李 輝,王華忠,劉守偉

(1.同濟大學數學系,上海200092;2.同濟大學波現象與反演成像研究組,上海200092;3.上海青鳳致遠地球物理地質勘探科技有限公司,上海200093)

基于高斯束的速度層析方法研究

李 輝1,2,王華忠2,劉守偉3

(1.同濟大學數學系,上海200092;2.同濟大學波現象與反演成像研究組,上海200092;3.上海青鳳致遠地球物理地質勘探科技有限公司,上海200093)

相對于波動層析,射線層析是一個病態(tài)性很強的反問題,但射線層析的計算效率比波動層析高得多。高斯束(Gaussian beam)層析是介于二者之間的一種層析方法,它綜合了二者的優(yōu)點,如高效率、低病態(tài)等。在Rytov近似和Born近似的基礎上,介紹了高斯束層析理論,闡述了高斯束層析核函數的計算方法。在成像域層析反演的框架下討論了核函數的計算策略,給出了核函數的計算公式與實現方案。同時分析了成像域層析中高斯束初值的選取原則以及高斯束層析核函數的邊界計算方法。高斯束層析的核函數不再是射線,而是波束體,這與實際的物理現象更吻合,驗證了理論分析中高斯束層析比射線層析更加穩(wěn)定的結論。將高斯束層析應用于角度域成像道集偏移速度分析,得到了理想的層析結果,理論模型及實際數據的數值實驗結果證明高斯束層析理論及策略有效可行。

層析;高斯束;核函數;波束體;層析偏移速度分析

疊前深度偏移成功與否最重要的前提之一是速度的準確程度。層析反演是一種廣泛應用的速度估算方法,一般可分為射線層析[1-2]、胖射線層析[3-4]、波動方程層析[5-8]以及全波形反演[9-10]等。從層析分類中可以看出,射線理論和波動理論是層析的兩個極端理論基礎。基于這兩種理論的層析方法顯示出了不同的特點。射線層析所需的計算量遠遠小于波動層析,但射線理論受限于焦散和陰影區(qū)等問題。從數學角度看,射線層析是一個十分病態(tài)的反演問題,所以實際應用時需要加入正則化[11],而波動方程層析對正則化的需求則低得多。針對上述射線理論與波動理論的極端特點,尋找一種介于兩者之間的層析方法很有必要。胖射線層析綜合了對波動理論的感性認識,定性地將層析核函數中的射線修改成射線束,缺少嚴格的理論支持。本文提出的高斯束層析在建立核函數時利用了高斯束正演理論,可認為是一種介于胖射線層析和波動層析之間的方法。

高斯束[12-13]正演理論可用于描述局部方向的波束傳播,作為模擬方法,實際上是射線理論與波動理論的折中。高斯束的優(yōu)勢之一是可以解決焦散問題,而焦散問題是射線理論面臨的重大難題之一。高斯束方法已被廣泛應用于偏移成像中[14-16],但很少用于層析中。SEMTCHENOK等[17]提出了一種利用高斯束建立層析核函數的方法,一個炮檢對的一個震相在常規(guī)射線層析中只能建立一個層析方程,而SEMTCHENOK利用高斯束對波場的貢獻大小建立了多個射線積分方程。VERDEL等[18]利用SEMTCHENOK的思想展示了一種層析偏移速度分析策略,并取得了很好的效果,但他們建立高斯束層析矩陣的正演工具仍然是射線。LI等[19]給出了一種利用高斯束建立的核函數,核函數的形態(tài)類似于胖射線層析,是一個波束體。邵榮峰等[20]在此基礎上實現了成像域層析偏移速度分析。本文以高斯束作為正演工具,提出一種層析方法,類似于LI等[19]的工作,建立了形態(tài)為波束體的層析核函數,并給出了詳細的計算公式以及實際應用中的算法策略。我們將高斯束層析應用于偏移速度分析并得到了理想的速度更新結果。

本文首先從理論上推導出了高斯束層析核函數的表達方式,并給出了該表達方式的詳細計算方法,提出了高斯束初值選取原則以及確定核函數邊界的方法建議,最后將高斯束層析應用于角度域共成像點道集偏移速度分析中,并應用理論模型和實際資料測試了本文方法的應用效果。

1 高斯束層析理論

利用高斯束積分方法可以實現觀測波場的模擬,旅行時可看作是來自不同高斯束共同貢獻的結果?；诖?根據不同高斯束對旅行時差的貢獻,推導出旅行時高斯束層析的核函數表達式。

在Rytov近似和Born近似下,旅行時擾動Δτ,頻率ω,初始模型中的背景波場u0和擾動波場us之間存在如下關系[21]:

(1)

進一步在Born近似下(1)式可寫成:

(2)

這里,u是觀測波場,可看作是背景波場和擾動波場之和。

(3)

零階WKBJ近似下觀測波場寫成振幅A和旅行時τ的表達形式,有:

(4)

利用高斯束的積分計算背景波場[12-13],有:

(5)

其中,ψ是調節(jié)高斯束積分結果的常數,以保證高斯束積分與真實波場的振幅相等。

把(4)式和(5)式代入(2)式,經過簡單推導得到旅行時差的表達式:

(6)

從上述高斯束計算波場的過程可知,公式(5)和公式(6)中的φ是高斯束中心射線的標記,由于高斯束與中心射線一一對應,則高斯束也可以用φ標記。(6)式中的旅行時殘差是利用所有對觀測波場有貢獻的高斯束計算得到的。下面考察一個單獨高斯束對旅行時殘差的貢獻。計算(2)式中背景波場時只考慮利用一個高斯束,而非高斯束積分,此時背景波場為:

(7)

同時(6)式變成一個高斯束計算出的旅行時差:

(8)

結合(6)式和(8)式可知,以φ0為中心射線的高斯束對旅行時差的相對貢獻為:

(9)

由高斯束初值與高斯束幾何擴散的關系可知,選擇適當的初值可以使得高斯束在接收點附近為平面波,此時不同的φ對應的高斯束在觀測點處的相位函數相同,即(9)式中的所有τ(φ)均相等,此時(9)式等價于:

(10)

對觀測數據有貢獻的高斯束中心射線均可利用觀測點旅行時差建立如下層析方程:

(11)

式中:Δp是慢度修正量;Γφ是中心射線路徑;dl是沿射線路徑長度的微分變量。

方程(11)等號兩邊同時對φ加權積分,權系數為c(φ),得到:

(12)

式中:積分范圍V是對當前旅行時有貢獻的高斯束中心射線覆蓋的區(qū)域。其中,核函數K(x)為:

(13)

至此,我們得到了高斯束層析核函數的表達式((13)式)。從(13)式中可以看出,核函數不只與連接炮檢點的射線有關,也與臨近的高斯束有關。相對于射線層析,高斯束層析更加符合波傳播的物理事實,即波傳播是沿著波路徑[6]而非射線路徑傳播。

2 高斯束層析核函數計算方法

前文已經詳細推導了高斯束層析的基礎理論,并給出了核函數的表達形式。公式(13)所示的核函數計算不易實現,本節(jié)在一定近似下探討高斯束層析核函數的計算方法。

高斯束振幅的計算公式為[12]:

(14)

式中:v(φ)是觀測點xg在中心射線上投影點x0處的速度;Q(φ)是x0處的動力學射線追蹤參數;q0是xg到x0的距離;M(φ)是x0處相位函數的二階導數。利用傍軸射線近似(Paraxial ray approximation,PRA)對旅行時二階導數近似[22],有:

根據旅行時一階擾動近似[23],射線φ和連接炮檢點的射線φ0路徑差是φ-φ0的一階擾動量,此時有:

(17)

結合(15)式、(16)式和(17)式,(14)式近似為:

(18)

至此,只要知道觀測點到中心射線的距離q0,即可計算出(14)式中高斯束的振幅。高斯束的振幅隨著到中心射線的距離呈高斯型衰減,如果接收點距離射線比較遠則振幅衰減到一定程度時可以忽略該射線對觀測點的振幅貢獻,因為核函數K(x)已經相對很小以至于可以忽略。對于給定的一點x,如果在核函數的范圍之內(核函數邊界的具體計算方法在下一節(jié)中詳細討論),可以利用下面給出的策略計算。對觀測點振幅有貢獻的高斯束中,距離觀測點最遠的中心射線標記為φmax,觀測點到此射線的距離為qmax,即圖1中點R和A的距離:

(19)

圖1 高斯束層析核函數邊界示意

圖1中紅色虛線是假想的經過點x的射線,觀測點R在假想射線上的投影點為x0,現在需要計算點R到假想射線的距離用于計算高斯束振幅,即:

(20)

令假想射線上垂足為x,中心射線上存在一點C垂直于假想射線。經過點C作射線φmax的垂線,垂足為O。將點C到上述兩條中心射線的距離寫成:

結合(19)式至(22)式即可近似計算出觀測點到當前中心射線的距離q0:

(23)

將(23)式代入(18)式,中心射線經過點x的高斯束在觀測點處的振幅可用下式近似計算:

(24)

這樣就得到了高斯束層析核函數(13)式中的分子項,下面推導分母項的計算公式。

經過觀測點中心射線的垂直線段(三維時是截面)上點與射線φ一一對應,此時對射線的積分可以轉換成對此線段上點的積分,即

(25)

式中:積分范圍Ψ是對當前旅行時有貢獻的高斯束中心射線的集合。將振幅計算公式((18)式)代入(25)式,有:

(26)

高斯束的截斷效應使得高斯束振幅積分出現誤差,(26)式中系數C補償了忽略核函數邊界之外高斯束對核函數的貢獻帶來的誤差,雖然這些貢獻值相對很小。系數C的大小由高斯束寬度標準決定,具體計算公式為:

(27)

根據(13)式,(24)式和(26)式,可計算得到直接用作計算的高斯束層析核函數表達式:

(28)

3 高斯束初值選擇與層析核函數邊界

高斯束層析應用于層析偏移速度分析時,高斯束初值的選取原則以及層析核函數邊界的計算方式是兩個重要因素。本節(jié)首先確定層析核函數的邊界,在此基礎上以核函數邊界之外的中心射線對應的高斯束對觀測點振幅貢獻值可以忽略為原則,確定高斯束的初值。

高斯束層析核函數的邊界由6部分組成(圖1),分別為曲線RlR,RA,AIr,IrI,IB和BRl。圖1中,IlIr是反射面上的Fresnel帶,RlRr是地表處的角度道集投影Fresnel帶(Projected Fresnel zone,PFZ)[24-25],IR是連接反射點和接收點的射線,IlRl和IrRr是把反射面上Fresnel帶投影到地表面的射線,根據投影Fresnel帶的定義,射線IR,IlRl和IrRr的出射角度相等。令射線IR的標記為φ0,IlRl和IrRr的標記分別為φmin和φmax。滿足φ0≤φ≤φmax的射線記為φ,接收點在所有射線φ上的投影點組成了曲線RA。同樣,滿足φmin≤φ≤φ0的射線記為φ,反射點在所有射線φ上的投影組成了曲線IB。至此,高斯束層析核函數的邊界被確定。反射面上Fresnel帶可利用傍軸射線近似計算得到[26]。

接下來討論高斯束寬度的選取準則。高斯束振幅隨著距離射線的大小呈高斯型衰減,某處振幅衰減至中心射線振幅的1/e時(e是自然常數),可以將此處到射線的距離定義為高斯束的半寬度[12-13]。振幅衰減公式為:

(29)

令(29)式中的高斯束振幅衰減量為1/e,得到:

(30)

即高斯束的寬度。高斯束初值選擇遵循的原則為:連接反射點和接收點射線(中心射線)對應的高斯束傳播至地表時其寬度與投影Fresnel帶的寬度相等。通過傍軸射線近似可導出,高斯束層析核函數邊界射線對應的高斯束對接收點振幅貢獻大小為中心射線對應高斯束對觀測點振幅貢獻大小的1/e。在上述高斯束寬度標準下,(27)式中的系數可以利用高斯函數的性質計算得到:

(31)

根據高斯束初值選取原則和高斯束層析核函數的計算公式,我們計算了一個理論模型中層析偏移速度分析的核函數,其分布形態(tài)如圖2所示。從圖2中可以看出,高斯束層析中的核函數是有一定寬度的波路徑,相對于射線層析,高斯束層析在理論上更加靠近波動理論,與客觀的物理現象更吻合。

圖2 高斯束層析核函數示意 圖中,背景是速度場,藍線是反射射線路徑,由紅漸變白的波束是高斯束層析核函數。

4 數值實驗

4.1 高斯束層析偏移速度分析

高斯束層析方法可以應用在不同種類的層析成像中,例如初至層析、透射層析、斜率層析以及反射層析等。我們基于角度域共成像點道集在成像域實現高斯束層析,即角度域高斯束層析偏移速度分析。在層析偏移速度分析[2,27]的框架下,利用高斯束而非射線更新偏移速度場。相較于偏移距域層析偏移速度分析,角度域共成像點道集更加符合物理規(guī)律,如角度域共成像點道集可描述波傳播的多路徑問題;并且,利用角度域共成像點道集層析反演速度時,層析核函數的構建只需進行初值射線追蹤(射線追蹤是計算高斯束的一步),而利用偏移距域共成像點道集構建層析核函數必須進行費時且不穩(wěn)定的兩點射線追蹤。

高斯束層析偏移速度分析的實現流程如圖3所示。基于給定的初始速度模型進行疊前深度偏移并生成角度域共成像點道集,以道集是否拉平為判斷準則考察速度場的優(yōu)劣。角度域共成像點道集同相軸不平的情況下在偏移剖面中拾取反射點用于反射層析,并計算反射點處的構造傾角。對應地在角度域共成像點道集上拾取出不同角度的成像深度,并近似計算出“真深度”。將不同角度的成像深度差轉化為旅行時差,即得到了反射射線的旅行時差。根據角度域共成像點道集中的反射角度、地下反射點位置以及界面傾角,利用初值射線追蹤模擬出反射射線及其對應的高斯束,建立高斯束層析矩陣。利用LSQR[28]求解層析方程組得到慢度更新量,進而實現對速度模型的更新。

4.2 理論資料測試

我們利用二維理論模型(圖4)測試本文提出的高斯束層析偏移速度分析方法。理論模型中有4個沉積層,其中第3層內有一個高速體,具體的速度如圖4所示。理論模型大小為601×201,x和z方向的空間樣點間隔均為10m。令201個震源點等間隔分布在1000～5000m,震源間隔為20m,每一炮均有101個檢波點,偏移距范圍為-1000～1000m,檢波點間距為20m。由于理論模型比較簡單,實驗中我們只做一次迭代就得到了理想的成像道集。初始速度模型和更新速度模型如圖5所示。圖6和圖7為初始模型、理論模型和更新模型對應的偏移剖面及成像道集。直接對比標準速度場、初始速度場和反演速度場,層析明顯修正了原始速度模型,并反演出了層內的高速體。反演結果在成像剖面和成像道集中體現得更明顯。初始速度對應的成像剖面明顯不收斂且反射層位偏淺,更新速度場的剖面同相軸聚焦更好,與真實速度的成像剖面相比兩者幾乎沒有差異。由于初始速度偏小,因此偏移出的成像道集上翹嚴重,高斯束層析反演更新后的速度與真實速度的角道集同相軸均被拉平。

圖3 高斯束層析偏移速度分析流程

圖4 理論速度模型

圖5 初始速度場(常梯度模型,速度由2500m/s漸變至3700m/s)(a)和高斯束層析得到的速度模型(b)

圖6 采用不同速度模型偏移的成像剖面a 初始速度模型; b 理論模型; c 高斯束層析反演速度模型

圖7 采用不同速度模型偏移的角度域成像道集(CDP=300)a 初始速度模型; b 理論模型; c 高斯束層析一次迭代反演速度模型

射線層析的核函數是射線長度,所以其非零值僅存在于射線路徑上,層析過程中需要加入光滑正則化,而光滑正則化降低了反演模型的分辨率。高斯束層析的核函數是有一定寬度的波束體,本文實驗中不需加入光滑正則化,反演分辨率顯著高于射線層析。對比高斯束層析的反演模型(圖5b)和圖8所示射線層析反演模型可證實上述分析。

圖8 射線層析反演的速度模型

4.3 實際資料測試

用于測試高斯束層析的實際數據來源于中國某探區(qū)的一條二維測線。該測線共232炮,每炮最大偏移距3200m,最小偏移距100m,左側單邊接收;道間距50m;炮間距大部分為100m,小部分為50m。初始速度模型由時間域速度分析獲得。該數據共952個CDP點,CDP間隔25m,深度采樣點數為501,深度采樣間隔為10m。初始速度模型和相應偏移剖面如圖9a和圖9b所示。在橫向位置為1000,3000,9000m 的3個CDP點抽取出3個角度域成像道集,分別如圖10a,圖10b和圖10c所示。從成像道集中可看出,x=1000m附近的初始速度比較準確,同相軸基本水平;x=3000m附近同相軸有微小的下拉現象,初始速度略微偏大;x=9000m附近的同相軸下拉現象明顯,初始速度顯著偏大。高斯束層析偏移速

圖9 實際數據初始速度模型(a)和相應的偏移剖面(b)

圖10 實際數據初始速度模型偏移的3個角度域成像道集a x=1000m; b x=3000m; c x=9000m

度分析利用初始速度偏移得到的剖面和成像道集對初始速度進行更新,圖11a和圖11b分別給出了反演后的速度模型和成像剖面。對比初始速度模型和反演速度模型可以看出,模型左側速度場更新量很小,中部和右側更新量相對較大。反演速度偏移剖面相對于原始剖面有明顯改善,例如圖11b中部小斷塊區(qū)域成像更清楚,同時右側的反射同相軸更加連續(xù)。從層析速度的偏移結果中抽取3個角度域成像道集如圖12a,圖12b和圖12c所示,與圖10對比可以看出,同相軸有顯著改善,尤其是數據中部和右側區(qū)域,原始成像道集中同相軸的下拉現象已經被完全校正。

圖11 反演速度模型(a)和相應的偏移剖面(b)

圖12 反演速度模型偏移的3個角度域成像道集a x=1000m; b x=3000m; c x=9000m

5 結論

高斯束層析是介于射線層析與波動層析之間的一種層析方法,該方法克服了射線層析的一些缺點,同時保留了波動層析和射線層析的優(yōu)點。與前人將高斯束應用于層析中的思路不同,我們提出了一種利用高斯束建立有一定寬度的波束體層析核函數的層析方法,更加符合客觀的物理規(guī)律。高斯束層析核函數的計算公式由模擬出的高斯束中心射線和高斯束振幅組成,具體計算時在一定近似下將多個高斯束模擬轉換成模擬一個高斯束的計算,從而提高計算效率。確定核函數邊界有利于省略對核函數貢獻較小的高斯束的計算,可進一步提高計算效率。理論分析結果表明,本方法在保持射線類方法高效特點的同時,增強了層析過程的穩(wěn)定性。高斯束層析方法可以應用在不同種類的層析反演中,我們將高斯束層析應用于角度域共成像點道集層析偏移速度分析,用理論模型和實際數據對方法進行了測試。數值實驗結果證明了本文方法的有效性。層析中高斯束初值的選取原則應用于角度成像道集中更為合理,并且角度成像道集層析偏移速度分析中不需兩點射線追蹤,大大提高了層析效率。本文從正演算子的角度提高層析反演的穩(wěn)定性和精度是提高反演質量的重點研究對象之一,加入地質構造約束的先驗信息以實現對反演過程的正則化是另一個工作重點,這也是今后的研究方向之一。

致謝:感謝中國石油化工股份有限公司石油物探技術研究院對WPI研究組及本項研究的支持。

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(編輯:顧石慶)

A velocity tomography algorithm based on Gaussian beam

LI Hui1,2,WANG Huazhong2,LIU Shouwei3

(1.DepartmentofMathematics,TongjiUniversity,Shanghai200092,China;2.Wavephenomenaandinversionimaginggroup(WPI),TongjiUniversity,Shanghai200092,China;3.ShanghaiQingfengZhiyuanGeophysics&GeologyTechnologyCo.Ltd.,Shanghai200093,China)

Ray-based tomography is a much more ill-posed inverse problem than wave equation-based inversion,while the ray method boasts less computation.Compared with the two methods,Gaussian beam tomography can be identified as a compromise with less ill-posed than ray-based tomography and less computation than wave-equation-based tomography.Here we present a Gaussian beam tomography (GBT) approach in which each row of Fréchet matrix becomes a beam body.The principle for selecting the initial condition of Gaussian beam and the scheme for calculating the kernel of GBT are also proposed.Instead,the kernel of conventional ray tomography is just a ray.Specifically,GBT is a more stable algorithm which calls for less regularization than conventional ray tomography.We test GBT with a synthetic data by migration velocity analysis (MVA) on angle domain common image gathers and get a promising result without any regularization.It is proved that the proposed Gaussian beam tomography algorithm is effective from the numerical experiments based on synthetic model and field data.

tomography,Gaussian beam,kernel,beam body,tomographic MVA

2016-11-03;改回日期:2016-12-01。

李輝(1985—),男,博士,主要從事射線及射線束類偏移與反演的研究工作。

王華忠(1964—),男,教授,主要從事地震波傳播、地震數據分析和地震波反演成像方面的研究工作。

國家科技重大專項(2016ZX05024001-006和2016ZX05026001-003)資助。

P631

A

1000-1441(2017)01-00116-10

10.3969/j.issn.1000-1441.2017.01.014

This research is financially supported by the National Science and Technology Major Project of China (Grant Nos.2016ZX05024001-006,2016ZX05026001-003).