□ 高子林

“分數(shù)是什么，怎么教”的研究報告

□ 高子林

分數(shù)是小學數(shù)學教學的重點也是難點。經(jīng)過長期的教學改革，分數(shù)教學始終沒能有效幫助學生解決“量”與“率”的科學建構(gòu)。從“率”入手的教學偏向于知識的“順應”，是“開一口新井”；從“量”入手的教學是“在老井里打水”，更加重視知識的“同化”。本報告試圖從數(shù)學的知識邏輯、學生的認知邏輯和教師的教學邏輯中，找尋突破分數(shù)教學困境的路徑——先用“平均除”引入作為量的分數(shù)，然后用“倍數(shù)除”引入作為率的分數(shù)，再構(gòu)建完整的“商定義”與“份定義”兼顧的分數(shù)概念。

分數(shù) 學情 經(jīng)驗 教學改進

分數(shù)是小學數(shù)學教學的重點也是難點。經(jīng)過長期的教學改革，分數(shù)教學始終沒能有效幫助學生解決“量”與“率”的科學建構(gòu)，令類似“一根鐵絲長2米，平均分成4份，每份長（）米，每份占全長的（）”這樣的高錯誤率問題長期困擾一線教師。原因是什么？是學生的心智不夠成熟引起的嗎？是教師的教法不夠機智引起的嗎？是教材的編排不夠科學引起的嗎？如果學生的心智能夠接受分數(shù)，那么問題一定出在教材或教師的身上。本報告試圖打開這個“心結(jié)”。

一、內(nèi)容解讀

分數(shù)是什么？要講清它，我們首先要了解一件很重要的事件——“量的度量”——“在度量的時候，得出一個數(shù)，它表示一已知量所含度量單位的倍數(shù)，這個數(shù)叫作該量的數(shù)值……一般說起來，量A如果用度量單位B去度量，如果不是整數(shù)倍數(shù)時，度量的結(jié)果便不能用整數(shù)來表示。我們便把B分為n等份，取其中的一等份作度量單位而去量它的剩余部分。假如剛好量m次量盡了，那么量A的剩余部分的度量結(jié)果用來表示所產(chǎn)生的新數(shù)。這新數(shù)叫作分數(shù)，數(shù)m叫作分子而數(shù)n叫作分母”。而類似于“度量”的情況，也可能在“分物”時出現(xiàn)，而且統(tǒng)統(tǒng)都是“平均除”解決問題的過程——“分數(shù)的真正來源，在于自然數(shù)除法的推廣”。因此，人教版教材在“分數(shù)的產(chǎn)生”一節(jié)中就講到“在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時常用分數(shù)來表示”。這也可能是北師大版教材在“分數(shù)的意義”教學中，會有“用紙條量數(shù)學書的長寬”“豬八戒分餅”“分數(shù)與除法”等專題的道理。

分數(shù)有一種十分流行的定義：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫作分數(shù)。”這正是目前所編教材所采用的觀點，即所謂的份數(shù)定義。

但是，分數(shù)的本質(zhì)卻是“分數(shù)是兩個整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商”（商定義），或“分數(shù)是整數(shù)q與整數(shù)p（p≠0）之比”（比定義）。由此看，分數(shù)的“份數(shù)定義”其實就是“比定義”的一部分（部分和整體的比）。

“比的定義和商的定義相近，值相同，表達的方式不同。在教學處理上，第一階段的分數(shù)教學，先出份數(shù)的定義，然后過渡到商定義”。現(xiàn)行教材，基本上就是按照這樣的邏輯展開的，因而大同小異。如下表。

認識1蘇教版份數(shù)意義認識2 §1份數(shù)定義§2商定義（分數(shù)與除法）認識3人教版份數(shù)意義§1分數(shù)的產(chǎn)生§2份數(shù)定義§3 商 定 義（分數(shù)與除法）比定義（除法、分數(shù)與比）北師大版份數(shù)意義§1份數(shù)定義§2份數(shù)定義（測量）§3份數(shù)定義（分物）§4商定義（分數(shù)與除法）比定義（除法、分數(shù)與比）比定義（除法、分數(shù)與比）

二、學生研究

現(xiàn)行教材中，用份數(shù)來定義分數(shù)，有不少缺點。比如圖1，學生會看到什么分數(shù)呢？

圖1

調(diào)查結(jié)果如下表：

?

可見，“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫作分數(shù)”只揭示出了“部分與整體的關系”，常常讓學生誤解為分數(shù)總是小于1。同時，用份數(shù)來定義分數(shù)，也容易讓學生將分數(shù)與商對立起來，不僅“矮化”了分數(shù)概念，而且“鈍化”了除法思維。比如在筆者組織的一項調(diào)查中，面對“把8個月餅平均分成4份，每份是（ ）個，每份占總數(shù)的（ ）”，學習分數(shù)之前的二年級學生和學習分數(shù)之后的四年級學生，出現(xiàn)了令人匪夷所思的結(jié)果——

二年級四年級六年級每份是（ ）個正確率91.9%正確率22.6%正確率90.9%每份占總數(shù)的（ ）正確率8.1%正確率51.6%正確率87.9%

四年級學生雖然對“率”的理解水平在上升，但對“量”的理解水平卻出現(xiàn)了明顯下降，而到六年級又大為改善。為什么會這樣？筆者發(fā)現(xiàn)，除了“兩個相近問題出現(xiàn)了相互干擾”外，還大致與學生的數(shù)學經(jīng)驗和思維方式相關——

二年級學生采用“自然數(shù)除法”思考：把8個月餅平均分成4份，每份都是2個。

四年級學生試圖用“份數(shù)定義”思考“數(shù)量”：把8個月餅看作一個整體，平均分成4份，每份是4分之一個（筆者注：分數(shù)的份數(shù)定義與自然數(shù)除法“打了架”）。

六年級學生用“商定義”或“比定義”的方式進行思考：把8個月餅平均分成4份，每份是8個除以4份等于2個，也是2個除以8個等于總數(shù)的4分之一（筆者注：這是數(shù)量比的方法），或者1份除以4份等于總數(shù)的4分之一（筆者注：這是份數(shù)比的方法）。

由此，我們是不是可以這樣說，分數(shù)的“份數(shù)定義”從某種意義上講，是橫亙在學生基于“平均分思想（自然數(shù)除法）”將自然數(shù)自發(fā)擴展至有理數(shù)的巨石，令學生不能從一開始就有效建構(gòu)“分數(shù)”與“除法”的因果聯(lián)系。

三、經(jīng)驗回顧

近二十年來，教育界對待分數(shù)教學的主流策略是從“率”入手——對一個整體平均分后用“部分與整體的份數(shù)關系”定義分數(shù)，再逐步溝通“分數(shù)與除法、分數(shù)與比的關系”。這也是現(xiàn)行教材的特點。而小眾做法是從“量”入手，雖然也用“份數(shù)關系”定義分數(shù)，但表征的是分物或測量時不能用整數(shù)表示部分的數(shù)量，再逐步溝通“分數(shù)與除法、分數(shù)與比的關系”。兩者雖然各有千秋，但均是圍繞分數(shù)的“份數(shù)定義”展開的。

（一）由“率”入手的設計（邱向理：分數(shù)的初步認識）

從激活學生的生活經(jīng)驗切入，通過操作活動提升為活動經(jīng)驗和數(shù)學知識——把一個蘋果平均分成兩份，其中的一份可以用表示；把一張紙平均分成兩份，其中的一份可以用表示；把一張紙平均分成四份，其中一份可以用表示……學生新認識的分數(shù)是一種以“率”的身份存在的數(shù)。

師：佳佳和弟弟有一個蘋果，你猜他們怎樣分著吃？

……

生：可能一人一半分吃了。

師：（把一個蘋果平均分成兩份）你能用一個數(shù)表示一個蘋果的一半嗎？（二分之一；1的一半；0.5；

師：選一張紙（長方形、正方形、圓形、正三角形），折出這張紙的。

師：哪個不是二分之一？（略）

師：選一張紙（長方形、正方形、圓形、正三角形），折出這張紙的。

……

（二）由“量”入手的設計（朱國榮：分數(shù)的初步認識）

按照認識自然數(shù)的邏輯順序，組織學生以平均分為基礎認識表示數(shù)量的分數(shù)，并滲透分數(shù)表示部分與整體關系的含義——把8個月餅平均分成4份，其中1份有2個；把1個月餅平均分成4份，其中1份的大小是個；把1個月餅平均分成3份，其中1份的大小是個……學生新認識的分數(shù)是一種以“量”的身份存在的數(shù)。

師：把8個月餅平均分給4人，每人分得幾個？（略）

師：把9個月餅平均分給4人，結(jié)果是什么？生：每人2個，多1個。

生：每人2個，最后1個分成4份。

師：老師也分成了4份，你們同意這樣分嗎？

生：不同意。要平均分。

師：他說要平均分，你們明白他的意思嗎？是不是這樣？

師：我們把這個餅平均分成了4份。那一個人吃多少個呢？（生上來指出其中的1份）

師：這一份如果要用一個數(shù)來表示，你會怎么表示？

師：4位小朋友有4種不同的寫法，你贊同哪一種，為什么？

生：我覺得半個的半個也可以，就是寫起來比較麻煩。

生：最后一個寫倒了。

師：寫“一塊”行不行？

生：寫“一塊”是不行的，如果寫“一塊”，我們不知道這一塊有多大。

師：這個數(shù)讀作四分之一，是我們今天這節(jié)課要認識的一種新的數(shù)——分數(shù)。

師：把1個月餅平均分成3份，每份是（）個月餅。（略）把1個月餅平均分成5份，每份是（）個月餅。（略）

……

四、教學改進

雖然上面兩位教學專家都利用“份數(shù)定義”指導學生認識分數(shù)，但是，從學的角度講，從“率”入手的設計偏向于知識的“順應”，是“開一口新的井”；而從“量”入手的設計是“在老井里打水”，更加重視知識的“同化”。這是因為學生之前一直學習“自然數(shù)除法”，對于“量”的生活經(jīng)驗和數(shù)學認知明顯多于“率”，從“量”入手進行分數(shù)教學，就是像自然數(shù)那樣學習分數(shù)，更容易進入學生的認知結(jié)構(gòu)。這也吻合分數(shù)的起源。從“量”入手既代表了小學數(shù)學界對“生本課堂”的追求，也預示了分數(shù)教學改革的趨勢。

從“量”入手，已經(jīng)距離“用分數(shù)表示商”不遠。我們能不能以“自然數(shù)除法”為依托再向前推進一步，采用“商的擴展”（商定義）方式組織分數(shù)教學呢？有專家也曾說過：從知識銜接的角度，建議可在有關實物均分的整體與部分的例子中增加若干運用到簡單除法運算的例子，從而引導學生關注分數(shù)與除法的關系，一方面顯示分數(shù)就是除法運算的結(jié)果，另一方面幫助學生將分數(shù)從具體事物中抽象出來。

從學生的學習經(jīng)驗和知識儲備看，他們有豐富的“平均除”和“倍數(shù)除”經(jīng)驗，尤其是“平均除”，具有在原有整數(shù)商的基礎上建構(gòu)分數(shù)商的基礎。

從數(shù)學的發(fā)展來看，如果拋開分數(shù)的公理化定義，分數(shù)的商定義和比定義涵蓋作為量的分數(shù)和作為率的分數(shù)，外延較之份數(shù)定義要大。如下圖。

筆者認為：把從“量”入手認識分數(shù)的策略進一步推向前進，引入分數(shù)的“商定義”，同時兼顧“份數(shù)定義”，可以更好地幫助學生“同化”和“建構(gòu)”分數(shù)，實現(xiàn)有理數(shù)認識的自然生長。具體做法是：先用“平均除”引入作為量的分數(shù)，然后用“倍數(shù)除”引入作為率的分數(shù)，再構(gòu)建完整的“商定義”與“比定義”兼顧的分數(shù)概念。

（一）“認識分數(shù)（量）”的新設計（在朱國榮團隊研究成果上改進，見表1）

表1

（二）“認識分數(shù)（率）”的新設計（在朱國榮團隊研究成果上改進，見表2）

雖然從最終獲得知識的結(jié)果看，分數(shù)的教學無論是“先率再量”還是“先量再率”，無論是“先份數(shù)定義，再擴展到商定義”還是“商定義兼顧份數(shù)定義”，殊途同歸，似乎并沒有多大差別。但是，從學生的認識邏輯看，意義卻是非同凡響的——前者，以知識為本，學習方式以順應為主；后者，以學生為本，學習方式以同化為主。在尊重認知規(guī)律、倡導生本課堂的今天，我們或許更應該考慮后者。

表2

[1]張奠宙，孔凡哲，等.小學數(shù)學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]趙登明.分數(shù)教學[M].鄭州：河南人民出版社，1964.

[3]吳衛(wèi)東，邱向理.小學數(shù)學典型課示例[M].長春：東北師范大學出版社，2005.

[4]張春莉，吳正憲.讀懂中小學生數(shù)學學習[M].北京：北京師范大學出版社，2015.

[5]楊佑清.教學論新編[M].北京：人民教育出版社，2011.

[6]章敏.關于分數(shù)教學的思考[J].課程·教材·教法，2015，（03）.

[7]朱國榮.像教自然數(shù)那樣教分數(shù)[J].小學教學（數(shù)學版），2015，（07）.

（浙江省海寧市仰山小學 314400）