唐元梁 賀 纓

(大連理工大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，大連116024)

內(nèi)皮調(diào)節(jié)對(duì)小動(dòng)脈管腔運(yùn)動(dòng)影響的模型分析1)

唐元梁 賀 纓2)

(大連理工大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，大連116024)

微循環(huán)是血液和組織之間發(fā)生物質(zhì)交換的主要場(chǎng)所，它可以通過(guò)改變管徑實(shí)現(xiàn)對(duì)血壓、血流量的局部調(diào)節(jié).血管內(nèi)皮層對(duì)小動(dòng)脈運(yùn)動(dòng)有重要的調(diào)節(jié)作用.本文基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，建立了內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程中主要活性物質(zhì)在管壁中的擴(kuò)散--反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型，并分析了非線性黏彈性血管的徑向運(yùn)動(dòng)特性.利用該模型首先得到了內(nèi)皮舒張因子一氧化氮(NO)、平滑肌細(xì)胞內(nèi)鈣離子(Ca2+)以及磷酸化肌球蛋白(actin-myosin complexes,AMC)在管壁內(nèi)的的徑向濃度分布；為分析內(nèi)皮調(diào)節(jié)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，進(jìn)一步對(duì)小動(dòng)脈的被動(dòng)舒張、血流量發(fā)生擾動(dòng)時(shí)的管徑響應(yīng)分別進(jìn)行了模擬.研究結(jié)果顯示：當(dāng)沒(méi)有活性物質(zhì)參與調(diào)節(jié)小動(dòng)脈被動(dòng)舒張時(shí)，管徑無(wú)振蕩發(fā)生；當(dāng)血流量變化引起內(nèi)皮調(diào)節(jié)時(shí)，內(nèi)皮舒張因子NO濃度和管徑均出現(xiàn)衰減振蕩，振蕩周期約60s.分析認(rèn)為內(nèi)皮調(diào)節(jié)對(duì)壁面剪切力的反饋控制，可能是NO濃度和管徑產(chǎn)生周期性振蕩的原因.內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程呈現(xiàn)的頻譜特征可以為血管內(nèi)皮功能障礙的診斷提供幫助.

剪切力,內(nèi)皮調(diào)節(jié),一氧化氮,糖尿病,微循環(huán)

引言

人體組織或器官的正常代謝功能需要通過(guò)適量的營(yíng)養(yǎng)和氧的供給，以及代謝廢物的及時(shí)排出來(lái)維持，生理狀況下人體通過(guò)全身性的神經(jīng)/體液調(diào)節(jié)以及微循環(huán)的局部血流調(diào)節(jié)，能夠滿足組織或器官的代謝需求[1].血管內(nèi)皮層結(jié)構(gòu)及功能的完整性對(duì)于微循環(huán)的局部血流調(diào)節(jié)非常重要.動(dòng)脈粥樣硬化、糖尿病等常伴有血管內(nèi)皮功能障礙，造成人體局部血流調(diào)節(jié)機(jī)制失效.臨床研究表明神經(jīng)、大血管及微血管病變是兩種類(lèi)型糖尿病患者常見(jiàn)的慢性并發(fā)癥[2].考察血管活性物質(zhì)濃度變化對(duì)血管運(yùn)動(dòng)的影響有助于加深對(duì)血管管腔內(nèi)皮調(diào)節(jié)機(jī)理的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步為相關(guān)代謝、血管疾病的早期診斷及治療提供幫助.

1980年Furchgott等[3]發(fā)現(xiàn)內(nèi)皮細(xì)胞對(duì)血管平滑肌細(xì)胞的舒張起重要作用.流動(dòng)剪切力不僅影響和調(diào)控了內(nèi)皮、平滑肌細(xì)胞的形狀和排列取向，而且能刺激內(nèi)皮細(xì)胞分泌多種信號(hào)分子影響平滑肌細(xì)胞的生理功能[4].依賴流動(dòng)剪切力的內(nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)主要發(fā)生在人體的小動(dòng)脈及比較大的微動(dòng)脈[5]，該反應(yīng)可緩解甚至完全消除因肌源性反應(yīng)造成的下游血管收縮、血流持續(xù)下降的問(wèn)題[6]；此外，由于代謝反應(yīng)主要引起末梢微動(dòng)脈的有限舒張，不能完全滿足周?chē)M織在代謝量增大時(shí)的血流需求，因此上游小動(dòng)脈的內(nèi)皮舒張反應(yīng)能極大彌補(bǔ)末梢微動(dòng)脈代謝調(diào)節(jié)反應(yīng)的局限性.

目前一氧化氮(NO)被認(rèn)為是剪切力誘導(dǎo)內(nèi)皮細(xì)胞釋放的最主要舒血管因子，NO的產(chǎn)生、傳輸及作用是影響血管內(nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)機(jī)制的關(guān)鍵.細(xì)胞內(nèi)重要的第二信使Ca2+在內(nèi)皮細(xì)胞NO合成過(guò)程中起到重要作用，剪切力或其他生化因子引起內(nèi)皮細(xì)胞膜上Ca2+通道打開(kāi)，內(nèi)皮細(xì)胞合成NO增多.Li等[7-9]對(duì)剪切流與ATP(adenosine triphosphate，三磷酸腺苷)協(xié)同定量調(diào)控血管內(nèi)皮細(xì)胞內(nèi)Ca2+響應(yīng)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，通過(guò)控制剪切力或ATP信號(hào)較好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)內(nèi)皮細(xì)胞內(nèi)Ca2+信號(hào)的定量控制.管壁內(nèi)皮NO的產(chǎn)生研究方面，Liao等[10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得了在無(wú)流動(dòng)及有血流情況下血管不同的肌源性收縮反應(yīng)，并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了相關(guān)的內(nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)經(jīng)驗(yàn)公式.Cornelissen等[11]建立了內(nèi)皮分泌NO速率與壁面剪切力的S形函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)一步發(fā)展了NO濃度與冠狀動(dòng)脈樹(shù)血管緊張度關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.關(guān)于NO在管壁、管腔及周?chē)M織的傳輸特性的研究工作方面，Chen等[12]構(gòu)建了包含小動(dòng)脈、毛細(xì)血管網(wǎng)及組織的三維NO傳輸模型，對(duì)NO在血液、血管壁及周?chē)M織中的分布進(jìn)行了模擬分析.結(jié)果表明壁面剪切力、紅細(xì)胞壓積、血管分叉等因素對(duì)NO的生成及分布均有影響.Liu等[13]基于流動(dòng)模型和對(duì)流--擴(kuò)散--反應(yīng)方程對(duì)NO在狹窄血管中的傳輸進(jìn)行了模擬分析.研究結(jié)果表明血管狹窄處的流動(dòng)失穩(wěn)對(duì)NO的傳輸有顯著的影響，可能是造成動(dòng)脈粥樣硬化的重要因素.Tsoukias等[14]則對(duì)組織總肌紅蛋白、血漿中血紅蛋白對(duì)微循環(huán)周?chē)鶱O的擴(kuò)散影響進(jìn)行了模型分析.

目前階段研究者多采用唯象模型來(lái)研究小動(dòng)脈血流調(diào)節(jié)反應(yīng)，即不考慮具體的調(diào)節(jié)反應(yīng)過(guò)程，只是概括地去總結(jié)和提煉實(shí)驗(yàn)結(jié)果.如Carlson等[15-17[18]建立了血管平滑肌運(yùn)動(dòng)的電化學(xué)--化學(xué)機(jī)械細(xì)胞模型，在細(xì)胞力學(xué)模型中加入了與主動(dòng)收縮張力元件串聯(lián)的黏彈性元件，隨后Yang等[19]加入了平滑肌細(xì)胞內(nèi)NO/cGMP(cyclic guanosine monophosphate,環(huán)磷酸鳥(niǎo)苷)反應(yīng)模型，考察了NO的舒血管作用.Kudryashov等[20]基于連續(xù)介質(zhì)模型，預(yù)測(cè)了NO、平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+以及磷酸化肌球蛋白在管壁的穩(wěn)態(tài)濃度分布，并通過(guò)改變血流量考查了模型的自動(dòng)調(diào)節(jié)功能以及血管口徑在向新平衡態(tài)發(fā)展過(guò)程中出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象.

在人體的許多組織中，小動(dòng)脈管徑及血流的自發(fā)振蕩現(xiàn)象被觀測(cè)到，但是其生理意義及振蕩機(jī)理仍不甚清楚.研究表明血流/皮膚溫度振蕩信號(hào)與相應(yīng)調(diào)節(jié)反應(yīng)間的頻率具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以從皮膚溫度振蕩信號(hào)提取出內(nèi)皮調(diào)節(jié)信號(hào)(0.0095～0.02Hz)，(交感)神經(jīng)調(diào)節(jié)信號(hào)(0.02～0.06Hz)及肌源性調(diào)節(jié)信號(hào)(0.06～0.15Hz)等[21-22].Smirnova等[23]對(duì)比了健康組、二型糖尿病組以及糖耐量受損患者的手部皮膚溫度信號(hào)，發(fā)現(xiàn)無(wú)血管病變實(shí)驗(yàn)對(duì)象在手部受到冷水刺激時(shí)內(nèi)皮、神經(jīng)調(diào)節(jié)頻段的溫度波動(dòng)幅值均減小，冷水刺激結(jié)束后波動(dòng)幅值逐漸恢復(fù)；而二型糖尿病和糖耐量受損患者在結(jié)束冷水刺激后，相應(yīng)頻段的溫度波動(dòng)幅值并沒(méi)有及時(shí)恢復(fù).其認(rèn)為這可能是由于微血管內(nèi)皮功能障礙及神經(jīng)病變引起的.由于多種調(diào)節(jié)反應(yīng)可能共同參與血管的調(diào)節(jié)過(guò)程且互相影響，單純的實(shí)驗(yàn)研究難以準(zhǔn)確把握某一調(diào)節(jié)反應(yīng)的內(nèi)在機(jī)理，因此結(jié)合合適的數(shù)學(xué)模型對(duì)于管徑調(diào)節(jié)機(jī)理的研究會(huì)有很大的幫助.

由于唯象模型不能夠?qū)?nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)機(jī)制作出解釋，本文將基于Kudryashov等[20]的工作對(duì)小動(dòng)脈內(nèi)皮調(diào)節(jié)功能進(jìn)行模型分析.基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè),對(duì)內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程主要介質(zhì)在管壁中的兩層擴(kuò)散--反應(yīng)動(dòng)力學(xué)變化進(jìn)行了建模，并考慮管壁的非線性黏彈性性質(zhì)計(jì)算血管的徑向運(yùn)動(dòng).利用該模型本文將對(duì)給定血流條件下內(nèi)皮舒張因子NO以及平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+和AMC的徑向濃度分布進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)一步模擬血流變化引起的內(nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)過(guò)程，并對(duì)管徑振蕩的力學(xué)機(jī)制等進(jìn)行討論.

1 研究方法

1.1 小動(dòng)脈壁力學(xué)性質(zhì)及依賴剪切力的內(nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)生理機(jī)制

小動(dòng)脈管壁由幾種不同的組織構(gòu)成.小動(dòng)脈壁內(nèi)膜表面是單層內(nèi)皮細(xì)胞，中膜含有大量的平滑肌細(xì)胞.小動(dòng)脈管壁的力學(xué)性質(zhì)表現(xiàn)為非線彈性和黏彈性，同時(shí)平滑肌在生理控制下會(huì)提供收縮張力.

平滑肌細(xì)胞伸縮的初始刺激源是細(xì)胞內(nèi)Ca2+濃度的變化.Ca2+引起平滑肌細(xì)胞收縮的過(guò)程可以描述如下[24]：平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+與鈣調(diào)蛋白結(jié)合；鈣調(diào)蛋白與Ca2+結(jié)合物進(jìn)一步與肌球蛋白激酶(一種磷酸化酶)結(jié)合且將其激活；在肌球蛋白激酶作用下，肌球蛋白頭調(diào)節(jié)輕鏈磷酸化；輕鏈發(fā)生磷酸化后，肌球蛋白頭對(duì)肌動(dòng)蛋白絲進(jìn)行間歇性的牽拉，從而引起平滑肌緊張并產(chǎn)生收縮力.

流動(dòng)剪切力調(diào)節(jié)血管內(nèi)皮細(xì)胞的代謝，使之合成血管活性物質(zhì)NO等調(diào)節(jié)平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+濃度及血管的緊張度.依賴剪切力的血管內(nèi)皮舒張過(guò)程如圖1所示：當(dāng)血流量增加、管壁剪切力增大時(shí)，內(nèi)皮細(xì)胞膜上Ca2+通道打開(kāi)，內(nèi)皮細(xì)胞合成NO增加；NO合成后擴(kuò)散進(jìn)入管壁平滑肌層；NO穿越平滑肌細(xì)胞膜進(jìn)入細(xì)胞內(nèi)部，刺激平滑肌細(xì)胞產(chǎn)生cGMP，后者能夠引起細(xì)胞內(nèi)Ca2+的外流；如前所述，Ca2+濃度對(duì)平滑肌細(xì)胞的收縮性和張力起到?jīng)Q定作用，其流失導(dǎo)致細(xì)胞內(nèi)收縮性的肌動(dòng)--肌球蛋白復(fù)合物濃度下降，最終導(dǎo)致平滑肌的松弛和張力的下降.

圖1 血管內(nèi)皮調(diào)節(jié)圖示[24]Fig.1 Schematic of endothelial regulation[24]

1.2 數(shù)學(xué)模型

1.2.1 內(nèi)皮層NO的產(chǎn)生

內(nèi)壁面切應(yīng)力的大小決定了內(nèi)皮細(xì)胞產(chǎn)生NO的速率，軸向血流速度分布采用Hagen--Poiseuille模型，給定血流量Q，則內(nèi)壁面剪切應(yīng)力τsh(t)可以表示為

式中，r為徑向坐標(biāo)，R(t)為血管內(nèi)徑，μ為血液黏度，vx(r)為軸向流速，Q為血液體積流量.內(nèi)壁面切應(yīng)力的大小決定了內(nèi)皮細(xì)胞產(chǎn)生NO的速率，此外血液--特別是血液中的血紅蛋白，會(huì)消耗一部分內(nèi)皮細(xì)胞產(chǎn)生的NO，因此內(nèi)皮層NO濃度的變化可用常微分方程(2)描述

式中ne內(nèi)皮層NO的濃度，等式右邊第1項(xiàng)為血流對(duì)NO的消耗率，ke為NO在血液中的消耗系數(shù)；右邊第2項(xiàng)表示剪切力依賴的內(nèi)皮NO產(chǎn)生率，其與壁面剪切力τsh(t)成正比，k1為產(chǎn)生系數(shù).也有研究者[11]認(rèn)為NO的產(chǎn)生率與壁面剪切力成S形曲線關(guān)系.血液中消耗NO的主要成分是血紅蛋白，其消耗速率與血液的流變學(xué)參數(shù)相關(guān)，在本文中ke與k3均設(shè)為常數(shù).將壁面剪切力式(1)代入方程(2)中，并引入管徑相對(duì)擾動(dòng)量η=(R-R0)/R0替代管徑R，其中R0為參考半徑，得到

1.2.2 管壁NO的傳輸

NO在內(nèi)皮細(xì)胞合成后，經(jīng)過(guò)擴(kuò)散和生物化學(xué)反應(yīng)在管壁中傳輸.內(nèi)膜和中膜NO濃度變化的動(dòng)力學(xué)過(guò)程可以表示為如下方程

其中，j=1,2時(shí)分別表示管壁的內(nèi)膜、中膜，nj為管壁NO濃度.方程右邊第1項(xiàng)為擴(kuò)散項(xiàng)，Dj為NO在管壁中的擴(kuò)散系數(shù)；第2項(xiàng)為NO在管壁的反應(yīng)項(xiàng).與血液對(duì)NO的消耗類(lèi)似，模型認(rèn)為NO在管壁的反應(yīng)速率與NO濃度成正比，δj為NO在管壁的反應(yīng)系數(shù).利用式(3)可以給出內(nèi)皮層的NO濃度并將其作為管壁內(nèi)邊界(r=Ri)的邊界條件；內(nèi)膜與中膜交界面(r=Rm)上NO濃度及擴(kuò)散量均保持連續(xù)；在中膜外邊界(r=Ra)上，假設(shè)NO不外擴(kuò)散.上述邊界條件描述為

式中D1和D2分別為血管內(nèi)膜、中膜的NO擴(kuò)散系數(shù).方程(3)、方程(4)、邊界條件(5)及合適的初值條件構(gòu)成了完整的動(dòng)脈管壁NO擴(kuò)散--動(dòng)力學(xué)反應(yīng)雙層模型.

1.2.3 平滑肌Ca2+與磷酸化肌球蛋白濃度

平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+的濃度變化由平滑肌細(xì)胞質(zhì)Ca2+的凈流量決定.平滑肌細(xì)胞質(zhì)中Ca2+源包括細(xì)胞間質(zhì)、細(xì)胞內(nèi)的細(xì)胞器--肌質(zhì)網(wǎng).與骨骼肌細(xì)胞不同，血管平滑肌細(xì)胞的肌質(zhì)網(wǎng)并不發(fā)達(dá)，平滑肌細(xì)胞質(zhì)Ca2+的主要來(lái)源是細(xì)胞間質(zhì).由于細(xì)胞間質(zhì)Ca2+濃度遠(yuǎn)高于平滑肌細(xì)胞內(nèi)(約104倍)，Ca2+可通過(guò)平滑肌細(xì)胞膜上的Ca2+通道進(jìn)入細(xì)胞內(nèi).該動(dòng)力學(xué)過(guò)程可以用方程(6)描述

式中,C為平滑肌細(xì)胞質(zhì)內(nèi)Ca2+濃度，方程右邊第一項(xiàng)為Ca2+向細(xì)胞外的主動(dòng)運(yùn)輸，主動(dòng)運(yùn)輸系數(shù)α(n)受平滑肌層NO濃度影響，α(n)=α1+k2n2(r,t)；第二項(xiàng)為Ca2+的被動(dòng)運(yùn)輸過(guò)程.β為傳輸系數(shù)，當(dāng)跨壁壓差不變時(shí)，β取為常數(shù).Ce為細(xì)胞間質(zhì)Ca2+濃度.因Ce?C，可將方程(6)簡(jiǎn)化為

其中φ0=βCe.

平滑肌細(xì)胞內(nèi)磷酸化肌球蛋白的濃度直接決定了平滑肌細(xì)胞的收縮性及主動(dòng)張力的大小.其磷酸化程度(即濃度大小)由細(xì)胞內(nèi)Ca2+濃度、閾值濃度及脫磷酸化速率共同決定.該動(dòng)力學(xué)過(guò)程可以描述為

式中f為磷酸化肌球蛋白濃度，方程右邊第1項(xiàng)表示肌球蛋白脫磷酸化過(guò)程，α2為脫磷酸化系數(shù)；第2項(xiàng)表示Ca2+依賴的肌球蛋白磷酸化，Cth為Ca2+閾值濃度，γ為磷酸化系數(shù)，θ為Heaviside單位函數(shù)

1.2.4 管壁徑向運(yùn)動(dòng)

圖2所示為管壁受力狀態(tài)，從圖2可以看出，小動(dòng)脈的管徑由跨壁壓差P0=P-Pe(P和Pe分別為管內(nèi)、外壓力)、管壁周向張力T決定.

圖2 管壁受力狀態(tài)Fig.2 Stress condition on vessel wall

對(duì)于質(zhì)量為Δm、半徑為R的血管單元，根據(jù)動(dòng)量守恒，有

式中Δm=ρw2πRΔxh，ρw為血管密度，h為壁厚，Δx為血管單元的長(zhǎng)度，fr和fp分別為管壁周向張力T、跨壁壓差P0產(chǎn)生的徑向力.fr和fp可分別表示為

外力平衡時(shí)有fr+fp=0，代入方程(11)可得T=PR0，即周向張力與跨壁壓差滿足拉普拉斯定律.當(dāng)血管為薄壁管時(shí)，管壁周向應(yīng)力可認(rèn)為均勻分布，即T=σθθh，其中σθθ為管壁平均周向應(yīng)力.考慮動(dòng)脈壁的非線彈性、黏性及平滑肌產(chǎn)生的主動(dòng)收縮張力等情況，σθθ可以表示為

式中ξ為泊松比，κ1為非線性彈性系數(shù)，λ為黏性系數(shù).方程右邊最后一項(xiàng)為平滑肌主動(dòng)收縮張力，其與平滑肌磷酸化肌球蛋白的體積平均濃度F成正比，k3為比例系數(shù).管壁楊氏模量E(F)的大小也與F有關(guān)(E(F)=E0(1+εF/F0),F0為跨壁壓差P0=15.332kPa),Ψ0=0.1μmol/s時(shí)磷酸化肌球蛋白的體積平均濃度，E0為不考慮平滑肌主動(dòng)張力時(shí)的楊氏模量.

將式(11)和式(12)代入式(10)，并引入血管半徑的相對(duì)擾動(dòng)量η=(R-R0)/R0,可以得到關(guān)于半徑相對(duì)擾動(dòng)量η的方程

1.3 參數(shù)選取與數(shù)值方法

式 (13)中的參數(shù) λ = 1.5E0t0/R0單位為kg·m-2s-1,其中t0=10s；k3=P0R0/(F0h0)[20].其他參數(shù)的取值及來(lái)源如表1所示.

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

引入如下無(wú)量綱參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行無(wú)量綱化處理

其中特征參數(shù)n0=0.1μmol/L，Cth=0.1μmol/L.R0=2mm為跨壁壓差P0=15.332kPa,Ψ0=0.1μmol/s時(shí)的血管內(nèi)徑.最后得到相應(yīng)的無(wú)量綱模型為

采用有限差分法對(duì)上述模型進(jìn)行數(shù)值求解.對(duì)方程(16)擴(kuò)散項(xiàng)進(jìn)行空間中心差分離散，并進(jìn)行隱式求解，采用共軛梯度法進(jìn)行迭代；方程 (15)、方程(17)、方程(18)均采用歐拉隱式格式求解；對(duì)方程(19)慣性項(xiàng)、黏性項(xiàng)進(jìn)行中心差分離散.無(wú)量綱時(shí)間、空間步長(zhǎng)分別為Δt′=3.0×10-5和Δr′=1.2×10-3.

2 結(jié)果分析

2.1 內(nèi)皮調(diào)節(jié)主要介質(zhì)濃度的穩(wěn)態(tài)分布

基于上述模型，首先得到了Ψ0=0.1μm/s時(shí)內(nèi)皮調(diào)節(jié)主要介質(zhì)濃度在管壁的穩(wěn)態(tài)分布.如圖3所示，由于內(nèi)皮細(xì)胞是管壁NO的唯一產(chǎn)生源，在內(nèi)皮層的NO濃度最高；沿管徑向外，隨著r′的增大,NO濃度因在管壁的反應(yīng)消耗而逐漸降低(中膜外層的NO濃度為0.9030).平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+濃度沿徑向方向略有上升(中膜內(nèi)層濃度為1.1296，中膜外層濃度為1.1314)，這反映了舒血管物質(zhì)NO的濃度變化與Ca2+變化相反，NO濃度的增大會(huì)造成平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+濃度的下降.由于Ca2+濃度高于敏感閾值(Cth=0.1μmol/L)，Ca2+濃度依賴的肌球蛋白磷酸化作用處于激活態(tài)，因此沿徑向磷酸化肌球蛋白濃度也隨Ca2+濃度的上升而略有增大(中膜內(nèi)層濃度為0.9969，中膜外層濃度為1.0104).

圖3 內(nèi)皮調(diào)節(jié)主要介質(zhì)在管壁內(nèi)的徑向濃度分布Fig.3 Stationary concentration distributions in the arterial wall of the key agents

2.2 血管的被動(dòng)舒張

當(dāng)管壁NO或其他舒血管物質(zhì)濃度上升時(shí)，平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+濃度會(huì)逐漸下降并可能低于閾值濃度Cth.此時(shí)平滑肌完全放松，主動(dòng)收縮張力消失，動(dòng)脈壁模型退化為完全被動(dòng)的黏彈性管，此時(shí)管徑相對(duì)擾動(dòng)變化方程(13)變?yōu)?/p>

在η(0)=0的初始狀態(tài)下，管壁周向應(yīng)力減小使得跨壁壓差與周向應(yīng)力不平衡，管徑會(huì)發(fā)生被動(dòng)擴(kuò)張.文獻(xiàn)[20]給出了血管被動(dòng)擴(kuò)張模型的解析解，其形式為

圖4為該解析解與我們得到的數(shù)值解的比較.結(jié)果表明管徑從初始狀態(tài)η(0)=0經(jīng)過(guò)被動(dòng)擴(kuò)張過(guò)程后達(dá)到新平衡態(tài)η=1.2511，數(shù)值解與精確解吻合較好.

圖4 管壁的被動(dòng)擴(kuò)張變化Fig.4 Passive dilatation of the artery

2.3 血流量變化時(shí)的內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程

由方程(2)可知，當(dāng)管內(nèi)血流量變化時(shí)，壁面剪切力依賴的內(nèi)皮NO合成會(huì)發(fā)生改變，并影響到血管平滑肌的收縮張力、管徑大小.將Ψ0=0.1μmol/s時(shí)血管管徑、內(nèi)皮調(diào)節(jié)主要介質(zhì)的穩(wěn)態(tài)濃度作為初始條件，對(duì)血流量發(fā)生變化時(shí)管徑的內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程進(jìn)行了模擬分析.

圖5為血流量增加25%時(shí)模型的響應(yīng)情況.管壁NO濃度均從初始態(tài)開(kāi)始經(jīng)過(guò)衰減振蕩，逐漸穩(wěn)定于新的平衡態(tài)濃度.血管管徑也呈現(xiàn)衰減振蕩，最終在新平衡態(tài)(η1.25=0.0536)穩(wěn)定下來(lái)，此時(shí)跨壁壓差與管壁周向應(yīng)力達(dá)到平衡.結(jié)果顯示NO濃度、管徑的振蕩周期均為60s左右，這與依賴內(nèi)皮的血流調(diào)節(jié)頻率相一致(0.0095～0.02Hz[21]).

圖5 NO濃度和管徑隨時(shí)間的變化Fig.5 Time dependence of the changes of NO concentration and artery radius

表 2列出了不同血流條件下小動(dòng)脈達(dá)到新平衡態(tài)時(shí)的管徑擾動(dòng)量和壁面剪切力.從該表可以看到，管徑擾動(dòng)和壁面剪切應(yīng)力隨血流量增加呈非線性增加.當(dāng)血流量Q由0.75Q0增大到1.50Q0時(shí)，壁面剪切力τsh只增大了0.20τ0.由式(1)可知，當(dāng)管徑無(wú)變化(即η=0)時(shí)，壁面剪切力τsh會(huì)隨血流量Q的增大而線性增大；內(nèi)皮調(diào)節(jié)引起的管徑增大在很大程度上限制了τsh的快速上升，這對(duì)于維持血管內(nèi)皮受力的相對(duì)穩(wěn)定性非常重要.反之，若壁面剪切力τsh維持不變，由式(1)可得則管徑擾動(dòng)隨血流量變化曲線斜率隨血流量Q增大而逐漸減小.如圖6實(shí)線所示，利用內(nèi)皮調(diào)節(jié)模型得到的數(shù)據(jù)也呈現(xiàn)了類(lèi)似的特征，說(shuō)明內(nèi)皮調(diào)節(jié)的作用是使血管管壁切應(yīng)力盡量保持穩(wěn)定.

表2 不同血流量條件下管徑和壁面剪切力的響應(yīng)Table 2 Responses of vessel radius and shear stress under dif f erent fl w conditions

圖6 管徑擾動(dòng)隨血流量的變化Fig.6 Changes of artery radius under dif f erent fl w conditions

3 討論

3.1 管徑振蕩變化的產(chǎn)生機(jī)理

通過(guò)模型分析可看出，血流量變化時(shí)，內(nèi)皮舒張因子NO和管徑會(huì)產(chǎn)生大周期振蕩.為探究該振蕩發(fā)生的原因，本文進(jìn)一步對(duì)活性物質(zhì)動(dòng)力學(xué)特性和血管運(yùn)動(dòng)的相互作用進(jìn)行了分析.

在血管管徑運(yùn)動(dòng)方程(13)中我們考慮了血管的慣性、黏性及彈性.這些力學(xué)性質(zhì)的組合可能會(huì)產(chǎn)生管壁阻尼振蕩運(yùn)動(dòng).阻尼運(yùn)動(dòng)方程的一般形式為

另一方面，若假設(shè)血管管徑無(wú)變化(η=0)，則根據(jù)方程(15)～方程(18)得到的平滑肌細(xì)胞內(nèi)NO，Ca2+及磷酸化肌球蛋白濃度變化如圖7所示.它們均從初始態(tài)平緩過(guò)渡至新的平衡態(tài)，無(wú)振蕩出現(xiàn).

圖7 內(nèi)皮調(diào)節(jié)介質(zhì)濃度隨時(shí)間的變化(η=0,Q=1.25Q0)Fig.7 Variations of key agents’concentrations(η=0,Q=1.25Q0)

上述分析表明，血管管徑、內(nèi)皮調(diào)節(jié)活性物質(zhì)濃度均不會(huì)獨(dú)立地產(chǎn)生振蕩變化，這種振蕩可能是由于對(duì)壁面剪切力的負(fù)反饋控制作用而產(chǎn)生.圖8描述了這一負(fù)反饋控制過(guò)程示意圖，本文所采用模型很好地體現(xiàn)了這一特點(diǎn).

圖8 內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程的剪切力反饋控制Fig.8 Feedback control of shear stress in the process of endothelial regulation

血管的自發(fā)振蕩現(xiàn)象需要管壁平滑肌緊張度的協(xié)同變化，而能夠在血管尺度迅速引發(fā)這一響應(yīng)的方式極有可能是電信號(hào)在細(xì)胞之間的傳輸[28].有研究認(rèn)為膜電勢(shì)及細(xì)胞內(nèi)Ca2+濃度的振蕩變化是引起細(xì)胞緊張度變化的原因，這些電信號(hào)位于血管分叉處少量的特殊“起搏器”細(xì)胞內(nèi)[29].Secomb[30]總結(jié)前人工作指出血管自發(fā)振動(dòng)機(jī)理的兩種可能性：血管壁細(xì)胞本身固有振動(dòng)特性，即“起搏器”性質(zhì)；管壁振蕩運(yùn)動(dòng)由細(xì)胞反應(yīng)、管壁力學(xué)性質(zhì)以及血液流動(dòng)之間的相互作用引起.Kvernmo等[31]認(rèn)為內(nèi)皮活動(dòng)頻率或反映了內(nèi)皮釋放血管活性物質(zhì)的速率，或反映了平滑肌細(xì)胞對(duì)這些物質(zhì)的響應(yīng)頻率.本文模型基于宏觀連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，不能從細(xì)胞／細(xì)胞群尺度分析血管振蕩的內(nèi)在機(jī)理，但該模型體現(xiàn)了對(duì)壁面剪切力的反饋控制特點(diǎn)，使得內(nèi)皮舒張因子NO、平滑肌內(nèi)Ca2+、磷酸化肌球蛋白濃度以及血管管徑逐步得到校正.因此我們推測(cè)內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程的反饋控制特點(diǎn)可能是內(nèi)皮舒張因子NO、管徑周期性振蕩的原因；反饋環(huán)節(jié)的缺失使得振蕩消失.

3.2 模型的特點(diǎn)和局限性

本文發(fā)展的內(nèi)皮調(diào)節(jié)模型將活性物質(zhì)濃度變化與血管周向張力、血管管徑變化關(guān)聯(lián)起來(lái).相比于一般的唯象模型，本模型能夠體現(xiàn)內(nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)過(guò)程，而且不涉及過(guò)于復(fù)雜的單個(gè)細(xì)胞內(nèi)的具體反應(yīng)機(jī)理，有助于我們加深對(duì)血管管腔內(nèi)皮調(diào)節(jié)機(jī)理的認(rèn)識(shí).同時(shí)本模型有如下幾個(gè)方面需要說(shuō)明和進(jìn)一步改進(jìn).

本文所采用的活性物質(zhì)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型與Kudryashov等[20]的模型相同，但在分析小動(dòng)脈徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)，考慮到方程(13)中慣性力項(xiàng)的作用很小，又發(fā)現(xiàn)內(nèi)皮調(diào)節(jié)引起的管徑大周期波動(dòng)并不是來(lái)自于管壁的機(jī)械振蕩，因此在模型分析中略去了該慣性項(xiàng).相較于Kudryashov等[20]的工作，本模型對(duì)血管運(yùn)動(dòng)振蕩特性的分析更深入.

在流體介質(zhì)方面，本模型假設(shè)血液為牛頓流體.采用牛頓流體假設(shè)會(huì)對(duì)壁面切應(yīng)力的大小有一定影響，但不會(huì)影響活性物質(zhì)在管壁的分布規(guī)律和管壁運(yùn)動(dòng)特性.

目前，本模型假定內(nèi)皮NO的釋放率與壁面剪切力成正比(k1τsh)，且k1假定為定值.當(dāng)內(nèi)皮發(fā)生功能障礙時(shí)，NO的釋放減少，模型中對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)k1也會(huì)相應(yīng)減小，最終會(huì)影響血管正常的內(nèi)皮舒張功能和壁面剪切力的維持.類(lèi)似地，本模型假定血液對(duì)NO的消耗率與內(nèi)皮NO濃度呈正比其中ke為定值.NO在血液中的傳輸和反應(yīng)實(shí)際上與血液流速、紅細(xì)胞壓積、紅細(xì)胞膜的滲透性等因素有關(guān)，這些因素的變化會(huì)改變ke的取值.在另外的研究中[32]，建立了內(nèi)皮NO在血液和組織中的反應(yīng)—對(duì)流擴(kuò)散模型，并對(duì)ke的影響進(jìn)行了考察，發(fā)現(xiàn)ke的增大會(huì)使壁面NO濃度降低；同時(shí)，也在考察紅細(xì)胞運(yùn)動(dòng)，變形和壓積對(duì)NO生成的影響，這些結(jié)果會(huì)為確定不同狀態(tài)下血液對(duì)NO的消耗率提供很好的數(shù)據(jù)支撐.

4 結(jié)論

本文結(jié)合擴(kuò)散、反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型和黏彈管模型，對(duì)剪切力依賴的小動(dòng)脈內(nèi)皮調(diào)節(jié)反應(yīng)進(jìn)行了模擬，并對(duì)調(diào)節(jié)引起的振蕩現(xiàn)象進(jìn)行了分析.基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)模型對(duì)管壁內(nèi)皮層NO的產(chǎn)生和NO在管壁中的兩層擴(kuò)散--反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程、平滑肌細(xì)胞內(nèi)Ca2+及磷酸化肌球蛋白的反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述；考慮管壁的黏彈性并結(jié)合內(nèi)皮調(diào)節(jié)產(chǎn)生的主動(dòng)張力變化，建立了血管的徑向運(yùn)動(dòng)模型.研究結(jié)果表明小動(dòng)脈被動(dòng)舒張過(guò)程管徑無(wú)振蕩發(fā)生，而血流量變化引起的內(nèi)皮調(diào)節(jié)使內(nèi)皮舒張因子NO濃度和管徑均出現(xiàn)衰減振蕩.本文認(rèn)為內(nèi)皮調(diào)節(jié)對(duì)壁面剪切力的反饋控制，可能是NO濃度—管徑產(chǎn)生周期性振蕩的原因.

內(nèi)皮調(diào)節(jié)過(guò)程呈現(xiàn)的頻譜特征可以為內(nèi)皮功能障礙的診斷提供幫助.內(nèi)皮功能受損常見(jiàn)于糖尿病發(fā)病早期.糖尿病內(nèi)皮功能障礙的確切機(jī)制還不明確，高血糖造成的多種因素可能參與了內(nèi)皮的受損過(guò)程，包括NO的產(chǎn)生、傳輸及效應(yīng)環(huán)節(jié)，即：NO合成下降，NO擴(kuò)散至平滑肌細(xì)胞層的功能受損，平滑肌細(xì)胞對(duì)NO反應(yīng)性下降或內(nèi)皮衍生的收縮因子抑制了血管舒張.合適的數(shù)學(xué)模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)上述環(huán)節(jié)的合理描述，通過(guò)模型分析可有助于對(duì)內(nèi)皮功能受損原因的排查.

1 Davis MJ,Hill MA,Kuo L.Local Regulation of Microvascular Perfusion.Comprehensive Physiology,2010

2 Bohlen,Glenn H.Microvascular Consequences of Obesity and Diabetes.Comprehensive Physiology,2010

3 Furchgott RF,Zawadzki JV.The obligatory role of endothelial cells in the relaxation of arterial smooth muscle by acetylcholine.Nature,1980,288(5789)：373-376

4 任長(zhǎng)輝，劉肖，康紅艷等.剪切力條件下血管內(nèi)皮細(xì)胞與平滑肌細(xì)胞的相互作用.醫(yī)用生物力學(xué),2015,30(2)：185-191(Ren Changhui,Liu Xiao,Kang Hongyan,et al.Interactions between vascular endothelial cells and smooth muscle cells under shear stress.Journal of Medical Biomechanics,2015,30(2)：185-191(in Chinese))

5 Pohl U,De WC,Gloe T.Large arterioles in the control of blood fl w：role of endothelium-dependent dilation.Acta Physiologica Scandinavica,2000,168(168)：505-510

6 Koller A,Kaley G.Endothelial regulation of wall shear stress and blood fl w in skeletal muscle microcirculation.American Journal of Physiology,1991,260(260)：862-868

7 LiLF,ChengX,QinKR.ModelingofTRPV4-C1-mediatedcalcium signaling in vascular endothelial cells induced by flui shear stress and ATP.Biomechanics&Modeling in Mechanobiology,2015, 14(5)：1-15

8 陳宗正,覃開(kāi)蓉,高爭(zhēng)鳴等.用于分析剪切力和生化因子對(duì)細(xì)胞聯(lián)合作用的微流控裝置.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展,2015,30(6)：643-649 (Chen Zongzheng,Qin Kairong,Gao Zhengming,et al.A microflu idic device for analyzing cellular behavior in response to shear stress and biochemical factors.Chinese Journal of Hydrodynamics,2015, 30(6)：643-649(in Chinese))

9 高爭(zhēng)鳴,覃開(kāi)蓉,陳宗正等.剪切力和ATP定量調(diào)控血管內(nèi)皮細(xì)胞鈣信號(hào)的數(shù)值仿真研究.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展,2015,30(6)：679-684(Gao Zhengming,Qin Kairong,Chen Zongzheng,et al. Numerical simulation research on quantitative regulation of intracellular Ca2+signals in vascular endothelial cells via shear stress and ATP modulation.Chinese Journal of Hydrodynamics,2015,30(6)：679-684(in Chinese))

10 Liao JC,Kuo L.Interaction between adenosine and fl w-induced dilation in coronary microvascular network.AJP Heart&Circulatory Physiology,1997,272(4Pt2)：H1571-H1581

11 Cornelissen AJ,Dankelman J,Vanbavel E,et al.Balance between myogenic,fl w-dependent,and metabolic fl w control in coronary arterial tree：a model study.AJP Heart&Circulatory Physiology, 2002,282(6)：H2224

12 Chen X,Buerk DG,Barbee KA,et al.3D network model of NO transport in tissue.Medical&Biological Engineering&Computing,2011,49(6)：633-647

13 Liu X,Fan Y,Xu XY,et al.Nitric oxide transport in an axisymmetric stenosis.Journal of the Royal Society Interface,2012,9(75)：2468-2478

14 TsoukiasNM,PopelAS.Amodelofnitricoxidecapillaryexchange.Microcirculation,2003,10(6)：479-495

15 Carlson BE,Secomb TW.A theoretical model for the myogenic response based on the length-tension characteristics of vascular smooth muscle.Microcirculation,2005,12(4)：327-338

16 Arciero JC,Carlson BE,Secomb TW.Theoretical model of metabolic blood fl w regulation：roles of ATP release by red blood cells and conducted responses.AJP Heart&Circulatory Physiology,2008,295(4)：H1562-H1571

17 Carlson BE,Arciero JC,Secomb TW.Theoretical model of blood fl w autoregulation：roles of myogenic,shear-dependent,and metabolic responses.AJP Heart&Circulatory Physiology,2008, 295(4)：H1572-H1579

18 Yang J,Jr J C.The myogenic response in isolated rat cerebrovascular arteries：smooth muscle cell model.Medical Engineering&Physics,2013,25(8)：691-709

19 Yang J,Clark JW,Bryan RM,et al.Mathematical modeling of the nitric oxide/cGMP pathway in the vascular smooth muscle cell.AJP Heart&Circulatory Physiology,2005,289(2)：H886-H897

20 Kudryashov NA,Chernyavskii IL.Numerical simulation of the process of autoregulation of the arterial blood fl w.Fluid Dynamics, 2008,43(1)：32-48

21 Kvernmo HD,Stefanovska A,Bracic M,et al.Spectral analysis of the laser doppler perfusion signal in human skin before and after exercise.Microvascular Research,1998,56(3)：173-182

22 Sagaidachnyi AA,Usanov DA,Skripal AV.Correlation of skin temperature and blood fl w oscillations//Proceedings of SPIEThe International Society for Optical Engineering,2011,8337(4)：83370A-83370A-8

23 Elena S,Sergey P,Irina M,et al.Assessment of endothelial dysfunction in patients with impaired glucose tolerance during a cold pressor test.Diabetes&Vascular Disease Research Of ficial Journal of the International Society of Diabetes&Vascular Disease,2013, 10(6)：489-497

24 Hall JE.Textbook of Medical Physiology.13th Edn.Oxford：Elsevier Ltd,2016.203-214

25 Formaggia L,Lamponi D,Quarteroni A.One-dimensional models for blood fl w in arteries.Journal of Engineering Mathematics, 2003,47(3-4)：251-276

26 Regirer SA,Nkh S.Mathematical models of nitric oxide transport in a blood vessel.Biofizik,2005,50(3)：515-536

27 Snow HM,Mcaulif f e SJ,Moors JA,et al.The relationship between blood fl w and diameter in the iliac artery of the anaesthetized dog：the role of endothelium-derived relaxing factor and shear stress.Experimental Physiology,1993,16(3)：278-282

28 Nilsson H,Aalkjaer C.Vasomotion：mechanisms and physiological importance.Molecular Interventions,2003,3(2)：79-89,51

29 Goligorsky MS,Colfles D,Gordienko D,et al.Branching points of renal resistance arteries are enriched in L-type calcium channels and initiate vasoconstriction.American Journal of Physiology,1995, 268(2 Pt 2)：F251

30 Secomb TW.Theoretical models for regulation of blood fl w.Microcirculation,2008,15(8)：765-775

31 Kvernmo HD,Stefanovska A,Kirkeboen KA,et al. Oscillations in the human cutaneous blood perfusion signal modifieby endothelium-dependent and endothelium-independent vasodilators.Microvascular Research,1999,57：298-309

32 Wei YJ,He Y,Tang YL.Finite element analysis on NO transport in system of permeable capillary and tissue//11th Asian Computational Fluid Dynamics Conference.Accepted

MODEL ANALYSIS OF ENDOTHELIUM-DEPENDENT VASOMOTION OF SMALL ARTERY1)

Tang Yuanliang He Ying2)
(School of Energy and Power Engineering，Dalian University of Technology，Dalian116024，China)

Metabolic substance exchange between blood and tissue occurs mainly in microcirculation,which can locally regulate blood pressure and blood fl w by changing their diameters.Vascular endothelium plays an important role in the vasomotor regulation of small artery.In this paper,a model was adopted to study the endothelial regulation mechanism. Based on the continuum assumption,two layers of dif f usion&kinetic processes of key agents in endothelial regulation were modeled,and the nonlinear viscoelastic properties of the wall material were considered in the computation of radial motion of small artery.The stationary distributions of nitric oxide(NO),calcium ion(Ca2+)and the contracting actinmyosin complexes(AMC)concentrations in the wall were firstl obtained;then the process of arterial passive dilation and the autoregulation process to the disturbance of blood fl w were simulated.Numerical results showed that there was no oscillation of arterial diameter occurred during the passive dilation process.However,when there was a change in blood fl w,the whole system transferred from the initial state to a new equilibrium state with slow damped oscillations. The oscillating period was about 60s.It is supposed that the endothelial oscillation of artery diameter and NO concentration occurring during the dynamic regulating process is caused by the feedback control of shear stress.This oscillationcharacteristic can provide useful information for the diagnosis of endothelial dysfunction.

shear stress,endothelial regulation,nitric oxide,diabetes,microcirculation

R318.01

A doi：10.6052/0459-1879-16-171

2016-06-13收稿，2016-09-29錄用,2016-10-18網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金(51576033)和大連市科技計(jì)劃(2015F11GH092)資助項(xiàng)目.

2)賀纓，教授,主要研究方向：血液動(dòng)力學(xué)，生物傳熱傳質(zhì).E-mail：heying@dlut.edu.cn

唐元梁,賀纓.內(nèi)皮調(diào)節(jié)對(duì)小動(dòng)脈管腔運(yùn)動(dòng)影響的模型分析.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(1)：182-190

Tang Yuanliang,He Ying.Model analysis of endothelium-dependent vasomotion of small artery.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：182-190