李洪均 謝正光 王 偉

(南通大學(xué)電子信息學(xué)院, 南通 226019)

小波域的灰色關(guān)聯(lián)度圖像壓縮

李洪均 謝正光 王 偉

(南通大學(xué)電子信息學(xué)院, 南通 226019)

為了改善小波變換的圖像稀疏表示性能,提出了一種小波域的灰色關(guān)聯(lián)度圖像壓縮算法．首先,利用小波變換對(duì)測(cè)試圖像進(jìn)行分解,獲得不同區(qū)域的小波系數(shù);然后,利用小波系數(shù)特點(diǎn),將灰色關(guān)聯(lián)度用于系數(shù)關(guān)聯(lián)度的刻畫(huà)中,并計(jì)算不同尺度間系數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度;根據(jù)小波系數(shù)區(qū)域特征,將小波系數(shù)進(jìn)行分類,構(gòu)造出不同系數(shù)類型下的稀疏表示方法;最后,將該算法應(yīng)用于圖像壓縮．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在相同壓縮率下,所提算法的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)峰值信噪比較現(xiàn)有同類算法提高了1.04～3.65 dB,圖像主觀視覺(jué)質(zhì)量明顯提高．所提算法能夠結(jié)合系數(shù)特征和視覺(jué)特性自適應(yīng)地構(gòu)造字典,提高了圖像稀疏表示能力,進(jìn)一步提高了圖像壓縮性能．

圖像壓縮;圖像稀疏表示;灰色關(guān)聯(lián)度;小波變換

隨著信息技術(shù)的發(fā)展,圖像等信息的容量日益增大,圖像壓縮研究成為熱點(diǎn). 圖像壓縮是數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)在數(shù)字圖像上的應(yīng)用,其目的是減少圖像數(shù)據(jù)中的冗余信息、采用更高效的格式存儲(chǔ)和傳輸數(shù)據(jù)．JPEG和JPEG2000為最常見(jiàn)的圖像壓縮算法,分別以離散余弦變換和離散小波變換為基礎(chǔ). 由于離散小波變換比離散余弦變換更稀疏,因此,JPEG2000的壓縮性能更優(yōu). 圖像的稀疏特性[1]為圖像壓縮提供了有效途徑,尋求最稀疏的圖像表示是壓縮技術(shù)發(fā)展的核心.

1993年Shapiro[2]提出了嵌入零數(shù)小波編碼(EZW)算法,提升了圖像壓縮效果.多級(jí)樹(shù)集合分裂排序(SPIHT)算法[3]和SPECK算法[4]的提出,進(jìn)一步推動(dòng)了圖像壓縮相關(guān)研究的發(fā)展. 然而,低碼率情況下SPIHT 算法的解碼圖像質(zhì)量較差. 近年來(lái),學(xué)者們提出了各種改進(jìn)的圖像壓縮算法. Sprljan等[5]針對(duì)普通小波分解的缺陷,將小波包與SPIHT算法相結(jié)合運(yùn)用于圖像壓縮中. 鄧海濤等[6]利用EZW編碼的漸進(jìn)式傳輸特性和樹(shù)形結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了圖像壓縮和加密. Zhai等[7]提出了一種利用圖像塊的改進(jìn)JPEG圖像壓縮算法,在不同壓縮率下該算法都能獲得較好的視覺(jué)效果. Ma等[8]提出了一種基于自然圖像學(xué)習(xí)的圖像壓縮方法,能夠壓制圖像壓縮存在的魘像,并能較好地保留圖像高頻信息.

灰色理論[9]是由我國(guó)學(xué)者鄧聚龍1982年創(chuàng)立的.灰關(guān)聯(lián)分析法是灰色理論進(jìn)行系統(tǒng)分析的重要方法,它根據(jù)系統(tǒng)各因素間的內(nèi)部聯(lián)系和發(fā)展態(tài)勢(shì)的相似程度來(lái)度量因素之間的關(guān)聯(lián)程度.應(yīng)用灰色關(guān)聯(lián)分析研究復(fù)雜系統(tǒng)中各因素間關(guān)系,將幾個(gè)無(wú)任何規(guī)律的樣本序列間幾何形狀進(jìn)行比較,建立起整體比較機(jī)制,得出整體相似性定量的度量,從而找出影響系統(tǒng)發(fā)展趨勢(shì)的重要因素,掌握事物的主要特征.灰色關(guān)聯(lián)分析不需要采用大量數(shù)據(jù)作為樣本來(lái)找出統(tǒng)計(jì)規(guī)律,也不要求樣本服從某個(gè)典型的概率分布,其優(yōu)勢(shì)是傳統(tǒng)系統(tǒng)分析方法無(wú)法做到的.

目前,國(guó)內(nèi)已有很多關(guān)于灰色理論應(yīng)用于圖像處理方面的研究工作[10-13].文獻(xiàn)[10]詳細(xì)介紹了灰色理論的內(nèi)容、特點(diǎn)和基礎(chǔ)理論,分別從圖像處理、圖像分析和圖像理解的角度來(lái)分析灰色理論在圖像工程中的研究進(jìn)展和未來(lái)發(fā)展方向.文獻(xiàn)[11]在灰色理論的基礎(chǔ)上,提出了一種圖像隱藏算法,該算法具有較好的隱蔽性和魯棒性.灰色理論用于圖像處理時(shí)模型精度高,能準(zhǔn)確地反映圖像特征;對(duì)于數(shù)據(jù)量的要求不高,便于算法實(shí)現(xiàn);對(duì)于測(cè)試圖像的先驗(yàn)知識(shí)要求不高,尤其適用于無(wú)參考模型下的圖像處理.

針對(duì)目前小波變換圖像壓縮算法中存在的稀疏性不高等問(wèn)題[14],本文利用系數(shù)分類壓縮的方法來(lái)提高壓縮效率. 基于灰色關(guān)聯(lián)度在系數(shù)特性分析上的優(yōu)勢(shì),彌補(bǔ)小波變換方向捕捉中的不足,提高圖像稀疏表示能力. 同時(shí),利用人眼視覺(jué)各向異性特征,設(shè)計(jì)不同方向稀疏字典.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在相同壓縮比下,本文壓縮算法的主客觀評(píng)價(jià)具有明顯優(yōu)勢(shì).

1 小波變換

二維離散小波變換可以由一維信號(hào)的離散小波變換推導(dǎo)得到.經(jīng)過(guò)小波變換后,圖像分解為ILL,ILH,IHL,IHH四個(gè)子圖像,進(jìn)一步對(duì)ILL子圖像應(yīng)用二維小波變換,構(gòu)造出下一尺度的4個(gè)子圖像,直至獲得滿意的小波尺度為止.其中,ILL為平滑分量;IHH,ILH,IHL為細(xì)節(jié)分量,IHL體現(xiàn)了圖像水平方向的邊緣、輪廓和紋理等細(xì)節(jié)信息,ILH體現(xiàn)了垂直方向的邊緣、輪廓和紋理等細(xì)節(jié)信息,IHH體現(xiàn)了對(duì)角方向的邊緣、輪廓和紋理等細(xì)節(jié)信息.

小波系數(shù)相關(guān)性主要是指信號(hào)在各層相應(yīng)位置上小波系數(shù)之間的關(guān)系. 信號(hào)的小波變換一般具有強(qiáng)相關(guān)性,相鄰尺度上的局部極大值幾乎出現(xiàn)在相同位置上,并且有相同的符號(hào).因此,有必要對(duì)小波系數(shù)隨尺度變化所呈現(xiàn)的特有性質(zhì)進(jìn)行研究.根據(jù)系數(shù)的空間位置,可將小波系數(shù)間的關(guān)聯(lián)特性分為三大類:尺度內(nèi)的相關(guān)性、尺度間的相關(guān)性和同時(shí)考慮尺度內(nèi)和尺度間的系數(shù)相關(guān)性.

由小波系數(shù)特點(diǎn)的分析可知,小波系數(shù)區(qū)域的特性存在差異,不同區(qū)域小波系數(shù)存在不同的特性,而相同區(qū)域內(nèi)的系數(shù)存在相同特性.如何使類內(nèi)系數(shù)最大限度地稀疏而類間系數(shù)不相關(guān),是圖像壓縮的關(guān)鍵.然而,經(jīng)小波變換后,圖像系數(shù)中存在大量的不確定信息.

2 灰色關(guān)聯(lián)度的圖像壓縮算法

2.1 灰色關(guān)聯(lián)度的圖像稀疏表示可行性分析

圖像稀疏表示[15]是解決對(duì)非確定性問(wèn)題的最優(yōu)逼近,常見(jiàn)的不確定性系統(tǒng)研究方法主要包括概率統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)和灰色理論.圖像本身就是一個(gè)內(nèi)部信息部分已知但信息不能完全被確定的系統(tǒng),這樣的系統(tǒng)問(wèn)題是不能借助于傳統(tǒng)的概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)解決的.灰色理論對(duì)于圖像模型的先驗(yàn)知識(shí)要求不高,適合用于各種圖像處理問(wèn)題中,能夠彌補(bǔ)圖像稀疏表示在字典設(shè)計(jì)應(yīng)用中的缺陷.同時(shí),灰色理論樣本量小,便于提高算法的效率.因此,將灰色理論引入到稀疏表示中,有助于進(jìn)行非確定性問(wèn)題的最優(yōu)逼近研究.

目前,關(guān)于SPIHT編碼改進(jìn)算法的研究主要是編碼優(yōu)化,關(guān)于小波變換部分的改進(jìn)并不多見(jiàn).灰色關(guān)聯(lián)度能夠有效度量小波系數(shù)之間的關(guān)聯(lián)程度,通過(guò)這些相似程度來(lái)判斷系數(shù)存在的一些特性.利用灰色關(guān)聯(lián)度分析找出存在于系數(shù)之間的特定關(guān)系,確定不同系數(shù)的重要性,提高系數(shù)的表征能力,進(jìn)而提高圖像的壓縮性能.如何從系數(shù)中提取有效系數(shù)的過(guò)程即為圖像稀疏表示白化的過(guò)程,因此,圖像小波系數(shù)稀疏化的處理過(guò)程符合灰色關(guān)聯(lián)理論的特點(diǎn).引入灰色理論進(jìn)行小波系數(shù)灰色關(guān)聯(lián)度分析不僅可行而且具有優(yōu)勢(shì).

本文根據(jù)小波系數(shù)不同區(qū)域特點(diǎn),構(gòu)造不同類系數(shù)下的字典,實(shí)現(xiàn)小波系數(shù)類內(nèi)強(qiáng)相關(guān)、類間不相關(guān)的稀疏表示,并運(yùn)用于圖像壓縮中.所提的圖像壓縮算法解決了精確數(shù)學(xué)中難以解決的不確定性分析問(wèn)題,原理簡(jiǎn)單,計(jì)算復(fù)雜度低,意義明確,而且對(duì)于數(shù)據(jù)的分布類型以及變量間的相關(guān)類型都沒(méi)有特殊要求,具有較好的實(shí)用性和廣泛的應(yīng)用前景.

2.2 灰色關(guān)聯(lián)度的字典構(gòu)造圖像稀疏表示

灰色關(guān)聯(lián)度的字典構(gòu)造圖像稀疏表示的主要思想是:利用小波類內(nèi)系數(shù)的強(qiáng)相關(guān)性,并結(jié)合灰色理論在幾何結(jié)構(gòu)刻畫(huà)中的優(yōu)勢(shì),構(gòu)造出基于灰色關(guān)聯(lián)度的稀疏矩陣．針對(duì)同一類系數(shù),采用相同的稀疏結(jié)構(gòu).利用小波系數(shù)在不同區(qū)域的特點(diǎn),將小波系數(shù)進(jìn)行分類處理,即

y={Φ1,Φ2,Φ3,…,Φ3s+1}·

{xLLs,xHLs,xLHs,xHHs,…,xHL1,xLH1,xHH1}

(1)

式中,y為測(cè)試圖像;Φi為分解尺度i下的字典,且i∈[1,s];xLHi,xHLi,xHHi分別為分解尺度i下水平、垂直、對(duì)角方向的小波系數(shù)矩陣.

以某個(gè)系數(shù)類的字典Φ為例,構(gòu)造步驟如下:

① 將小波系數(shù)分為低頻分量、水平方向分量、垂直方向分量、對(duì)角方向分量4類.

② 當(dāng)分解尺度為i時(shí),水平方向和垂直方向下系數(shù)序列分別為

(2)

(3)

③ 計(jì)算2個(gè)序列的初值序列和差值序列,即

(4)

(5)

(6)

④ 計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度為

(7)

式中,λ為分辨率系數(shù);max(Δi),min(Δi)分別為差值序列中的最大值和最小值.2個(gè)序列的總體關(guān)聯(lián)度為

(8)

以此類推,可獲得分解尺度j下水平和垂直、垂直和對(duì)角、水平和對(duì)角方向系數(shù)間的灰色關(guān)聯(lián)度gi,HL-LH,gi,HL-HH,gi,LH-HH.

⑤ 計(jì)算類內(nèi)系數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度,并對(duì)不同區(qū)域的系數(shù)進(jìn)行分析．依次從左上角進(jìn)行處理,獲得不同方向上的關(guān)聯(lián)值.利用不同系數(shù)之間的差異,分別構(gòu)造不同方向的相關(guān)值.

⑥ 類內(nèi)系數(shù)灰色關(guān)聯(lián)矩陣為

(9)

其中,ξn,m為第n行第m列的系數(shù)關(guān)聯(lián)值.

⑦ 以類內(nèi)系數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度大于類間灰色關(guān)聯(lián)度為依據(jù),構(gòu)造字典Φ,即

(10)

(11)

(12)

式中,ΦLH,ΦHL,ΦHH分別為水平、垂直、對(duì)角方向下的字典;GLH,GHL,GHH分別為水平、垂直、對(duì)角方向下的灰色關(guān)聯(lián)矩陣；GLH(n,m),GHL(n,m),GHH(n,m)分別為其對(duì)應(yīng)的第n行第m列的灰色關(guān)聯(lián)度.

圖1給出了不同類小波系數(shù)下字典Φ的示意圖.由圖可知,水平和垂直方向下系數(shù)矩陣的稀疏程度明顯小于對(duì)角方向下的系數(shù)矩陣.由于人眼的時(shí)空頻率特性具有各向異性,人眼在空間頻率沿著45°對(duì)角方向的頻率寬度比水平和垂直方向的頻帶寬度小,且自然圖像出現(xiàn)對(duì)角線結(jié)構(gòu)的概率比縱橫結(jié)構(gòu)的概率小,因此,可以犧牲對(duì)角系數(shù)來(lái)提高其他系數(shù)的分辨率.

(a) 水平方向

(b) 垂直方向

(c) 對(duì)角方向

2.3 小波域灰色關(guān)聯(lián)度的圖像壓縮算法

根據(jù)以上分析,本文提出的基于灰色關(guān)聯(lián)度的圖像壓縮算法具體描述如下:

① 輸入測(cè)試圖像,對(duì)測(cè)試圖像進(jìn)行4尺度小波分解,將系數(shù)分成低頻分量、水平方向分量、垂直方向分量、對(duì)角方向分量4類.

② 計(jì)算系數(shù)類間的關(guān)聯(lián)度,獲得尺度系數(shù)間的灰色關(guān)聯(lián)度.

③ 計(jì)算類內(nèi)系數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度,并對(duì)類內(nèi)系數(shù)進(jìn)行分析．不同區(qū)域系數(shù)采用相應(yīng)的灰色關(guān)聯(lián)矩陣．

④ 構(gòu)造字典Φ,對(duì)不同尺度和方向下的小波系數(shù)進(jìn)行分類處理.

⑤ 重構(gòu)處理后的系數(shù),獲得壓縮后的圖像.

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性,選取大量測(cè)試圖像進(jìn)行試驗(yàn)．測(cè)試圖像的尺寸為512×512像素.濾波器選取了9-7小波,分解尺度選擇了4尺度.

首先,利用主觀視覺(jué)效果來(lái)評(píng)價(jià)壓縮質(zhì)量．圖2給出了不同壓縮率R下Barbara圖像的壓縮效果. 由圖可知, 利用WP-SPIHT算法[5]壓縮解壓后圖像的清晰度差,塊效應(yīng)現(xiàn)象突出. 利用本文算法則能較好地保持圖像中的細(xì)節(jié)信息,壓縮圖像紋理清晰,具有較好的圖像重構(gòu)質(zhì)量. 此外,本文算法在低比特率下細(xì)節(jié)信息丟失少,壓縮圖像仍然具有良好的視覺(jué)質(zhì)量.

(a) WP-SPIHT算法(R=0.25)

(b) WP-SPIHT算法(R=0.05)

(c) 本文算法(R=0.25)

(d) 本文算法(R=0.05)

然后,在不同碼率下利用客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)峰值信噪比PSNR來(lái)評(píng)估壓縮質(zhì)量. PSNR值越大,表示壓縮效果越好,圖像越清晰.圖3給出了不同類型圖像在不同壓縮率下的PSNR值.由圖可知,利用本文算法時(shí),測(cè)試圖像的PSNR值高于EZW算法[2]、SPHIT算法[3]和WP-SPHIT算法[5]. 本文算法利用灰色關(guān)聯(lián)度的稀疏表示來(lái)進(jìn)行圖像壓縮,不僅能提高圖像稀疏程度,而且能夠較好地保持圖像的結(jié)構(gòu)信息.

(a) Barbara圖像

(b) Baboon圖像

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文算法的優(yōu)越性,將本文算法與文獻(xiàn)[7-8]中的圖像壓縮算法進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果見(jiàn)表1. 由表可知,當(dāng)R=0.20,0.25,0.30,0.35時(shí),利用本文算法得到的測(cè)試圖像PSNR值較文獻(xiàn)[7]算法高1.28～3.65 dB,較文獻(xiàn)[8]算法高1.04～3.28 dB,即所提算法的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)峰值信噪比比現(xiàn)有同類算法提高了1.04～3.65 dB，說(shuō)明本文算法具有更好的壓縮效果.

表1 3種算法所得的圖像PSNR值比較 dB

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新的圖像壓縮算法. 利用灰色理論在不確定性系統(tǒng)研究中的優(yōu)勢(shì),結(jié)合小波分解系數(shù)的區(qū)域特征,分析不同尺度和方向下的小波系數(shù)灰色關(guān)聯(lián)度;依據(jù)人眼視覺(jué)特性在小波域不同方向下的表征差異,構(gòu)造不同尺度和方向下的灰色關(guān)聯(lián)字典;提出了一種小波域的圖像稀疏表示算法,并用于圖像壓縮. 基于小波域的圖像稀疏表示字典不僅解決了小波字典在結(jié)構(gòu)捕捉上的缺陷,同時(shí)結(jié)合了人眼視覺(jué)特性,提高了圖像稀疏表示的能力. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在同樣壓縮率的情況下,與現(xiàn)有的其他幾種圖像壓縮算法相比,利用本文算法所得的圖像質(zhì)量明顯提高,具有更好的視覺(jué)效果.

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Image compression based on grey relation in wavelet domain

Li Hongjun Xie Zhengguang Wang Wei

(School of Electronic Information Engineering, Nantong University, Nantong 226019, China)

To improve the ability of image sparse representation of wavelet transform, an image compression algorithm based on the grey relation in the wavelet domain is proposed. First, the test image is decomposed by wavelet transform, and the wavelet coefficient in each scale is obtained. Then, based on the characteristics of the wavelet coefficients, the relation of the coefficients is described based on the grey relation, and the grey relation of the coefficients among different scales is calculated. The wavelet coefficients are classified according to the regional characteristics and the sparse representation method with different types of coefficients is developed. Finally, the proposed algorithm is applied to image compression. The experimental results show that, with the same compression ratio, the objective evaluation index, the ratio of the peak signal to the noise ratio (PSNR), of the compressed image increases by 1.04 to 3.65 dB compared with that of the existing similar algorithms, and the subjective visual quality of the image is also improved. The proposed algorithm can adaptively construct a dictionary by combining the characteristics of coefficients and visual properties, thus improving the ability of image sparse representation and enhancing the image compression performance.

image compression; image sparse representation; grey relation; wavelet transform

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.007

2016-08-12. 作者簡(jiǎn)介: 李洪均(1981—)，男，博士，副教授，lihongjun@ntu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61371111,61371112,61371113,61401241,61601248)、江蘇省高校自然科學(xué)研究面上資助項(xiàng)目 (16KJB510036)、江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PPZY2015B135)、江蘇省基礎(chǔ)研究計(jì)劃(自然科學(xué)基金)資助項(xiàng)目(BK20130393)、南通市應(yīng)用研究計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(MS12016025).

李洪均,謝正光,王偉.小波域的灰色關(guān)聯(lián)度圖像壓縮[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,47(2):236-241.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.007.

TN216

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1001-0505(2017)02-0236-06