金鑫　滿春濤

摘要：陀螺儀是慣性技術(shù)的核心元件，半球諧振陀螺已成為空間應(yīng)用的首選之一。對(duì)半球諧振子進(jìn)行詳細(xì)的動(dòng)力學(xué)模型建立是研究其原理的基礎(chǔ)。將半球諧振子視為半球彈性薄殼，求取其彈性伸長(zhǎng)量及角變從而求得彈性薄殼的彈性勢(shì)能，進(jìn)而采用基于虛功原理和變分法的拉格朗日力學(xué)方法，求取彈性薄殼的動(dòng)能，代入拉格朗日算子建立拉格朗日方程，得到系統(tǒng)整體的動(dòng)力學(xué)模型。建模過(guò)程中通過(guò)廣義坐標(biāo)的選取，使最終模型等效為質(zhì)量塊在二維空間的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的等效模型，從而簡(jiǎn)化對(duì)半球諧振陀螺的分析。

關(guān)鍵詞：半球諧振陀螺；動(dòng)力學(xué)建模；彈性薄殼；拉格朗日力學(xué)

中圖分類號(hào)：V249.32 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1007-2683（2017）01-0041-07

0 引言

作為慣性技術(shù)核心的慣性敏感元件，陀螺儀已經(jīng)被應(yīng)用于國(guó)防和民用的多個(gè)領(lǐng)域，包括導(dǎo)彈、飛機(jī)、潛艇制導(dǎo)，衛(wèi)星姿態(tài)控制，石油、礦藏開(kāi)采，海底電纜鋪設(shè)等眾多方面。半球諧振陀螺是固態(tài)振動(dòng)陀螺中最典型的一種，因其諧振子為半球形而得名。半球諧振陀螺因其具有易小型化和抗沖擊能力強(qiáng)的特點(diǎn)而成為空間應(yīng)用的首選慣性器件之一，而陀螺儀的精度是決定系統(tǒng)性能的主要因素，因此需要對(duì)陀螺儀進(jìn)行詳細(xì)的建模和性能分析。本文主要研究半球諧振陀螺振動(dòng)模態(tài)的動(dòng)力學(xué)模型建立方法，為研究半球諧振子中受哥式力影響產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)的原理打下良好的基礎(chǔ)。

從半球諧振陀螺問(wèn)世至今，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)半球諧振陀螺建模進(jìn)行了積極的研究，并發(fā)表了與之相關(guān)的大量文章。學(xué)者M(jìn)ichael Y.Shatalov研究了中空的各向同性球體在充滿非粘滯性介質(zhì)時(shí)的陀螺效應(yīng)，為求取系統(tǒng)的進(jìn)動(dòng)因子，首先假設(shè)外界轉(zhuǎn)動(dòng)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)最低的諧振頻率從而將慣性力忽略，然后采用復(fù)函數(shù)的方法得到進(jìn)動(dòng)因子。學(xué)者M(jìn)ichael Y.Shatalov又研究了質(zhì)量不平衡球體慢速旋轉(zhuǎn)時(shí)駐波的進(jìn)動(dòng)角速率的影響因素，發(fā)現(xiàn)進(jìn)動(dòng)角速率不受阻尼的影響但受正交振型和外界輸入大小的影響，正交項(xiàng)的存在會(huì)出現(xiàn)駐波的捕獲效應(yīng)，使得進(jìn)動(dòng)成周期性的變化而不是與外界輸入成比例。學(xué)者C.O.Chang對(duì)半球體波的進(jìn)動(dòng)情況采用攝動(dòng)法進(jìn)行建模，分析駐波諧振頻率及進(jìn)動(dòng)因子的影響因素，發(fā)現(xiàn)駐波的諧振頻率受離心力影響，而進(jìn)動(dòng)因子則不受影響。學(xué)者樊尚春采用Lord Rayleigh中面不擴(kuò)張理論，研究了等厚度和變厚度的軸對(duì)稱殼體中駐波的進(jìn)動(dòng)情況，給出了振動(dòng)模態(tài)的進(jìn)動(dòng)因子與諧振頻率的具體解析表達(dá)式。學(xué)者Jiayi Qi等研究了半球諧振陀螺的進(jìn)動(dòng)因子和諧振頻率并根據(jù)薄殼理論給出了表達(dá)式。這些研究成果的理論分析非常全面，對(duì)半球諧振陀螺的研究有很大的促進(jìn)作用，不足之處主要是因建模采取古典力學(xué)理論而表達(dá)式都非常的復(fù)雜，沒(méi)有清晰的動(dòng)力學(xué)模型建模方法。

本文在借鑒這些理論研究的成果上，依據(jù)薄殼振動(dòng)理論，得出半球諧振陀螺的基本運(yùn)動(dòng)方程；基于虛功原理與變分法采用拉格朗日方程對(duì)半球諧振陀螺的諧振子進(jìn)動(dòng)情況進(jìn)行了詳細(xì)地建模研究，得出了將半球諧振子復(fù)雜進(jìn)動(dòng)模型等效為廣義空間上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的模型，使半球諧振陀螺的模型得到了簡(jiǎn)化。

1 系統(tǒng)建模

1.1 半球諧振子建模假設(shè)

半球諧振陀螺的機(jī)理主要是利用諧振子的布萊恩效應(yīng)，即當(dāng)一個(gè)振蕩的軸對(duì)稱殼體繞其對(duì)稱中心軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，環(huán)向振型不再相對(duì)殼體靜止，而是相對(duì)殼體成比例地進(jìn)動(dòng)。半球諧振陀螺結(jié)構(gòu)如圖1所示。

為了得出理想狀態(tài)下諧振子的進(jìn)動(dòng)因子，并建立理想條件下的諧振子進(jìn)動(dòng)模型，首先假設(shè)外界轉(zhuǎn)動(dòng)頻率遠(yuǎn)小于諧振子的固有振動(dòng)頻率，諧振子的轉(zhuǎn)動(dòng)離心力可以忽略，離心力不影響諧振子的進(jìn)動(dòng)因子。并且假設(shè)石英的阻尼系數(shù)不加以考慮，因?yàn)樽枘嵯禂?shù)亦不會(huì)影響諧振子的進(jìn)動(dòng)因子。諧振子的不完美，如質(zhì)量不平衡，非等彈性等因素也先不加以考慮，其目的是為了首先得出理想條件下半球諧振陀螺的動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上再分析各誤差項(xiàng)對(duì)半球諧振陀螺的影響。

對(duì)諧振子動(dòng)力學(xué)的分析主要是建立在薄殼理論的基礎(chǔ)之上，由LOVE提出的薄殼理論最著名的幾點(diǎn)假設(shè)分別為：

1）殼體的厚度遠(yuǎn)小于殼體的其他尺寸，比如中面半徑；

2）變形與位移足夠的小以至于變形量與位移量的二階和高階量相對(duì)于一階；

3）平行于中面的法向應(yīng)力與其它應(yīng)力相比，可以忽略不計(jì)，此假設(shè)可以稱之為殼層無(wú)擠壓假設(shè)；

4）變形前垂直于中面的直線在變形后仍然是直的，且與變形后的中面垂直，長(zhǎng)度保持不變。

半球諧振陀螺工作時(shí)半球諧振子處于微幅振動(dòng)狀態(tài)，其振動(dòng)位移條件滿足以上4點(diǎn)假設(shè)，因此本文基于以上假設(shè)建立半球諧振陀螺的動(dòng)力學(xué)模型。

1.2 半球諧振子球殼的基本方程

半球諧振子殼體中面如圖2所示，在半球殼體中，中曲面的兩個(gè)主曲率半徑都為r，曲率坐標(biāo)系選取為緯度角φ和經(jīng)度角θ作為參數(shù)。

基于薄殼理論，半球諧振子中面上的任何點(diǎn)可以用如下坐標(biāo)表示：

r=r（φ，θ） （1）其中r是參數(shù)φ，θ的單值連續(xù)函數(shù)。依次給定θ一系列定值，同時(shí)連續(xù)改變?chǔ)眨梢栽谇嫔系玫揭淮厍€；同樣依次給定φ一系列的定值同時(shí)變化φ就得到另外一簇曲線，則φ，θ為曲面的曲率坐標(biāo)系。r對(duì)φ，θ的導(dǎo)數(shù)為r_φ和r_θ，在曲面的每一點(diǎn)上分別與φ，θ線相切。r_φ和r_θ的長(zhǎng)度A，B稱為曲面的拉梅系數(shù)，一般為φ，θ的函數(shù)，它們表示曲面的幾何性質(zhì)，球面坐標(biāo)系下殼體的拉梅系數(shù)分別為

（2）

考慮球殼的變形，如圖3所示。

向量ds表示曲面上點(diǎn)P形變前與相變后之間的弧長(zhǎng)增量：

（3）

由于曲率坐標(biāo)系φ，θ為正交系，此線段的長(zhǎng)度為

（4）

可得到沿φ坐標(biāo)線和θ坐標(biāo)線的弧長(zhǎng)增量分別為

（5）

分別為與參變量dφ，dθ相對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)增量。設(shè)半球殼中面在φ線，θ線和中面法線Z方向的位移分量分別為u，v，w，變形前殼中面的坐標(biāo)向量為r，變形后的坐標(biāo)向量為r'，如圖3所示，則r'可以表示為

（6）

由向量ds及其沿φ、θ切向弧長(zhǎng)的表達(dá)式可以求得φ、θ切向及Z方向的3個(gè)單位向量e₁，e₂和e_n分別如下：

（7）

e₁，e₂和e_n為服從右手螺旋法則的正交坐標(biāo)系，且e_n指向曲面突起的一側(cè)。由此可得r'的微商向量為

（8）

其中，

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

（21）

（22）

（23）

（24）

（25）

（26）

（27）

（28）

以上幾個(gè)方程確定了半球諧振陀螺的殼層上任意點(diǎn)在φ線及θ線方向上的伸長(zhǎng)率及其角變。在實(shí)際計(jì)算中，可以將上述幾個(gè)式子的分母用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去z的二階以上小量，得到化簡(jiǎn)的式子為

（29）

（30）

（31）

式（30）、（31）即為半球諧振子殼層上任意點(diǎn)在φ線及θ線方向上的伸長(zhǎng)率及其角變，代表了半球諧振子的基本運(yùn)動(dòng)，是后續(xù)求取彈性薄殼彈性勢(shì)能所必須的基本量，以上的推導(dǎo)過(guò)程是后續(xù)求取殼體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)。

1.3 拉格朗日方程法建立殼體動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)諧振子中面面半徑為r，厚度為h，密度為p，θ，φ分別為經(jīng)度角與緯度角，笛卡爾坐標(biāo)系原點(diǎn)與球心重合，如圖1所示，則中面上一點(diǎn)可以表示為

（32）

3個(gè)標(biāo)量方程在曲率坐標(biāo)系下等價(jià)于向量方程式（1）。半球殼中面上任一點(diǎn)變形時(shí)的位移矢量可以表示為

△=ui+vj+uk （33）

中面上的點(diǎn)變形后的坐標(biāo)向量為

r'=ui+vj+（r+w）k （34）

諧振子沿Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速率為Ω，其大小遠(yuǎn)小于陀螺的固有諧振頻率。則對(duì)于質(zhì)點(diǎn)p將Ω投影到i，j，k局部坐標(biāo)系中為：

（35）

（36）

（37）

（38）

（39）

（40）

依據(jù)推導(dǎo)的半球諧振子基本方程，將半球殼曲面的線微原伸長(zhǎng)率和曲率變化代入薄殼彈性勢(shì)能，沿殼層厚度積分，略去高階小量并進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得到殼體的彈性勢(shì)能為

（41）

（42）

（43）

（44）

（45）

（46）

（47）

（48）

（49）

（50）

（51）

（52）

此式是半球諧振陀螺的二階模態(tài)振動(dòng)方程，模態(tài)的幅值滿足一個(gè)二階線性并與外界輸入角速率有耦合項(xiàng)的微分方程。此方程表示的等價(jià)系統(tǒng)為一個(gè)質(zhì)量塊在二維空間的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，如圖4所示。

（C，S）可以定義為半球諧振子的廣義坐標(biāo)，（C，S）表示二維空間中質(zhì)量塊的廣義位移。質(zhì)量塊m在二維空間中以一橢圓軌跡運(yùn)動(dòng)，其周期為T=2π/ω。在垂直于（C，S）平面的外界角速度Ω的激勵(lì)下，橢圓的長(zhǎng)軸方位角以速率kΩ/2相對(duì)慣性空間產(chǎn)牛進(jìn)動(dòng)。

3 結(jié)論

本文基于彈性薄殼理論及拉格朗日方程方法，建立了半球諧振陀螺諧振子在振動(dòng)模態(tài)的動(dòng)力學(xué)方程，該方法以古典的彈性薄殼理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出半球形薄殼的基本伸長(zhǎng)率和角變，并結(jié)合拉格朗日力學(xué)，通過(guò)計(jì)算殼體的動(dòng)能與勢(shì)能建立拉格朗日方程，得到諧振子整體的動(dòng)力學(xué)方程，并且通過(guò)選取廣義坐標(biāo)，使系統(tǒng)模型等效為質(zhì)量塊在二維空間簡(jiǎn)諧振動(dòng)的模型，解決了以往的模型過(guò)于復(fù)雜且物理意義不明顯的問(wèn)題。

（編輯：溫澤宇）