湖北 盧曉勇
(作者單位:湖北省孝感市云夢縣黃香高級中學(xué))
研究數(shù)列有三法
——列舉觀察與歸納
研究、認(rèn)識數(shù)列的最簡單的方法就是列舉,列舉出足夠多的項,然后觀察、實驗、猜測、歸納、類比、抽象、概括,尋找出最本質(zhì)的東西,進(jìn)而就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律,找到解題的基本方向.
1.觀察數(shù)列規(guī)律,寫出通項公式
【例1】已知數(shù)列{an}的前幾項,寫出它的一個通項公式.
(3)每項的分母為2n的形式,從第2項起每項的分子比分母小3,且正負(fù)相間.
【評注】觀察法求數(shù)列的通項公式,根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式時,抓住以下幾方面的特征:①分式中分子、分母的特征,分子與分母的差異特征;②相鄰項的變化特征;③拆項后的特征;④各項符號的特征.聯(lián)想項與序號n的函數(shù)關(guān)系.
如果給出的項中既有分?jǐn)?shù)又有整數(shù)的統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)即一定要統(tǒng)一形式,有些分?jǐn)?shù)進(jìn)行了約分,還要再進(jìn)行還原; 如果有正有負(fù)的可以用(-1)n或者(-1)n+1調(diào)整,也可以利用三角函數(shù)調(diào)整.
【變式】寫出數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù):
(2)9,99,999,9 999;
(3)-1,2,-3,4;
(5)3,15,35,63.
(2)an=10n-1(n∈N*);
(3)an=(-1)nn(n∈N*);
(5)an=(2n-1)(2n+1)=4n2-1(n∈N*).
2. 觀察圖形,總結(jié)通項公式
【例2】(1)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù),在空格和括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和點數(shù),并寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式:
(2)下圖中的三個正方形塊中,著色正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前3項.請寫出這個數(shù)列的前5項和數(shù)列的一個通項公式.
【解析】(1)①16,21,an=5n-4 (n∈N*);
②10,13,an=3n-2 (n∈N*);
③24,35,an=n2+2n(n∈N*).
【評注】觀察圖形求數(shù)列的通項公式,根據(jù)圖形前幾項求通項公式時,抓住以下幾方面的特征:①圖形發(fā)展變化的規(guī)律;②相鄰項的變化特征;③建立數(shù)列遞推關(guān)系式求解.
【變式】把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.
1
2________4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
設(shè)aij(i,j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù),如a52=11.則a87=________.
【解析】由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列,偶數(shù)行為偶數(shù)列,故a87表示第8行的第7個數(shù)字,即第2+4+6+7=19個正偶數(shù).故a87=2×19=38.
3.列舉法是研究項的最簡單方法
【例3】在數(shù)列{an}中,a1=1,|an|=|an-1+1|(n≥2,n∈N*),則a1+a2+a3+a4的最小值是________.
【解析】可用樹狀圖分析,得滿足條件的數(shù)列共有7個,易得a1+a2+a3+a4的最小值是-2.
4.有些數(shù)列的項具有周期性
所以數(shù)列{an}的周期T=3,
【評注】若有f(x+T)=f(x),則f(x)的周期是T.類似地,若an+k=an(n∈N*,k為非零正整數(shù)),則{an}為周期數(shù)列,T=k為{an}的一個周期.
【變式】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),則該數(shù)列前2 012項和等于________.
【解析】因為a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),所以a3=|a2-a1|=0;a4=|a3-a2|=1;a5=|a4-a3|=1;a6=|a5-a4|=0,…,
所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列,每個周期內(nèi)所有項的和為2,
【例5】在數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2=3,當(dāng)n≥2時,an+1是an·an-1的個位數(shù),則a2016=________.
【解析】因為a1=2,a2=3,
所以a3=6,a4=8,a5=8,a6=4,a7=2,a8=8,
a9=6,a10=8,a11=8,a12=4,a13=2,a14=8,…,
所以數(shù)列{an}從第3項起是以6為周期的數(shù)列,
因為2 016=2+335×6+4,
所a2016=a2+4=a6=4.
【評注】函數(shù)周期是T,則f(x+kT)=f(x),k∈Z,類似地,若數(shù)列周期是T,則am+kT=am(其中m∈N*,k∈N,T為非零正整數(shù)).尋找數(shù)列的周期,可以先通過列舉的方法進(jìn)行.
【變式】已知數(shù)列{an}中,Sn是其前n項和,若a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2,且an+1an+2≠1,則a1+a2+a3=________,S2010=________.
(作者單位:湖北省孝感市云夢縣黃香高級中學(xué))