田啟華 梅月媛 劉 勇 杜義賢

1.三峽大學(xué)機(jī)械與動力學(xué)院，宜昌,4430022.三峽大學(xué)計算機(jī)與信息學(xué)院，宜昌,443002

基于多階段工作轉(zhuǎn)移矩陣的串行耦合設(shè)計任務(wù)分配策略

田啟華1梅月媛1劉 勇2杜義賢1

1.三峽大學(xué)機(jī)械與動力學(xué)院，宜昌,4430022.三峽大學(xué)計算機(jī)與信息學(xué)院，宜昌,443002

針對串行耦合設(shè)計任務(wù)的團(tuán)隊分配因涉及任務(wù)的返工而導(dǎo)致分配策略相當(dāng)復(fù)雜這一問題，引入多階段工作轉(zhuǎn)移矩陣，將任務(wù)間的耦合關(guān)系以返工量的形式量化，并根據(jù)團(tuán)隊分配衍生矩陣建立串行耦合設(shè)計任務(wù)分配的數(shù)學(xué)模型，簡化了串行耦合設(shè)計任務(wù)的分配過程。利用遺傳算法求解該模型，獲得了不同設(shè)計需求下產(chǎn)品開發(fā)任務(wù)的最佳任務(wù)分配方案。以某電動汽車開發(fā)項目為例，驗證了該模型的可行性和有效性。

串行耦合設(shè)計；多階段工作轉(zhuǎn)移矩陣；任務(wù)分配；設(shè)計團(tuán)隊；遺傳算法

Key works: serial coupling design; multistage work transformation matrix(MWTM); task assignment; design team; genetic algorithm

0 引言

關(guān)于設(shè)計任務(wù)分配的問題，學(xué)術(shù)界進(jìn)行了許多研究。如，BASSET[1]采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法與啟發(fā)式算法，解決了開發(fā)團(tuán)隊的時間與能力最優(yōu)利用問題；包北方等[2]針對設(shè)計任務(wù)分配較少考慮任務(wù)適合度與任務(wù)協(xié)調(diào)效率的問題，建立了產(chǎn)品定制協(xié)同開發(fā)任務(wù)分配多目標(biāo)優(yōu)化模型；武照云[3]針對非耦合集產(chǎn)品開發(fā)過程中的任務(wù)-團(tuán)隊分配策略，提出了基于時序邏輯關(guān)系的動態(tài)分配蟻群優(yōu)化算法；王志亮[4]提出了名義信息進(jìn)化度與有效信息進(jìn)化度的概念，用以解決耦合設(shè)計任務(wù)的分配問題。以上這些研究中，有的僅針對非耦合集設(shè)計任務(wù)建立分配數(shù)學(xué)模型，并不適合解決涉及返工與迭代的復(fù)雜產(chǎn)品開發(fā)的任務(wù)分配問題；有的雖然是針對耦合任務(wù)分配問題，但僅以完成時間長短來衡量設(shè)計任務(wù)分配效果的好壞，評價指標(biāo)過于單一。

傳統(tǒng)耦合設(shè)計任務(wù)分配方法大多是利用馬爾可夫鏈(Markov chain)對串行設(shè)計任務(wù)的執(zhí)行周期進(jìn)行建模分析，并通過返工概率描述任務(wù)之間的交互關(guān)系[4-5]。按照傳統(tǒng)方法思想，設(shè)計任務(wù)耦合迭代的時間只占整個設(shè)計周期的一小部分，總時間的長短更多取決于初始執(zhí)行周期的大小。因此，為了縮短產(chǎn)品研發(fā)時間，只需將任務(wù)分配給執(zhí)行該設(shè)計任務(wù)花費(fèi)時間最少的設(shè)計團(tuán)隊即可。此外，對于任務(wù)數(shù)很多的大容量串行耦合設(shè)計任務(wù)集，馬爾可夫鏈的應(yīng)用會隨著任務(wù)數(shù)的增多而變得更加復(fù)雜。

因此，為綜合考慮設(shè)計團(tuán)隊各項指標(biāo)對設(shè)計活動的影響，并簡化計算模型，本文以工作轉(zhuǎn)移矩陣(work transformation matrix,WTM)來描述耦合設(shè)計過程中的反復(fù)和迭代，并以該矩陣元素值來定量反映設(shè)計任務(wù)之間的耦合程度，提出了一種基于多階段WTM的串行耦合設(shè)計任務(wù)分配策略。

1 基于多階段WTM的串行耦合設(shè)計任務(wù)分配模型的構(gòu)建

1.1 任務(wù)分配模型相關(guān)矩陣的定義

設(shè)計任務(wù)耦合程度的大小體現(xiàn)了設(shè)計任務(wù)依賴關(guān)系的強(qiáng)弱。依賴關(guān)系越強(qiáng)意味著設(shè)計任務(wù)在執(zhí)行過程中需要作越多的假設(shè)，導(dǎo)致設(shè)計任務(wù)存在較大程度的返工，依賴越弱則表示設(shè)計任務(wù)存在較小程度的返工[6-7]，因此，設(shè)計任務(wù)耦合關(guān)系可以通過設(shè)計任務(wù)的返工關(guān)系來反映，用WTM來定量描述耦合程度。

WTM作為設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣(design structure matrix,DSM)的一種擴(kuò)展，可以用來分析設(shè)計過程中的循環(huán)和迭代，并通過耦合任務(wù)間的返工定量描述來估計循環(huán)迭代過程中的時間和成本[8-9]，用W表示。W可以分解成任務(wù)返工量矩陣R和任務(wù)周期矩陣Z兩個單獨(dú)的數(shù)值矩陣[10]，即W=R+Z。以T1、T2兩個設(shè)計任務(wù)為例，假設(shè)每次任務(wù)T1完成后，T2有60%的工作需要重做；而當(dāng)T2完成之后，T1有30%的工作需要重做；T1獨(dú)立完成一次返工工作需要花6個單位時間，而T2獨(dú)立完成一次返工工作則需要花5個單位時間。對應(yīng)的R、Z分別為

其中，Z矩陣中對角元素的取值取決于項目開發(fā)前對設(shè)計任務(wù)的分配。

串行耦合集設(shè)計任務(wù)的分配問題描述如下：產(chǎn)品開發(fā)過程中包含n個任務(wù)，任務(wù)間存在返工，現(xiàn)在需要分配給m個設(shè)計團(tuán)隊完成。設(shè)計團(tuán)隊作為完成設(shè)計任務(wù)的主體，其任務(wù)完成效果指標(biāo)是決定任務(wù)分配的重要依據(jù)。這些指標(biāo)可通過參考該團(tuán)隊對之前類似工作的完成情況得到，并用以下矩陣進(jìn)行描述[4]：

(1)執(zhí)行周期矩陣Pm×n。當(dāng)任務(wù)在進(jìn)行分配前，任務(wù)周期矩陣Z是不確定的，需依據(jù)任務(wù)的分配情況從P中取值，矩陣元素pij表示開發(fā)團(tuán)隊i完成任務(wù)j時的執(zhí)行周期。

(2)團(tuán)隊成本矩陣C1×m。它是一個行矩陣，c1i表示開發(fā)團(tuán)隊i在單位時間內(nèi)消耗的成本。

(3)質(zhì)量指標(biāo)數(shù)矩陣Qm×n。相比時間和成本，質(zhì)量是一個標(biāo)量，因此需要進(jìn)行量化，本文用質(zhì)量指標(biāo)數(shù)[11]表征設(shè)計質(zhì)量，qij表示開發(fā)團(tuán)隊i完成任務(wù)j最終能夠達(dá)到的設(shè)計質(zhì)量水平，qij越小，表示質(zhì)量水平越低；反之，質(zhì)量水平越高；0

耦合設(shè)計任務(wù)是單個任務(wù)的交互集合，任務(wù)本身的性質(zhì)也會對最終的分配結(jié)果造成影響，針對任務(wù)的性質(zhì)引入如下矩陣：

(2)初始工作量矩陣Un×1。Un×1是一個列矩陣，ui1表示任務(wù)i的初始工作量。

(3)任務(wù)分配矩陣Am×n。設(shè)計任務(wù)分配最終結(jié)果是得到設(shè)計團(tuán)隊與任務(wù)的對應(yīng)關(guān)系。為了避免團(tuán)隊之間信息溝通交流額外花費(fèi)時間，這里規(guī)定每個任務(wù)只交由一個設(shè)計團(tuán)隊完成，而一個設(shè)計團(tuán)隊可以完成多項任務(wù)，可用任務(wù)分配矩陣Am×n描述，A是一個[0 1]布爾矩陣，當(dāng)aij=1時，表示設(shè)計團(tuán)隊i被分配給任務(wù)j；aij=0，表示設(shè)計團(tuán)隊i與任務(wù)j無關(guān)。如有3項設(shè)計任務(wù)T1、T2、T3交給2個設(shè)計團(tuán)隊m1、m2完成，現(xiàn)將任務(wù)T1、T3分配給設(shè)計團(tuán)隊m1，將T2分配給設(shè)計團(tuán)隊m2，則對應(yīng)的A為

(4)任務(wù)分配衍生矩陣Dm×n。Dm×n是A的衍生矩陣，當(dāng)執(zhí)行任務(wù)j時，將am×n中j≤n列元素保持不變，其他所有元素變?yōu)?，即得到Dm×n。上例中，若當(dāng)前執(zhí)行任務(wù)為T2，則對應(yīng)的Dm×n為

1.2 任務(wù)分配優(yōu)化模型的構(gòu)建

WTM模型要求所有的耦合任務(wù)并行執(zhí)行，而在實際中有可能出現(xiàn)其中一些任務(wù)由于資源約束或設(shè)計要求的改變等原因需要延遲，并在稍后的過程中才能執(zhí)行。為此，SMITH等[12]進(jìn)一步提出了多階段WTM設(shè)計過程，具體做法是將n個耦合設(shè)計任務(wù)劃分到r(r≤n)個階段中。在第一個階段中，一個有限任務(wù)集的所有任務(wù)并行執(zhí)行；接下來的每個階段所執(zhí)行的任務(wù)均包含兩個部分，即該階段的任務(wù)集和前一階段任務(wù)集的返工。通過上述描述，當(dāng)r=n時，每個階段只需執(zhí)行一個任務(wù)，下一個階段的任務(wù)包括當(dāng)前任務(wù)和前一個任務(wù)的返工。此時任務(wù)的執(zhí)行過程與串行迭代經(jīng)典模型——馬爾可夫鏈模型(圖1)描述一致。因此，當(dāng)r=n時，用多階段的WTM設(shè)計迭代模型解決串行耦合集設(shè)計任務(wù)的團(tuán)隊分配問題是可行的。

圖1 具有3個任務(wù)的馬爾可夫鏈模型Fig.1 Markov chain model with three tasks

根據(jù)多階段WTM推斷出第一階段任務(wù)執(zhí)行所需時間：

T1=‖Z[I-K1RK1]-1K1U‖1

其中，I為n×n維的單位矩陣;K1為第一階段的任務(wù)分布矩陣，是一個n×n矩陣，其中的元素定義如下：

第二階段任務(wù)執(zhí)行所需時間：

T2=‖Z[I-K2RK2]-1(K2-K1)U‖1

其中，K2為第二階段的任務(wù)分布矩陣，其中的元素定義如下：

進(jìn)而可以推斷出第i階段任務(wù)執(zhí)行所需時間為

Ti=‖Z[I-KiRKi]-1(Ki-Ki-1)U‖1

其中，Ki為第i階段的任務(wù)分布矩陣，其中的元素定義如下：

上述各階段Ti表達(dá)式中，Z=diag((Pm1,Dm1),(Pm2,Dm2),…,(Pmj,Dmj),…,(Pmn,Dmn))，其中，Pmj、Dmj分別表示Pm×n、Dm×n的第j列元素，(Pmj,Dmj)表示Pm×j與Dm×j的內(nèi)積。

則各階段所有任務(wù)的執(zhí)行時間T為

(1)

根據(jù)D、C以及每個階段的設(shè)計時間Ti，可以計算出整個產(chǎn)品開發(fā)過程中所需的設(shè)計成本：

(2)

根據(jù)Q、V、A，可以得到最終產(chǎn)品的設(shè)計質(zhì)量指標(biāo)數(shù)Q，用來評價整個產(chǎn)品的設(shè)計質(zhì)量，其中

Q=V× [(Qm1,Am1) (Qm2,Am2) …
(Qmj,Amj) … (Qmn,Amn)]T

(3)

式中，(Qmj,Amj)為Qm×n與Am×n第j列元素的內(nèi)積。

本文涉及的關(guān)于時間、成本、質(zhì)量的優(yōu)化屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題，三者均是評價分配方案優(yōu)劣的重要指標(biāo)。從實際效果上來講，當(dāng)然要求時間(T)越短越好，成本(C)越低越好，質(zhì)量(Q)越高越好。然而，要使多個指標(biāo)同時達(dá)到最優(yōu)一般是不可能的，比如說成本和質(zhì)量，想要獲得更高的質(zhì)量往往意味著投入更多的成本。本文采用多目標(biāo)優(yōu)化方法中的ε-目標(biāo)法[13]對模型進(jìn)行優(yōu)化。ε-目標(biāo)法是選擇眾多優(yōu)化目標(biāo)中的一個為主要優(yōu)化目標(biāo)，再根據(jù)需求對其他優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行評估，得到一個可接受范圍，作為優(yōu)化模型的約束條件來求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。依據(jù)式(1)～式(3)可以分別建立如下三個優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

(1)以時間為優(yōu)化目標(biāo)，成本和質(zhì)量為約束條件建立任務(wù)分配數(shù)學(xué)模型

(4)

(2)以成本為優(yōu)化目標(biāo)，時間和質(zhì)量為約束條件建立任務(wù)分配數(shù)學(xué)模型

(5)

(3)以質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，時間和成本為約束條件建立任務(wù)分配數(shù)學(xué)模型

(6)

式(4)～式(6)中，T、C、Q分別為時間、成本、質(zhì)量的設(shè)計變量，T1、T2、C1、C2、Q1、Q2分別表示根據(jù)不同的設(shè)計需求確定的設(shè)計時間、設(shè)計成本、設(shè)計質(zhì)量的范圍。

2 基于遺傳算法的任務(wù)分配模型的求解

在建立串行耦合集設(shè)計任務(wù)分配的數(shù)學(xué)模型之后，關(guān)鍵問題就是如何對這一模型進(jìn)行有效的求解。對于任務(wù)數(shù)為n、設(shè)計團(tuán)隊數(shù)為m的設(shè)計任務(wù)分配問題，分配方案共有mn種，隨著m、n的增大，分配方案的數(shù)量呈指數(shù)級增長。由于復(fù)雜產(chǎn)品的設(shè)計任務(wù)分配過程中n、m的取值一般很大，更加擴(kuò)大了最佳分配方案的搜索空間，若采用普通啟發(fā)式算法進(jìn)行搜索，結(jié)果往往需要等待很長時間?？紤]到遺傳算法作為模擬生物環(huán)境中遺傳和進(jìn)化過程而形成的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法，無論在搜索空間還是在搜索效率上都有很大改進(jìn)，并且在一些離散優(yōu)化問題，如工程調(diào)度問題、旅行商問題(TSP)的求解過程中得到了有效的應(yīng)用[14]，因此本文采用遺傳算法解決串行耦合集設(shè)計任務(wù)的分配問題。具體操作步驟如圖2所示。

圖2 任務(wù)分配模型遺傳算法的實現(xiàn)過程Fig.2 Implementation process of task assignment model based on genetic algorithm

首先，根據(jù)設(shè)計需求選擇相應(yīng)的優(yōu)化模型，然后對解決問題的模型準(zhǔn)備一批表示起始搜索點(diǎn)的初始任務(wù)分配方案G，每個分配方案代表一個編碼的染色體，染色體的長度表示耦合集的任務(wù)數(shù)，每個編碼位表示設(shè)計團(tuán)隊的編號，利用選擇、交叉、變異3種方式對這個初始群體G進(jìn)行遺傳操作，實現(xiàn)分配方案的優(yōu)化，得到新一代群體G+1，接下來遺傳算法會依據(jù)適應(yīng)度函數(shù)、任務(wù)分配目標(biāo)與約束條件對新一代種群進(jìn)行評價，并判斷終止條件[15]，若不滿足終止條件，則重復(fù)以上過程進(jìn)行迭代計算，若滿足，則輸出最佳的任務(wù)分配方案。

然后，應(yīng)用MATLAB軟件將建立的3個基于多階段WTM任務(wù)分配數(shù)學(xué)模型(式(4)～式(6))分別轉(zhuǎn)化成遺傳算法的主程序，并根據(jù)串行耦合集設(shè)計任務(wù)分配的特點(diǎn)，參考旅行商問題(TSP)對應(yīng)的遺傳算法代碼，編寫初始化、選擇、交叉、變異、適應(yīng)度評價等對應(yīng)的MATLAB程序，用以實現(xiàn)最佳分配方案的尋優(yōu)。

3 應(yīng)用分析

在耦合設(shè)計任務(wù)中，某些任務(wù)的開展需依賴其他任務(wù)提供的信息，因此設(shè)計項目要按照嚴(yán)格的序列執(zhí)行，即串行執(zhí)行。電動汽車的開發(fā)是典型的串行開發(fā)項目。本文以某電動汽車開發(fā)項目為例，驗證了基于多階段WTM的串行耦合集設(shè)計任務(wù)分配模型對獲得最佳團(tuán)隊分配策略的可行性和有效性。

3.1 問題描述

對該電動汽車的設(shè)計開發(fā)過程進(jìn)行分析，可以將該過程簡化為8個設(shè)計任務(wù)[16]，包括：結(jié)構(gòu)大小與動力學(xué)特性計算(T1)、馬達(dá)規(guī)格選擇(T2)、整體重量計算(T3)、存儲能量需求設(shè)計(T4)、電池大小與重量設(shè)計(T5)、速度與加速度比率設(shè)計(T6)、速度與加速度規(guī)格設(shè)計(T7)和結(jié)構(gòu)與支撐設(shè)計(T8)，可以將電動汽車的開發(fā)過程簡化處理后得到一個8×8的串行耦合設(shè)計任務(wù)系統(tǒng)，整個項目按照T1—T2—T3—T4—T5—T6—T7—T8的順序執(zhí)行。

根據(jù)對該電動汽車的設(shè)計分析，確定任務(wù)的返工量矩陣(R)、質(zhì)量權(quán)重矩陣(V)如下：

V=[0.15 0.10 0.10 0.15 0.15 0.10 0.15 0.10]

矩陣R中元素值量化了該電動汽車設(shè)計過程中各個設(shè)計任務(wù)之間耦合關(guān)系的強(qiáng)弱。其中，元素值為非0表示任務(wù)之間存在耦合關(guān)系，其值越大表明設(shè)計任務(wù)之間耦合關(guān)系越強(qiáng)；元素值為0則表示設(shè)計任務(wù)之間沒有耦合關(guān)系。

根據(jù)實際情況，將上述8個設(shè)計任務(wù)分配給6個設(shè)計團(tuán)隊(m1、m2、m3、m4、m5、m6)。每個團(tuán)隊對每個任務(wù)的完成效果不同，表示設(shè)計團(tuán)隊各項指標(biāo)的矩陣P、C、U、Q如下：

C=[252225212324]

3.2 問題求解

按照本文串行耦合設(shè)計任務(wù)的分配思想：執(zhí)行周期長短、設(shè)計成本高低和設(shè)計質(zhì)量好壞等因素均可以描述電動汽車開發(fā)任務(wù)分配方案的好壞，因此需要綜合考慮。限于篇幅，本文選取設(shè)計成本為評價指標(biāo)進(jìn)行說明。此時的任務(wù)分配問題可以描述為：怎樣將任務(wù)分配給設(shè)計團(tuán)隊才能滿足設(shè)計時間和設(shè)計質(zhì)量的要求，同時使整個設(shè)計項目的總成本最低。根據(jù)以往完成類似工作的經(jīng)驗，任務(wù)分配后完成時間必須在20～35天內(nèi)，設(shè)計質(zhì)量指標(biāo)數(shù)要達(dá)到0.95以上，即將設(shè)計時間限定在[20,35]區(qū)間內(nèi)，設(shè)計質(zhì)量指標(biāo)限定在[0.95,1)區(qū)間內(nèi)。按照優(yōu)化目標(biāo)和約束條件，選取式(5)模型按照圖2所示的流程進(jìn)行求解，將設(shè)計任務(wù)個數(shù)8設(shè)置為染色體的長度，設(shè)計團(tuán)隊編碼用1～6的正整數(shù)表示，適應(yīng)度函數(shù)取個體的設(shè)計成本。選擇算子選用的是隨機(jī)遍歷抽樣運(yùn)算，交叉運(yùn)算使用單點(diǎn)交叉算子，變異運(yùn)算使用均勻變異的算法，根據(jù)任務(wù)分配方案可行解的大小將種群的數(shù)量設(shè)置為200，終止代數(shù)、交叉概率、變異概率分別設(shè)置為20、0.7、0.06[15]。

運(yùn)行式(5)模型對應(yīng)的MATLAB遺傳算法程序，得到最優(yōu)個體函數(shù)值曲線如圖3所示。圖4表示滿足相同設(shè)計需求下最差個體函數(shù)值曲線。

圖3 各代最優(yōu)個體設(shè)計成本Fig.3 The best individual design costs of generations

最優(yōu)個體對應(yīng)的團(tuán)隊分配矩陣A為

圖4 各代最差個體設(shè)計成本Fig.4 The worst individual design costs of generations

3.3 結(jié)果分析

對本文建立的模型進(jìn)行求解，從圖3可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，項目的開發(fā)成本逐漸降低，最優(yōu)個體出現(xiàn)在第12代，之后的代數(shù)成本保持不變，說明采用遺傳算法尋優(yōu)是有效的。從所得到的矩陣A可以看出最后得到的任務(wù)分配方案為：任務(wù)T1、T6分配給團(tuán)隊m5，任務(wù)T2、T3和T8分配給設(shè)計團(tuán)隊m4，任務(wù)T4、T5、T7分別分配給團(tuán)隊m1、m2、m3，而團(tuán)隊m6將不參與此次設(shè)計任務(wù)，對應(yīng)的設(shè)計成本為632.41萬元。而從圖4中可以得到相同設(shè)計需求下設(shè)計成本的最大值為855.15萬元。比較兩種方案對應(yīng)的效果，最小設(shè)計成本相比于最大設(shè)計成本減小了34.7%。本文通過分別選擇式(4)、式(6)模型對項目的設(shè)計時間和設(shè)計質(zhì)量進(jìn)行方案尋優(yōu)，也得到類似的結(jié)論。

4 結(jié)語

本文通過引入多階段WTM建立任務(wù)分配模型，并通過構(gòu)建任務(wù)分配衍生矩陣，得到了串行耦合集設(shè)計任務(wù)分配的有效數(shù)學(xué)模型。該方法不僅簡化了串行耦合集設(shè)計任務(wù)的分配計算過程，還考慮了設(shè)計團(tuán)隊的多項指標(biāo)對串行耦合設(shè)計任務(wù)分配效果的影響。實例應(yīng)用分析結(jié)果表明該任務(wù)分配策略是可行且有效的。在實際產(chǎn)品開發(fā)中，項目管理者應(yīng)用該方法，可以對串行耦合產(chǎn)品設(shè)計的最終完成效果進(jìn)行預(yù)先分析，因而提高了對產(chǎn)品開發(fā)結(jié)果的可預(yù)見性，為進(jìn)行設(shè)計任務(wù)分配提供了更為科學(xué)的理論依據(jù)。

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(編輯 王艷麗)

Task Assignment Strategy for Serial Coupling Product Design Based on MWTM

TIAN Qihua1MEI Yueyuan1LIU Yong2DU Yixian1

1.College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang,Hubei,443002 2.College of Computer and Information Technology, China Three Gorges University, Yichang,Hubei,443002

The task assignment strategy for serial coupling product design, which involved the rework of tasks, was very complex. To solve the problem, the MWTM was introduced to quantify the coupling relations among the tasks in rework amounts. Based on the task assignment derivative matrix, a model of the task assignment for serial coupling product design was built. This model was solved by genetic algorithm and so the optimal task assignment strategy of product design might be obtained for different design requirements. Taking the development of an electric car as an example, validity and feasibility of this model were proved.

2016-04-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(51475265)

TH122;TP391

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.05.013

田啟華，男，1962年生。三峽大學(xué)機(jī)械與動力學(xué)院教授、博士。主要研究方向為機(jī)械設(shè)計及理論、CAD/CAM/CAE等。發(fā)表論文70余篇。梅月媛，女，1991年生。三峽大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院碩士研究生。劉 勇，男，1975年生。三峽大學(xué)計算機(jī)與信息學(xué)院教授、博士。杜義賢，男，1978年生。三峽大學(xué)機(jī)械與動力學(xué)院副教授、博士。