溫從賜

在給學生上選修《不等式選講》內(nèi)容時，一道課本上的例題引起了我深層次的思考。它不但有多種證明方法，而且在方法背后有著更加豐富的數(shù)學思想。下面，對這道題給出五種不同證法，并作一些變式與推廣，以期拋磚引玉。

一、題目

二、證法探析

分析：問題中有a+b=1這個條件，由于常數(shù)1的特殊性，用a+b去乘任何數(shù)或式子都不會改變它們的值，根據(jù)證明的需要可以應用這個條件。注意到+=（a+b）（+），而有了（a+b）（+），就可以使用柯西不等式了。對于會用柯西不等式這種方法來說，整體感覺流暢、自然，因為只要構(gòu)造出（a2+b2）（c2+d2）這種模式就行。當然如果不知道柯西不等式，可考慮用下面的證法。

評析：也正是有a+b=1這個條件，所以有+=（a+b）（+），然后將式子展開得到2++，最后使用不等式的性質(zhì)即可。這種方法有點技巧，關(guān)鍵是懂得將原式+乘上a+b這個式子。這當中有重要不等式x+的影子，里面包含了化歸思想。可見在用綜合法證明不等式時，很多題目都可以轉(zhuǎn)化成ax+這種類型。

分析：這種方法絕大多數(shù)學生能考慮到，因為直接使用基本不等式證明對于他們來說比較熟悉。如果這道題是選擇題或填空題，則無需通分，馬上就有+≥2獲得答案。這種方法很樸素也很容易接受，但是很多時候?qū)W生在使用基本不等式時對取“等號”這個條件給忽略了。比如把題目改為：

已知a，b∈R+，a+b=1，求+的最小值。

如果這題還是用上述方法，則求得最小值為2。但是我們知道這明顯是錯的，因為最小值的“等號”取不到。正確的方法則可考慮用上述證法2來求得最小值為+。

分析：這種證法利用a+b=1，巧妙地進行三角換元，不僅達到了與三角知識的交匯，而且還滲透了不等式證明中的“減元思想”。從二元到一元的這種轉(zhuǎn)化，使得不等式的證明更加游刃有余，因為仔細分析本道題，發(fā)現(xiàn)其實也是相當于求+的最小值。而求一個式子或函數(shù)的最值問題，學生往往對一元的這種類型比較擅長。所以更深層次地說，這種方法中包含著更加樸素的“代數(shù)思想”。以下的證法5足以說明這點。

分析：這次是通過代換把所要證的因式變成一個未知數(shù)，然后通分，最后使用均值不等式得到答案。再一次體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸思想”。正因為有了這種相等與不等之間的轉(zhuǎn)化，所以很多不等式的證明最終都轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的均值不等式、基本不等式和常用不等式等進行操作。

三、欣賞理由

數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學知識的精髓，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，有普遍應用的意義。這道不等式不僅入口較寬，證法多樣，證明表達簡潔準確；并且證明的方法背后包含著深刻的數(shù)學思想，這些數(shù)學思想是非常寶貴的。比如，這五種方法都有“轉(zhuǎn)化與化歸”思想，由已知的等式到求證的不等式都實現(xiàn)了及時的轉(zhuǎn)化。而代數(shù)思想與換元思想從不同側(cè)面體現(xiàn)了數(shù)學思想對尋求解題思路的作用，對于拓寬思路、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力有重大意義。