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2017-03-28 05:54山東董敬紅
教學考試(高考數(shù)學) 2017年1期
山東 董敬紅
(作者單位：山東省泰安英雄山中學)
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圓錐曲線中涉及焦點的有關(guān)問題一直是高考數(shù)學考查的熱點問題之一，因此也成了我們關(guān)注的“焦點”，其中有許多問題涉及圓錐曲線中最特殊的焦點弦——“通徑”.
“通徑”是圓錐曲線中最基本的一條線段，是過焦點的弦(焦點弦)中最特殊的一條.雖然現(xiàn)行教材中沒有提及這一概念，而且在高考中是一個“小小”的考點，但也阻擋不了高考命題者對它的青睞，在歷年高考中“出鏡率”頗高，且?？汲Ｐ?單就2016年高考來看，在九套試卷中，竟有三分之一(全國Ⅱ卷、Ⅲ卷和山東卷)對“通徑”作了考查，由此可見一斑.“不以‘點小’而不為”，在我們的復習備考中應特別重視研究和發(fā)掘通徑潛在的應用功能.
一、通徑的定義
過圓錐曲線的焦點，作垂直于圓錐曲線對稱軸的直線，則直線被圓錐曲線所截得的線段叫圓錐曲線的“通徑”.
二、通徑的性質(zhì)
3.通徑是圓錐曲線的最短的焦點弦.
【證明】如圖，設(shè)直線l過橢圓的焦點F2交橢圓于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點.
(2)當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為
得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.
所以通徑是橢圓最短的焦點弦.
4.過圓錐曲線E的焦點F，作直線l交曲線E于P,Q兩點，則半通徑長的倒數(shù)是|PF|的倒數(shù)與|QF|的倒數(shù)的等差中項.
【證明】設(shè)圓錐曲線的焦點F到相應準線的距離為p，離心率為e,直線l的傾斜角為α，則過F的通徑長為2ep,設(shè)P,Q到準線的距離分別為d1,d2，則d1=p+|PF|cosα,d2=p-|QF|cosα.
三、通徑的應用
1.求曲線方程
【分析】過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長即為通徑長，于是建立關(guān)系利用待定系數(shù)法求解.
【點評】用待定系數(shù)法求圓錐曲線的標準方程時，從“定位”和“定量”兩個方面去考慮.首先要“定位”，即確定焦點所在的坐標軸，這一點尤為重要；其次是“定量”，即利用條件確定方程中a,b的值，常通過待定系數(shù)法去求.本題中的通徑長便是求解的關(guān)鍵.
2.求值
( )
【解】選C.
【點評】本題雖然沒有直接以通徑的形式給出，但可以通過對條件的分析，轉(zhuǎn)化為通徑求解的.
【變式2】已知拋物線y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過點(-1,1)，過拋物線的焦點F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點. 若在x軸上存在點P，使得△PMN是等邊三角形，則點P的坐標為________.
【變式3】已知拋物線y2=2px(p>0)，直線l經(jīng)過其焦點且與x軸垂直，并交拋物線于A，B兩點，若|AB|=10，P為拋物線的準線上一點，則△ABP的面積為
( )
A.20 B.25
C.30 D.50
3.確定關(guān)系
( )
A.7倍 B.6倍
C.4倍 D.2倍
【分析】由線段PF1的中點在y軸上，坐標原點O是F1F2的中點，根據(jù)橢圓的對稱性和三角形中位線定理可知PF2與x軸垂直，所以點P是通徑的一個端點，|PF2|是通徑長的一半.再結(jié)合橢圓定義便可確定出|PF1|與|PF2|的關(guān)系.
【點評】本題將“通徑”暗含在題目的條件中，分析并挖掘出“通徑”是解題的關(guān)鍵.
【變式4】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且垂直于x軸的弦為AB，O為拋物線頂點，則∠AOB
( )
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能確定與90°的關(guān)系
4.求離心率
( )
【點評】離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，是描述圓錐曲線形狀的重要參數(shù).圓錐曲線的離心率的求法和應用是一類常見題型，也是歷年高考考查的熱點.求解圓錐曲線的離心率的值或取值范圍，其關(guān)鍵是建立恰當?shù)牡攘炕虿坏攘筷P(guān)系，以過渡到含有離心率e的等式或不等式使問題獲解.
( )
變式練習答案
(作者單位：山東省泰安英雄山中學)
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“通徑”是圓錐曲線中最基本的一條線段，是過焦點的弦(焦點弦)中最特殊的一條.雖然現(xiàn)行教材中沒有提及這一概念，而且在高考中是一個“小小”的考點，但也阻擋不了高考命題者對它的青睞，在歷年高考中“出鏡率”頗高，且?？汲Ｐ?單就2016年高考來看，在九套試卷中，竟有三分之一(全國Ⅱ卷、Ⅲ卷和山東卷)對“通徑”作了考查，由此可見一斑.“不以‘點小’而不為”，在我們的復習備考中應特別重視研究和發(fā)掘通徑潛在的應用功能.
一、通徑的定義
過圓錐曲線的焦點，作垂直于圓錐曲線對稱軸的直線，則直線被圓錐曲線所截得的線段叫圓錐曲線的“通徑”.
二、通徑的性質(zhì)
3.通徑是圓錐曲線的最短的焦點弦.
【證明】如圖，設(shè)直線l過橢圓的焦點F2交橢圓于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點.
(2)當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為
得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.
所以通徑是橢圓最短的焦點弦.
4.過圓錐曲線E的焦點F，作直線l交曲線E于P,Q兩點，則半通徑長的倒數(shù)是|PF|的倒數(shù)與|QF|的倒數(shù)的等差中項.
【證明】設(shè)圓錐曲線的焦點F到相應準線的距離為p，離心率為e,直線l的傾斜角為α，則過F的通徑長為2ep,設(shè)P,Q到準線的距離分別為d1,d2，則d1=p+|PF|cosα,d2=p-|QF|cosα.
三、通徑的應用
1.求曲線方程
【分析】過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長即為通徑長，于是建立關(guān)系利用待定系數(shù)法求解.
【點評】用待定系數(shù)法求圓錐曲線的標準方程時，從“定位”和“定量”兩個方面去考慮.首先要“定位”，即確定焦點所在的坐標軸，這一點尤為重要；其次是“定量”，即利用條件確定方程中a,b的值，常通過待定系數(shù)法去求.本題中的通徑長便是求解的關(guān)鍵.
2.求值
( )
【解】選C.
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