曹俊， 鄭翠娥， 孫大軍， 張殿倫

(1.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 黑龍江 哈爾濱 150001)

基于凸優(yōu)化的水下載體定位研究

曹俊1,2， 鄭翠娥1,2， 孫大軍1,2， 張殿倫1,2

(1.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 黑龍江 哈爾濱 150001)

基于單信標(biāo)測(cè)距的定位方法，是水聲定位技術(shù)一個(gè)新的研究方向，具有重要應(yīng)用價(jià)值。針對(duì)單信標(biāo)測(cè)距定位問(wèn)題最小二乘結(jié)構(gòu)，對(duì)高度非凸的測(cè)距定位方程首次提出了基于凸優(yōu)化的解算方法。對(duì)帶有誤差的測(cè)距量測(cè)方程添加不等式約束條件，將其改寫為有約束的解算方程；對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行放射近似，將其進(jìn)行凸化處理；引入松弛變量和罰函數(shù)，降低對(duì)迭代初值的敏感度。仿真結(jié)果表明：對(duì)于不同量級(jí)的初值誤差，定位結(jié)果的差別在厘米量級(jí)，所提算法不需要可靠的初值即能迭代收斂得到高精度的定位結(jié)果；信標(biāo)與圓形航跡的圓心距離越近，定位精度越高。通過(guò)湖上試驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提算法的有效性。

信息處理技術(shù)； 單信標(biāo)測(cè)距； 虛擬信標(biāo)； 凸優(yōu)化； 約束條件； 罰函數(shù)

0 引言

隨著海洋開(kāi)發(fā)活動(dòng)進(jìn)程的加快，水下載體定位的重要性越來(lái)越強(qiáng)?；趩涡艠?biāo)距離測(cè)量的定位方式只需要一個(gè)海底聲信標(biāo)，占用資源少，具有重要的應(yīng)用價(jià)值[1-4]，最近吸引了越來(lái)越多專家學(xué)者的研究興趣。基于單信標(biāo)距離測(cè)量的定位解算方法中，文獻(xiàn)[5]最早提出使用最小二乘法解算出無(wú)人水下潛航器(UUV)的水平初始位置，通過(guò)直接降階的方式將定位方程兩兩相減消除二次項(xiàng)，構(gòu)成線性方程組，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)UUV位置的求解。文獻(xiàn)[6]通過(guò)松弛最小二乘模型為半定規(guī)劃問(wèn)題，但是經(jīng)過(guò)這樣處理的定位方案在最小二乘意義上不再是最優(yōu)估計(jì)。文獻(xiàn)[7]提出了基于距離平方的最小二乘定位方案，但這個(gè)方法只是近似最大似然估計(jì)，所以得到的定位結(jié)果仍然是次優(yōu)的?；谧钚《朔ǖ亩ㄎ环椒ㄊ且环N重要的解決方案，它不僅能夠提供低復(fù)雜度的解決過(guò)程，還能夠得到可靠的定位估計(jì)精度。眾所周知，最小二乘法是凸優(yōu)化問(wèn)題的一種特殊形式，盡管關(guān)于最小二乘問(wèn)題的求解技術(shù)已經(jīng)有比較成熟的技術(shù)，但是帶有測(cè)量誤差的最小二乘測(cè)距定位方程是高度非凸的。如果能將非凸定位方程函數(shù)凸化，轉(zhuǎn)化成凸優(yōu)化的問(wèn)題，就能有效地進(jìn)行求解[8]。

本文針對(duì)單信標(biāo)測(cè)距定位問(wèn)題，首次針對(duì)定位問(wèn)題中的最小二乘結(jié)構(gòu)提出了基于凸優(yōu)化的解算方法。首先，根據(jù)最小二乘理論推導(dǎo)出定位解算的目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)公式推導(dǎo)和形式轉(zhuǎn)換，使之與凸優(yōu)化理論中的凸差(DC)結(jié)構(gòu)形式相符合，并根據(jù)測(cè)距誤差情況添加約束條件。DC結(jié)構(gòu)問(wèn)題可以利用凹凸處理(CCP)算法，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)凸化將DC問(wèn)題轉(zhuǎn)化成凸優(yōu)化問(wèn)題求解，進(jìn)而達(dá)到利用凸優(yōu)化的方法解決定位方程的目的。其次，針對(duì)CCP算法對(duì)初值要求比較高(初值必須在可行域內(nèi))的缺點(diǎn)，引入序列無(wú)約束極小化的罰函數(shù)，放寬對(duì)初始點(diǎn)要求的優(yōu)點(diǎn)，引入罰函數(shù)，放寬CCP算法對(duì)初值的要求，增強(qiáng)算法的適應(yīng)性。最后，對(duì)提出的基于凸優(yōu)化理論的定位解算方法進(jìn)行了仿真分析和湖試數(shù)據(jù)分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 基于凸優(yōu)化的單信標(biāo)測(cè)距定位原理

單信標(biāo)測(cè)距定位系統(tǒng)主要由海底聲信標(biāo)和安裝在水下載體上的測(cè)距儀組成。海底聲信標(biāo)的位置事先標(biāo)定得到，利用聲信號(hào)傳播的往返時(shí)間可以確定被定位載體與海底聲信標(biāo)之間的距離[9-10]。原理上，單次距離測(cè)量不能確定水下載體的具體位置，所以需要結(jié)合水下載體工作時(shí)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如速度和姿態(tài)來(lái)實(shí)時(shí)解算出水下載體的位置，如圖1所示。其中VT1、VT2直到VTn-1不是真實(shí)存在的，它們是根據(jù)水下載體兩個(gè)測(cè)距周期之間的載體位移虛擬出來(lái)的，故也可稱之為虛擬信標(biāo)。例如Xb(n-1)至Xbn的位移為ΔXb(n-1),bn=vb(n-1),bnT，則虛擬信標(biāo)VTn-1的位置為VTn+ΔXb(n-1),bn，v為大地坐標(biāo)系下的水下載體運(yùn)動(dòng)速度，T為測(cè)距周期。解算第n個(gè)測(cè)量點(diǎn)需要利用測(cè)量點(diǎn)1～n的測(cè)距信息和載體運(yùn)動(dòng)參數(shù)，解算第n+1個(gè)測(cè)量點(diǎn)需要利用測(cè)量點(diǎn)2～n+1的測(cè)距信息和載體運(yùn)動(dòng)參數(shù)，依此類推基于單信標(biāo)測(cè)距完成對(duì)水下載體的跟蹤定位[11]。

圖1 單信標(biāo)測(cè)距定位原理Fig.1 Single beacon ranging and positioning principle

定位方程中，水下載體與信標(biāo)之間存在噪聲干擾，則第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)對(duì)應(yīng)的距離測(cè)量方程滿足

ri=‖x-xti‖+εi,i=1,2,…,n，

(1)

式中：虛擬信標(biāo)VTi的坐標(biāo)為xti；水下載體要定位的位置Xbn的坐標(biāo)為x；ri為水下載體與第i個(gè)虛擬信標(biāo)之間的距離；εi表示水下載體與第i個(gè)虛擬信標(biāo)進(jìn)行距離測(cè)量時(shí)存在的未知噪聲干擾，該未知噪聲干擾由測(cè)時(shí)誤差和聲速誤差共同決定。

單信標(biāo)測(cè)距定位問(wèn)題最初的形式是一個(gè)非凸的優(yōu)化問(wèn)題，可以描述為根據(jù)有噪聲干擾的測(cè)距信息估計(jì)水下載體位置的問(wèn)題，定位問(wèn)題就是基于距離的最小二乘估計(jì)問(wèn)題：

(2)

為了對(duì)定位問(wèn)題進(jìn)行分析，本文首先介紹DC問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式：

(3)

式中：x∈Rn，并且fi和gi都是凸函數(shù)。

在CCP優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)將DC問(wèn)題中的gi(i=0,…,n)仿射近似，可以利用迭代方法進(jìn)行最優(yōu)值求解。轉(zhuǎn)化后的形式為

(4)

式中：xk為第k次迭代時(shí)的水下載體位置迭代量。

首先找到一個(gè)可行域內(nèi)的初值x0，通過(guò)迭代過(guò)程，求解CCP結(jié)構(gòu)方程，從而得到DC問(wèn)題的最優(yōu)解。

根據(jù)DC問(wèn)題和CCP優(yōu)化的定義，本文對(duì)單標(biāo)定位最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)展開(kāi)去除常數(shù)項(xiàng)后得到

(5)

對(duì)展開(kāi)后的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)照DC結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)形式有如下定義：

(6)

則目標(biāo)函數(shù)可以表示為F(x)=f(x)-g(x)的形式，因?yàn)槠渲械膄(x)和g(x)都是凸函數(shù)，所以目標(biāo)函數(shù)滿足DC結(jié)構(gòu)的形式。

g(x)在xk處的估計(jì)值可以表示為

(7)

得到目標(biāo)函數(shù)的凸化之后的形式為

(8)

(9)

不等式展開(kāi)后形成兩個(gè)新的不等式，‖xk-xti‖-ri-δi≤0和ri-δi≤‖xk-xti‖.

第1個(gè)不等式的fi(x)=‖xk-xti‖-ri-δi，gi(x)=0，滿足凸優(yōu)化的約束條件fi(x)-gi(x)≤0；第2個(gè)不等式的fi(x)=ri-δi，gi(x)=‖xk-xti‖. 對(duì)gi(x)=‖xk-xti‖在xk處進(jìn)行線性化處理得到i(x,xk)=‖xk-xti‖+?‖xk-xti‖T(x-xk)，則第2個(gè)不等式可以寫為-‖xk-xti‖-?‖xk-xti‖T(x-xk)+ri-δi≤0，滿足于凸優(yōu)化的約束條件fi(x)-i(x,xk)≤0. 所以，第k次迭代的時(shí)候，凸優(yōu)化問(wèn)題可以描述為

(10)

CCP算法中要求初值必須是可行域內(nèi)的值，為了降低初值的限制，引入非負(fù)的松弛變量si≥0和i≥0，用它們來(lái)代替約束條件右側(cè)的0來(lái)提升上界，這就形成了新的有約束條件的凸優(yōu)化問(wèn)題：

(11)

若xk是可行域內(nèi)的值，則松弛變量滿足si=0和i=0，且新的凸優(yōu)化問(wèn)題與原來(lái)的凸優(yōu)化問(wèn)題是一樣的。若xk不是可行域內(nèi)的值，則松弛變量滿足si>0和i>0，且0，新的凸優(yōu)化問(wèn)題與原來(lái)的凸優(yōu)化問(wèn)題相比多了).之所以被稱為懲罰項(xiàng)，是因?yàn)殡S著迭代次數(shù)的增加，τk不是一個(gè)確定的參數(shù)，而是遞增的，這便具有了懲罰的含意。當(dāng)xk不是可行域內(nèi)值的時(shí)候，目標(biāo)函數(shù)被逐漸增大，求極小值又期望將xk拉回到可行域內(nèi)，最終xk會(huì)被拉到不可行域和可行域的邊界處，松弛變量si和i也會(huì)相應(yīng)地減小直至為0，進(jìn)而在可行域內(nèi)求得xk的最優(yōu)解。所以，松弛變量si和i的引入會(huì)放寬初值限制，在約束條件中引入單調(diào)遞增的懲罰因子τk，算法的松弛變量能夠減小得更快，當(dāng)松弛變量減小到特別小的時(shí)候，迭代過(guò)程能很快變得可行。

綜上分析，本文提出的基于凸優(yōu)化單信標(biāo)測(cè)距定位算法詳細(xì)流程如表1所示。

表1 基于凸優(yōu)化的定位算法流程Tab.1 Positioning algorithm based on convex optimization

表1中，測(cè)距誤差邊界δ的值選擇為信標(biāo)測(cè)距精度的3倍；初始罰因子τ0=1；懲罰因子增長(zhǎng)因子μ在5～10之間選擇；迭代次數(shù)最大值選擇為50次。

綜上分析，只要是基于信標(biāo)測(cè)距的定位導(dǎo)航系統(tǒng)，都能夠使用本文提出的基于凸優(yōu)化的解算方法。并且本文算法具有兩方面優(yōu)點(diǎn)：一方面，對(duì)于存在噪聲干擾的測(cè)距量測(cè)量，根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到的測(cè)距精度對(duì)測(cè)距方程添加測(cè)距誤差邊界條件；另一方面，當(dāng)不知道載體比較準(zhǔn)確的初始位置時(shí)，也能夠迭代解算得到載體位置，放寬了對(duì)初始位置的要求。

2 計(jì)算機(jī)仿真分析

本節(jié)中，在Matlab環(huán)境中對(duì)基于凸優(yōu)化的單信標(biāo)測(cè)距定位算法進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證所提出的算法的有效性，并對(duì)相關(guān)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。仿真參數(shù)為：海底布放的單只聲信標(biāo)的坐標(biāo)為AT=(0 m,0 m,100 m)。水下載體在恒定深度為100 m的深度作環(huán)形機(jī)動(dòng)，前向運(yùn)動(dòng)速度恒定為1 m/s. 對(duì)布放的單只信標(biāo)的測(cè)距周期為10 s. 添加呈高斯分布的隨機(jī)測(cè)距誤差N=(0 m,1.52m)。水下載體按圓形航跡機(jī)動(dòng)完成后，根據(jù)測(cè)距信息和虛擬信標(biāo)的位置實(shí)現(xiàn)對(duì)水下載體終點(diǎn)位置的定位。

為了分析本文算法對(duì)定位精度的提高，將本文算法與最小二乘法進(jìn)行比對(duì)。接收信標(biāo)信號(hào)的信噪比高的時(shí)候，相應(yīng)的測(cè)距誤差??；接收信標(biāo)信號(hào)的信噪比低的時(shí)候，相應(yīng)的測(cè)距誤差大。本文算法與最小二乘法的對(duì)比見(jiàn)表2，采用蒙特卡洛法進(jìn)行1 000次實(shí)驗(yàn)。從表2中可知，對(duì)于不同量級(jí)的測(cè)距誤差，本文算法的定位精度都高于最小二乘法的定位精度；測(cè)距誤差越大，本文算法對(duì)定位精度的提高與最小二乘法定位精度的比值越高。

表2 本文算法與最小二乘法對(duì)比Tab.2 Comparison between the algorithm proposed in this paper and the least square method

為了驗(yàn)證迭代初值對(duì)定位結(jié)果的影響，對(duì)水下載體的迭代初值添加幾十米量級(jí)和幾百米量級(jí)的初值誤差。圖2為使用本文提出的算法得到的圓形航跡終點(diǎn)的定位結(jié)果。圖2(a)對(duì)水下載體的迭代初值添加?xùn)|向20 m和北向30 m的初值誤差，本文算法對(duì)圓形航跡終點(diǎn)定位結(jié)果的根均方誤差為0.684 55 m. 圖2(b)對(duì)水下載體的迭代初值添加?xùn)|向200 m和北向300 m的初值誤差，本文算法對(duì)圓形航跡終點(diǎn)定位結(jié)果的根均方誤差為0.664 52 m. 對(duì)于航位推算的定位結(jié)果，在不存在其他誤差的情況下，定位誤差的大小與初始位置誤差大小相同。比對(duì)兩幅圖可以看出，對(duì)于不同量級(jí)的初值誤差，定位結(jié)果的根均方誤差的差別在厘米量級(jí)，本文算法不需要可靠的初值即能迭代收斂得到高精度的定位結(jié)果。

圖2 迭代初值誤差對(duì)定位結(jié)果影響Fig.2 Influence of iterative initial value error on positioning results

為了驗(yàn)證信標(biāo)位置與圓形航跡圓心距離對(duì)定位結(jié)果的影響，信標(biāo)與圓形航跡圓心分別相距0 m和35 m. 圖3為使用本文提出的算法得到的圓形航跡終點(diǎn)的定位結(jié)果。圖3(a)信標(biāo)與圓形航跡圓心相距0 m，本文算法對(duì)圓形航跡終點(diǎn)定位結(jié)果的根均方誤差為0.383 21 m. 圖3(b)信標(biāo)與圓形航跡圓心相距35 m，本文算法對(duì)圓形航跡終點(diǎn)定位結(jié)果的根均方誤差為0.421 86 m. 圖2(a)信標(biāo)與圓形航跡圓心相距70 m. 比對(duì)圖3(a)、圖3(b)和圖2(a)可以看出，信標(biāo)與圓形航跡的圓心距離越近，定位精度越高。

圖3 信標(biāo)位置與圓心距離對(duì)定位結(jié)果影響Fig.3 Influence of distance between beacon and center on the positioning results

3 湖試數(shù)據(jù)分析

2015年9月在某湖面進(jìn)行了單信標(biāo)測(cè)距定位的外場(chǎng)湖試試驗(yàn)。試驗(yàn)地點(diǎn)的水深約為43 m. 試驗(yàn)平臺(tái)為小型旅游船。水面試驗(yàn)設(shè)備包括：法國(guó)IXBLUE公司的RAMSES6000聲學(xué)測(cè)距系統(tǒng)，測(cè)距系統(tǒng)的時(shí)延測(cè)量精度能達(dá)到100 μs的水平，測(cè)距系統(tǒng)為分體式結(jié)構(gòu)。法國(guó)IXBLUE公司的Octans高精度羅經(jīng)，航向角可以保持0.1°正切維度的動(dòng)態(tài)精度，分辨率0.01°；橫滾角和俯仰角可以保持0.01°的動(dòng)態(tài)精度，分辨率0.001°. 美國(guó)RDI公司的聲學(xué)多普勒測(cè)速儀ADCP/DVL，600 kHz工作主頻的情況下作用高程為0.7～90 m，載體航行速度v的情況下，測(cè)量的對(duì)水底速度的精度大概為±3‰·v±0.002 m/s. 瑞士Leica公司的Leica 1200型差分全球定位系統(tǒng)(GPS) ，在RTK模式下工作時(shí)對(duì)低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定位精度能夠達(dá)到2～3 cm.

水面試驗(yàn)設(shè)備安裝示意圖如圖4所示。羅經(jīng)固定于試驗(yàn)船船艙內(nèi)，偏航方向正對(duì)試驗(yàn)船船艏。多普勒測(cè)速儀通過(guò)三腳架固定安裝在試驗(yàn)船右舷后側(cè)，相對(duì)于羅經(jīng)向下0.47 m. GPS天線安裝在三腳架頂端，相對(duì)于羅經(jīng)向上2.87 m. 聲學(xué)測(cè)距系統(tǒng)的分體式換能器頭通過(guò)鋼管固定安裝在試驗(yàn)船左舷后側(cè)，相對(duì)于羅經(jīng)向下2.78 m.

圖4 水面試驗(yàn)設(shè)備安裝示意圖Fig.4 Schematic diagram of surface test equipment installation

水下試驗(yàn)設(shè)備為法國(guó)IXBLUE公司的RTA系列聲信標(biāo)，聲信標(biāo)的時(shí)延測(cè)量精度能達(dá)到100 μs的水平，聲信標(biāo)為一體式結(jié)構(gòu)，如圖5(a)所示。聲信標(biāo)通過(guò)錨系結(jié)構(gòu)布放于湖底，錨系結(jié)構(gòu)如圖5(b)所示。聲信標(biāo)的釋放機(jī)構(gòu)朝下，釋放機(jī)構(gòu)卡住O型釋放環(huán)，釋放環(huán)通過(guò)軟繩與沉塊相連，繩長(zhǎng)5 m；聲信標(biāo)的換能器頭朝上，通過(guò)軟繩與浮球相連，繩長(zhǎng)5 m，浮球提供的浮力使聲信標(biāo)能夠盡量保持垂直狀態(tài)。水面接一浮球，用于標(biāo)識(shí)聲信標(biāo)的大概位置，便于水面試驗(yàn)船圍繞聲信標(biāo)走航跡。

圖5 聲信標(biāo)及錨系結(jié)構(gòu)Fig.5 Acoustic beacon and anchor system structure

試驗(yàn)中，水面試驗(yàn)船在水面浮球外側(cè)作環(huán)形機(jī)動(dòng)，半徑大概為35 m. 聲學(xué)測(cè)距系統(tǒng)對(duì)聲信標(biāo)的測(cè)距周期為5 s. 迭代初值添加?xùn)|向20 m和北向30 m的初值誤差。將終點(diǎn)處的定位結(jié)果與GPS真值進(jìn)行比較來(lái)評(píng)價(jià)定位精度。圖6為使用本文提出的算法得到的圓形航跡終點(diǎn)的定位結(jié)果。圖6(a)信標(biāo)在圓形航跡外側(cè)，本文算法對(duì)圓形航跡終點(diǎn)定位結(jié)果的根均方誤差為4.382 3 m. 圖6(b)信標(biāo)在圓形航跡內(nèi)側(cè)，本文算法對(duì)圓形航跡終點(diǎn)定位結(jié)果的根均方誤差為2.676 5 m. 比對(duì)兩幅圖可以看出，信標(biāo)在圓形航跡內(nèi)側(cè)的定位精度高于信標(biāo)在圓形航跡外側(cè)的定位精度，這與仿真分析的結(jié)論一致。

圖6 湖試結(jié)果Fig.6 Lake trial results

4 結(jié)論

針對(duì)水下載體的單信標(biāo)測(cè)距定位研究，本文提出了一種基于凸優(yōu)化的單信標(biāo)測(cè)距定位解算方法：1)對(duì)高度非凸的測(cè)距定位方程進(jìn)行凸優(yōu)化處理，得到凸的目標(biāo)函數(shù)，得到全局最優(yōu)解；2)考慮測(cè)距系統(tǒng)由于噪聲干擾存在的測(cè)距誤差，添加不等式約束條件；3)引入罰函數(shù)，降低對(duì)迭代初值的敏感度。

對(duì)提出的定位解算方法進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果表明：1)對(duì)于不同量級(jí)的初值誤差，定位結(jié)果的根均方誤差的差別在厘米量級(jí)，本文算法不需要可靠的初值即能迭代收斂得到高精度的定位結(jié)果；2)信標(biāo)位置與圓形航跡圓心距離不同時(shí)，定位結(jié)果的根均方誤差的差別在分米量級(jí)，信標(biāo)與圓形航跡的圓心距離越近，定位精度越高。

通過(guò)湖上試驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。

References)

[1] Gaurav C, Arpita S, Twinkle T, et al. Conditions for target tracking with range-only information[J]. Robotics and Autonomous Systems, 2016, 75: 176-186.

[2] 孫大軍, 鄭翠娥. 水聲導(dǎo)航、定位技術(shù)發(fā)展趨勢(shì)探討[J]. 海洋技術(shù)學(xué)報(bào), 2015,34(3): 64-65. SUN Da-jun, ZHENG Cui-e. Discussion on development trend of underwater acoustic navigation and positioning technology[J]. Journal of Ocean Technology, 2015,34(3): 64-65. (in Chinese)

[3] 郭雅靜, 李春雨, 張東升, 等. 基于航位推算/水聲定位系統(tǒng)的水下拖體組合導(dǎo)航方法[J]. 海洋地質(zhì)前沿, 2015, 31(6): 63-67. GUO Ya-jing, LI Chun-yu, ZHANG Dong-sheng,et al. The integrated navigation method by underwater towing body based on dead reckoning/hydroacoustic positioning system[J]. Marine Geology Frontiers, 2015, 31(6): 63-67. (in Chinese)

[4] Hegrenas O, Gade K, Hagen O K, et al. Underwater transponder positioning and navigation of autonomous underwater vehicles[C]∥MTS/IEEE Biloxi-Marine Technology for Our Future: Global and Local Challenges. Biloxi, MS, US: MTS, 2009.

[5] Alexander P S. The AUV positioning using ranges from one transponder LBL [C]∥Proceedings of the 1995 MTS/IEEE Oceans Conference. San Diego, CA, US: MTS,1995:1620-1623.

[6] Vandenberghe L, Boyd S. Semidefinite programming[J]. SIAM Review, 1996,38(1): 40-45.

[7] Beck A, Stoica P, Li J. Exact and approximate solutions of source localization problems[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008,56(5): 1770-1778.

[8] Yuille A L, Rangarajan A. The concave-convex procedure[J]. Neural Computation, 2003, 15(4): 915-936.

[9] 劉明雍, 李聞白, 劉富檣, 等. 基于單信標(biāo)測(cè)距的水下導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測(cè)性分析[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 29(1): 87-92. LIU Ming-yong, LI Wen-bai, LIU Fu-qiang, et al. Observability analysis of underwater navigation system based on single beacon ranging [J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2011, 29(1): 87-92. (in Chinese)

[10] 嚴(yán)衛(wèi)生, 房新鵬, 崔榮鑫. 單信標(biāo)測(cè)距AUV水下定位系統(tǒng)觀測(cè)性分析[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2012, 43(8): 3085-3090. YAN Wei-sheng, FANG Xin-peng, CUI Rong-xin. Observability analysis of single-beacon underwater localization of autonomous underwater vehicle [J]. Journal of Central South University:Natural Science Edition, 2012,43(8): 3085-3090. (in Chinese)

[11] Baccou P, Jouvencel B. Homing and navigation using one transponder for AUV, post-processing comparisons results with long base-line navigation [C]∥IEEE International Conference on Robotics and Automation.Washington, DC, US: IEEE,2002.

Research on the Positioning of Underwater Vehicle Based on Convex Optimization

CAO Jun1,2， ZHENG Cui-e1,2， SUN Da-jun1,2， ZHANG Dian-lun1,2

(1.College of Underwater Acoustic Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China;2.Acoustic Science and Technology Laboratory, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China)

The localization method based on single beacon ranging is a new research direction of underwater acoustic positioning technology. A method based on convex optimization is proposed for the first time to solve the least square structure for the single beacon ranging and locating. An inequality constraint condition is added to the ranging equation with errors, and the ranging equation is reformulated as a constrained solution equation. The objective function and constraint condition are approximated by radiation, and the convex processing is carried out. The slack variable and penalty function are introduced to reduce the sensitivity of iteration initial value. Simulated results show that the difference of positioning results is in centimeter order of magnitude for different magnitudes of initial errors. The proposed algorithm can be iterated convergence to get high accuracy of the positioning results without reliable initial value. When the beacon is close the center distance of circular track, the positioning accuracy is higher. The effectiveness of the proposed algorithm is verified by experiments on the lake.

information processing technology; single beacon ranging; virtual beacon; convex optimization; constraint condition; penalty function

2016-07-04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61531012)；國(guó)家國(guó)防科技工業(yè)局技術(shù)基礎(chǔ)科研項(xiàng)目(B2420133002)

曹俊(1987—), 男, 博士研究生。E-mail: caojun1105@sina.cn

張殿倫(1967—), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師。E-mail: zhangdianlun@hrbeu.edu.cn

TB568

A

1000-1093(2017)03-0520-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.03.014