模型復雜度與擬合準確性之間的矛盾,從而得到n的最佳取值.圖1為采用GMM(n=4)近似非高斯的實際負荷樣本分布.為了評估GMM的擬合效果,選取3種常用分布(高斯分布、對數(shù)高斯分布和γ分布)作為參照(見圖2),可以看出,GMM的擬合精度明顯優(yōu)于其他分布.卡方檢驗[28]可用于擬合優(yōu)度的量化分析,卡方值越小,說明函數(shù)的擬合效果越好.表1列出了不同擬合分布卡方值的大小(利用Matlab中的chi2gof函數(shù)),其中GMM的卡方值遠小于其他3種分布,證明了其建模的準確性.
圖1 實際負荷的混合高斯模型近似
圖2 不同擬合曲線的比較
表1 各種分布的卡方檢驗
當系統(tǒng)中采用GMM所表示的非高斯輸入變量較多時,隨機潮流計算規(guī)模會隨高斯分量個數(shù)n的增大成幾何倍數(shù)甚至指數(shù)式的增長.因此,在基本不丟失擬合精度的前提下,采用約簡算法以減少高斯分量的個數(shù)n.約簡算法主要應滿足以下三點準則:
1) 保持約簡前后的均值和方差不變,即使有偏差也很小,可忽略不計.
2) 算法本身便捷有效、魯棒性好.
3) 約簡后的結果應當與初始模型具有類似的結構或形式上一致.
一般的約簡方法,如文獻[29]的整體合并和聚類合并能夠滿足上述準則1或2,但約簡得到的結果均為單一的高斯分布,在形式上與原GMM有一定差異.為了滿足準則3的要求,本文采用配對合并的方法,設約簡后的結果為gX(x),可表示為
(3)
Jd=∫(fX(x)-gX(x))2dx
(4)
式(4)可進一步展開為
Jd=Jd,ff-2Jd,fg+Jd,gg
(5)
其中,Jd,ff=∫fX(x)2dy,Jd,fg=∫fX(x)gX(x)dx,Jd,gg=∫gX(x)2dx.結合式(1)、(3)中的fX和gX的具體表達式,可得
2個高斯函數(shù)乘積的積分可表示為[30]
(9)
式中,α為尺度參數(shù),
(10)
(11)
(12)
用式(9)替換式(6)~(8)中的積分項,經化簡后得到
(13)
(14)
(15)
將gX中所有分量兩兩配對組合,使Jd最小的一對分量i,j合并,得到新的高斯分量ij的各個參數(shù)為
(16)
(17)
(18)
完成一次配對合并,gX減少一個分量,但均值和方差保持不變.重復以上步驟,直到高斯分量個數(shù)n達到指定值.圖3為配對合并后所得gX(l=2,3)的曲線,相較于前2種約簡方法,其與原GMM分布基本吻合,擬合效果最好.
圖3 不同約簡模型的比較
3.1 高斯分量組合算法
Dopazo等[31]借鑒了狀態(tài)估計的思想,利用WLS進行隨機潮流計算,但所有輸入變量必須服從高斯分布.針對用GMM近似的非高斯輸入變量,本文提出一種高斯分量組合算法(GCCM).從各GMM中每次選取一個高斯分量并進行WLS運算,共有Nc種高斯分量的組合方式,總的WLS運算次數(shù)為
(19)
式中,N為非高斯輸入變量的個數(shù);Li為第i個GMM所含高斯分量的個數(shù).若Li=1,i=1,2,…,N,則意味著所有輸入變量的PDF都簡化為高斯分布,此時只需要一次WLS運算.
就單次運算,WLS方法的關鍵是最小化如下目標函數(shù):
J(x)=[z-h(x)]TR-1[z-h(x)]
(20)
式中,x為由節(jié)點電壓幅值和相角組成的向量;z為輸入變量向量(高斯分量的均值);h(x)由一系列非線性的節(jié)點電壓量測方程組成;R為輸入向量z的誤差協(xié)方差矩陣.
矩陣R的對角元素為對應的高斯分量的方差,而非對角元素反映的是不同輸入變量間的相關性.假設任意2個高斯分量的相關性與它們各自所屬的GMM間的相關性保持一致,則非對角元素R(i,j)可表示為
R(i,j)=ρijσiσj
(21)
式中,σi,σj為高斯分量i或j的標準差;ρij為第i,j個輸入變量之間的相關系數(shù).通過迭代搜尋使式(20)的最優(yōu)狀態(tài)估計值最小,第k次迭代的表達式為
G(xk)Δxk=HT(xk)R-1[z-h(xk)]
(22)
式中,H=(?h(x)/?x);G=HTR-1HT為信息矩陣.當Δxk=xk+1-xk小于設定值時,迭代終止.由求得的狀態(tài)量可進一步計算出系統(tǒng)的支路潮流及各節(jié)點的注入量.
對信息矩陣G求逆,可以得到狀態(tài)量x的協(xié)方差矩陣Σs,即
Σs=[HT(x)R-1HT(x)]-1
(23)
相應地,支路潮流和部分節(jié)點注入量的協(xié)方差矩陣Σp可表示為
Σp=K(x)G-1(x)KT(x)
(24)
式中,K(x)=(?k(x)/?x),k(x)為包含支路潮流及節(jié)點注入量的量測方程.
(25)
最終建立節(jié)點電壓幅值、相角及支路潮流的PDF表達式為
(26)
3.2 算法流程
GCCM算法求解隨機潮流的流程如圖4所示,可歸納為以下幾步:
① 分別從GMM擬合的各輸入變量中選取一個高斯分量,形成一種組合方式.每個高斯分量的均值作為輸入變量向量z的一個元素,方差為誤差協(xié)方差矩陣R相應的對角元素.考慮輸入變量的相關性,由式(21)修正R中的非對角元素.
② 通過WLS得到系統(tǒng)節(jié)點電壓、支路潮流及部分節(jié)點注入量的最優(yōu)估計值,并儲存式(23)、(24)所得協(xié)方差矩陣Σs和Σp的對角元素.
④ 重復步驟①~③,直到輸入變量的所有高斯分量組合方式都完成遍歷.最終Nc個高斯分量按式(26)建立輸出變量的PDF.
GCCM的耗時主要取決于WLS運算次數(shù)Nc.如果Nc較大,則需要在對非高斯輸入變量建模后,采用2.3節(jié)的方法約簡GMM中高斯分量的個數(shù).由式(19)可知,對于輸入變量個數(shù)Nc較多的大型系統(tǒng),每約簡一個高斯分量,Nc會顯著減小,相應的計算時間也隨之減少.
圖4 GCCM隨機潮流計算方法的流程圖
4.1 仿真系統(tǒng)介紹
由于WLS計算誤差一般與系統(tǒng)規(guī)模關系不大[31],為了便于說明問題,以改進的IEEE-30節(jié)點系統(tǒng)為例,網絡結構與線路參數(shù)詳見文獻[32].在節(jié)點24,29處分別接入2座裝機容量為10,35 MW的小型風電場,其有功功率采用GMM擬合,具體參數(shù)如表2所示.采用恒功率因數(shù)控制方式(φ=0.95),風電場之間的出力具有相關性,相關系數(shù)ρ=0.6.
表2中GMM參數(shù)的確定需要大量的風電場歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù),若缺少必要的量測數(shù)據(jù),則通常先利用標準分布函數(shù)(如Weibull分布)來近似風速分布,并結合風電機組的輸出特性,得到風電場出
力的概率分布[33].由于風速擬合過程中不可避免地會產生誤差,在風機輸出特性的傳遞作用下,該誤差將被放大,導致模型精度不高.
表3給出了采用GMM擬合的負荷模型參數(shù),一般高斯分量n取2或3即可達到AIC信息準則的收斂要求.假定負荷有功與無功之間的功率因數(shù)角恒定,有
(27)
式中,μP,σP為有功功率高斯分量的均值和標準差;φ為功率因數(shù)角.
表2 風電場有功功率的GMM參數(shù) p.u.
表3 負荷有功功率的GMM參數(shù) p.u.
除節(jié)點4,7和21外,其余節(jié)點負荷功率均服從高斯分布,均值見文獻[32]的負荷數(shù)據(jù),標準差取均值的10%.考慮節(jié)點負荷之間的相關性,可將系統(tǒng)大致分為2個區(qū)域:區(qū)域1包含節(jié)點16~20,相關系數(shù)ρ1=0.6;區(qū)域2(節(jié)點15,23~26)的相關系數(shù)ρ2=0.75,2個區(qū)域間存在弱相關性(ρ1,2=0.2).
4.2 仿真結果與誤差分析
采用GCCM對上述算例進行仿真計算,為了比較負荷的GMM及高斯模型對隨機潮流結果的影響,利用下式將表3中的節(jié)點負荷模型替換為與原GMM相等的高斯分布的均值和方差:
(28)
(29)
以MCS所得結果作為參照(樣本規(guī)模NL=2×104),圖5為節(jié)點25電壓幅值U25及支路19-20無功功率的CDF曲線比較.由圖可知,采用GMM求得的概率分布曲線非常接近于MCS方法的概率分布,而高斯模型的概率分布與MCS存在一定偏差.
對上述誤差做定量分析,引入方差和的根均值(average root mean square,ARMS)來衡量輸出變量概率分布的計算精度[34],即
(30)
(a) 節(jié)點25電壓幅值的CDF
(b) 支路19-20無功功率的CDF
為了減少WLS的運算次數(shù),采用配對合并方法對表2中GMM擬合風電場有功出力進行高斯分量的約簡,將高斯分量個數(shù)L從5降至4,最后降到3,則對應的WLS次數(shù)Nc=300,192和108(取決于所有GMM的高斯分量組合數(shù)).
表4 部分輸出變量的ARMS %
圖6(a)比較了約簡前后節(jié)點26電壓幅值的PDF.可以明顯看出,Nc=300和192所對應的PDF與MCS的結果較為接近,而當WLS次數(shù)Nc降至108時,經約簡所帶來的擬合誤差影響開始顯現(xiàn),盡管得到的PDF曲線形狀上仍保持一致,但精度有所損失.
圖6(b)給出的支路10-17無功功率的變化規(guī)律與圖6(a)的電壓幅值變化規(guī)律正好相反:WLS次數(shù)越少,其PDF反而越接近MCS的結果.這是由于所提方法假設相關系數(shù)ρij在每次WLS計算中固定不變(即任意2個高斯分量的相關性與它們各自所屬的GMM間的相關性一致),導致每次運算都會引入誤差,而減小Nc能有效避免這種誤差的影響.
(a) 節(jié)點26電壓幅值的PDF
(b) 支路10-17無功功率的PDF
表5列出了系統(tǒng)輸出變量均值μ和標準差σ的平均相對誤差[35].可以看出,均值的相對誤差都很小,且與Nc關系不大,而對標準差σ而言,Nc越大,誤差傳遞的次數(shù)越多,標準差的相對誤差也就越大.
表5 均值和標準差的平均相對誤差 %
在主頻為2.63 GHz、運行內存為2 GB的intel i3計算機上,采用Matlab 2012b運行得到算法的計算時間如表6所示.當Nc=300時,其耗時約為MCS(NL=2×104)的3%,且隨Nc的減小,耗時呈線性下降,極大地提升了計算效率.
表6 算法的計算時間對比 s
1) 與其他標準分布相比,GMM的擬合精度更高,且模型靈活簡單、參數(shù)確定較為方便.
2) 所提方法的計算耗時相較于MCS有了顯著降低,通過對高斯分量約簡,減少了GCCM中WLS運算次數(shù),可進一步加快計算速度.
3) 利用誤差協(xié)方差矩陣中的非對角元素,能方便地處理輸入變量之間的相關性.
4) 由于算法假設高斯分量間的相關系數(shù)在計算過程中固定不變,故每次WLS運算都會引入誤差.約簡高斯分量個數(shù)雖然使模型精度下降,但也減少了WLS運算次數(shù),減小了誤差傳遞的影響,在某些場合反而能提高精度.
雖然本文的約簡方法有效地提升了計算效率,但當系統(tǒng)規(guī)模巨大,隨機變量數(shù)量眾多,維數(shù)升高時,所提算法的計算量會顯著增加.后續(xù)將研究通過高性能并行計算或分布式計算策略,實現(xiàn)所提算法在實際大規(guī)模場景下的在線應用.
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Probabilistic load flow with non-Gaussian correlated input variables based on Gaussian mixture model
Huang Yu1Xu Qingshan1Liu Jiankun2Wei Peng2
(1School of Electrical Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)(2Jiangsu Electric Power Research Institute, Nanjing 210003, China)
An algorithm for probabilistic load flow considering the correlation between input variables was proposed. A Gaussian mixture model (GMM) was established by the algorithm to represent non-Gaussian input variables in the system. On such a basis, a Gaussian component combination method (GCCM) was introduced and the marginal distribution of any output variable was directly obtained from multiple weighted least square runs (WLS). A study was also carried out to reduce the number of trials by limiting the number of Gaussian components. The simulation and error analysis on IEEE-30 test system indicated that GMM had the features of high fitting precision and wide applicability. The results obtained from the proposed method are identical to that of MCS and the computational efficiency is obviously improved. The effectiveness and the accuracy are proved to be closely related to operation times of WLS.
Gaussian mixture model; reduction algorithm; correlation; Gaussian component combination; probabilistic load flow
10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.016
2016-07-19. 作者簡介: 黃煜(1992—),男,博士生;徐青山(聯(lián)系人),男,博士,教授,博士生導師,xuqingshan@seu.edu.cn.
國家自然科學基金資助項目(51577028)、國家電網公司科技資助項目.
黃煜,徐青山,劉建坤,等.基于混合高斯模型的相關非高斯輸入變量隨機潮流計算[J].東南大學學報(自然科學版),2017,47(2):291-298.
10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.016.
TM74
A
1001-0505(2017)02-0291-08