楊旭娟 徐光恒 李宇龍 李兆軍

(1. 廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；2. 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧 530004；3. 廣西高校臨海機(jī)械裝備設(shè)計(jì)制造及控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，廣西 欽州 535000)

基于流固耦合作用的上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓解析動(dòng)力學(xué)建模

楊旭娟1,2,3徐光恒1,2李宇龍1,2,3李兆軍1,2,3

(1. 廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；2. 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧 530004；3. 廣西高校臨海機(jī)械裝備設(shè)計(jì)制造及控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，廣西 欽州 535000)

以上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓為研究對(duì)象，應(yīng)用有限單元法將轉(zhuǎn)鼓壁劃分為板單元，將糖膏劃分為三棱柱單元，充分考慮轉(zhuǎn)鼓和糖膏的流固耦合作用，建立反映轉(zhuǎn)鼓與糖膏流固耦合關(guān)系的解析動(dòng)力學(xué)模型，比較轉(zhuǎn)鼓在考慮流固耦合作用下和不考慮流固耦合作用的振動(dòng)模態(tài)，分析流固耦合對(duì)轉(zhuǎn)鼓振動(dòng)模態(tài)的影響。研究表明，所建上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓解析動(dòng)力學(xué)模型反映了系統(tǒng)參數(shù)與其動(dòng)態(tài)性能之間的內(nèi)在關(guān)系。同時(shí)，由于考慮系統(tǒng)的流固耦合特性，增加了附加質(zhì)量矩陣，從而對(duì)系統(tǒng)的固有頻率產(chǎn)生重要影響，為了避免轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，確定系統(tǒng)的工作頻率范圍時(shí)，應(yīng)該考慮流固耦合作用的影響。

上懸式離心機(jī)；振動(dòng)特性；流固耦合；轉(zhuǎn)鼓；解析動(dòng)力學(xué)模型；有限元

上懸式離心機(jī)作為制糖企業(yè)的核心設(shè)備，是一種利用離心力將固體和液體分離的旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備。在制糖工業(yè)中，其主要功能是將蔗糖晶體與糖膏分離。為了提高工作效率，需要提高離心機(jī)轉(zhuǎn)速；而隨著轉(zhuǎn)速的提高，離心機(jī)的振動(dòng)問題就越發(fā)嚴(yán)重，導(dǎo)致事故頻發(fā)[1-2]。因而深入開展上懸式離心機(jī)振動(dòng)特性的研究對(duì)確保制糖設(shè)備安全高效運(yùn)行是十分必要的。

目前，學(xué)者們對(duì)上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了廣泛的研究。例如，ANGHEL C I[3]對(duì)離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓進(jìn)行了應(yīng)力分析，并研究了引起應(yīng)力集中的決定因素；李建明等[4]運(yùn)用有限元分析法，采用無(wú)量綱理論對(duì)錐形轉(zhuǎn)鼓和法蘭連接處的應(yīng)力進(jìn)行分析；藍(lán)永庭等[5]運(yùn)用Ansys軟件對(duì)包含孔結(jié)構(gòu)的離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓進(jìn)行強(qiáng)度分析，建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型對(duì)轉(zhuǎn)鼓結(jié)構(gòu)及工藝設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化；李巖舟等[6]運(yùn)用Ansys軟件對(duì)上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓在滿負(fù)荷工況下進(jìn)行強(qiáng)度分析，并對(duì)轉(zhuǎn)鼓壁厚進(jìn)行優(yōu)化；蒙文[7]運(yùn)用Ansys軟件采用三維有限元法分析加強(qiáng)箍分布參數(shù)、截面參數(shù)以及過盈量對(duì)轉(zhuǎn)鼓應(yīng)力的影響；Park等[8]建立了水平旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)鼓的簡(jiǎn)化離散有限元模型，并進(jìn)行了離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓的動(dòng)態(tài)性能及優(yōu)化，針對(duì)轉(zhuǎn)鼓的填充率、轉(zhuǎn)速、摩擦系數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響做了參數(shù)化分析。

學(xué)者們多年的研究為上懸式離心機(jī)的安全穩(wěn)定工作起到了非常重要的推動(dòng)作用。但這些研究多是基于軟件對(duì)離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓進(jìn)行建模和分析，難以反映轉(zhuǎn)鼓動(dòng)態(tài)性能與其結(jié)構(gòu)參數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。已有的研究均未考慮轉(zhuǎn)鼓和糖膏的流固耦合關(guān)系。而流固耦合動(dòng)力學(xué)問題的研究已是很多工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，如水輪機(jī)的流固耦合動(dòng)力學(xué)研究[9]，船體與水的流固耦合振動(dòng)問題研究[10]，儲(chǔ)液容器的流固耦合動(dòng)力學(xué)問題研究等[11]。流體與固體之間的流固耦合作用直接影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，并最終影響系統(tǒng)的安全、可靠運(yùn)行。糖膏屬于流體，在離心機(jī)實(shí)際的運(yùn)行過程中，糖膏和流體之間也存在相互作用的流固耦合作用。因此，有必要建立考慮流固耦合作用的上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓解析動(dòng)力學(xué)模型。

本研究擬以上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓為研究對(duì)象，應(yīng)用有限元法建立轉(zhuǎn)鼓—糖膏系統(tǒng)的流固耦合解析動(dòng)力學(xué)模型，并在該動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上分析流固耦合作用對(duì)轉(zhuǎn)鼓振動(dòng)模態(tài)的影響。

1 考慮流固耦合的上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓解析動(dòng)力學(xué)模型

1.1 位移模式

上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓壁厚相對(duì)于轉(zhuǎn)鼓直徑較小，在分析中，將轉(zhuǎn)鼓壁視為薄殼，采用三角形板單元將轉(zhuǎn)鼓壁劃分單元，見圖1。

圖1板單元上任意點(diǎn)沿x方向的位移u(x,y,t)，沿y方向的位移v(x,y,t)，沿z方向的位移w(x,y,t)可分別表示為：

(1)

其中，Nui、Nvi、Nwi為單元型函數(shù)。

1，2，3表示單元節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)u、v、w 3個(gè)位移，xyz為單元坐標(biāo)系

1.2 單元?jiǎng)幽?/p>

單元的動(dòng)能可表示為：

(2)

式中：

T——轉(zhuǎn)鼓板單元的動(dòng)能，J；

ρ(x,y)——材料質(zhì)量密度，kg/m3；

h——板殼單元厚度，m。

將式(1)代入式(2)，忽略剛體運(yùn)動(dòng)與彈性運(yùn)動(dòng)的耦合項(xiàng)，將動(dòng)能表示成二次型的形式得

(3)

式中：

N——轉(zhuǎn)鼓壁板單元形函數(shù)矩陣，由轉(zhuǎn)鼓的形狀幾何參數(shù)確定，且

N=

1.3 單元?jiǎng)菽?/p>

在一般彈性理論中，忽略u(píng)、v二階導(dǎo)數(shù)非線性項(xiàng)，而保留一階導(dǎo)數(shù)非線性項(xiàng)，有非線性位移—應(yīng)變關(guān)系：

(4)

將式(1)代入位移—應(yīng)變關(guān)系式(4)，整理得應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式為：

(5)

式中：

ε ——應(yīng)變；

S0——應(yīng)變矩陣，反映了應(yīng)變與位移之間的關(guān)系；

且ε=[εx,εy,γxy]T；

S1=[1,0,0]T,S2=[0,1,0]T,S3=[0,0,1]T；

由應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

σ=Dε，

(6)

式中：

σ——應(yīng)力；

D——彈性矩陣。

式(6)反映了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。

考慮單元的彈性變形能和流體壓能，單元的總勢(shì)能為：

(7)

式中：

p(x,y,z,t)——任意點(diǎn)糖膏流體的壓強(qiáng)，Pa；

u——位移向量，u=[u v w]T；

ns——單元表面法向向量。

假設(shè)糖膏在轉(zhuǎn)鼓內(nèi)做定常流動(dòng)，由計(jì)算流體力學(xué)，流體域壓強(qiáng)分布可表示為：

(8)

式中：

n——流體單元節(jié)點(diǎn)數(shù)；

NL——流體單元形函數(shù)矩陣；

pp——節(jié)點(diǎn)壓強(qiáng)向量。

由式(1)和式(8)可得：

(9)

式中：

ρf——糖膏質(zhì)量密度，kg/m3。

根據(jù)變分原理，可得流體—結(jié)構(gòu)耦合關(guān)系[12]529-531：

(10)

式中：

NL——流體單元形函數(shù)。

考慮到糖膏厚度比轉(zhuǎn)鼓壁厚度大得多，有一定的厚度，為了與實(shí)際情況更為相符，采用6節(jié)點(diǎn)線性三棱柱單元將糖膏劃分單元，見圖2。

為了表示三棱柱單元的型函數(shù)，在平行于棱邊的方向用坐標(biāo)ζ，在垂直于棱邊的三角平面內(nèi)用面積坐標(biāo)Li，且

(11)

式中：

L1,L2,L3——面積坐標(biāo)。

圖2 糖膏三棱柱單元Figure 2 Fillmass three prism unit

將式(5)、(6)和(9)代入式(7)，聯(lián)立式(10)，并忽略轉(zhuǎn)鼓勢(shì)能表達(dá)式中的幾何項(xiàng)后可得轉(zhuǎn)鼓板單元的勢(shì)能為：

(12)

式中：

1.4 單元運(yùn)動(dòng)微分方程

應(yīng)用拉格朗日方程：

(13)

式中：

F——外加載荷的廣義力向量；

q——轉(zhuǎn)鼓單元受到的與其相聯(lián)結(jié)的單元對(duì)其的作用力向量。

得到不考慮阻尼情況下單元的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(14)

式中：

1.5 總體方程

將轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)沿周向等分為8個(gè)部分，其中每個(gè)部分的單元?jiǎng)澐忠妶D3，每個(gè)部分轉(zhuǎn)鼓壁由4個(gè)三角形板單元組成(單元節(jié)點(diǎn)為9，10，17，18，25，26)，下底板(單元節(jié)點(diǎn)為1，2，9，10)和上擋液板(單元節(jié)點(diǎn)為25，26，33，34)分別由兩個(gè)三角形板單元組成，糖膏由4個(gè)三棱柱單元組成(單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1，2，9，10，17，18，25，26，33，34，41，42)。

設(shè)B為轉(zhuǎn)鼓單元局部編號(hào)與系統(tǒng)編號(hào)間的坐標(biāo)協(xié)調(diào)矩陣，R為轉(zhuǎn)鼓單元坐標(biāo)與整體坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換矩陣。采用粘滯阻尼理論來(lái)近似估計(jì)阻尼的影響，以整體進(jìn)行編號(hào)的轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)廣義坐標(biāo)向量為U，則轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(15)

式中：

圖3 轉(zhuǎn)鼓有限元模型Figure 3 The finite element model of the drum

M、C、K——分別為轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣；

F——廣義力向量；

M0——轉(zhuǎn)鼓壁質(zhì)量矩陣；

且M=BTRT(m+m′)RB，M0=BTRTmRB，K=BTRTkRB。

從方程(15)的推導(dǎo)過程可見，其中K包含系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，M包含轉(zhuǎn)鼓壁質(zhì)量矩陣和考慮糖膏流體產(chǎn)生的附件質(zhì)量矩陣，不僅包含轉(zhuǎn)鼓的材料密度和轉(zhuǎn)鼓的結(jié)構(gòu)參數(shù)，還包含流體的密度和流體的結(jié)構(gòu)參數(shù)等，該解析動(dòng)力學(xué)方程不僅反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能與其系統(tǒng)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，還反映了系統(tǒng)的流固耦合特性。

1.6 模態(tài)分析

模態(tài)分析反映的是系統(tǒng)的固有特性，在方程(15)的基礎(chǔ)上，不考慮系統(tǒng)的阻尼和激勵(lì)，可得上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(16)

假設(shè)系統(tǒng)做同步簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則其解可表示為：

U=Asin(ωt+φ)，

(17)

式中：

ω——系統(tǒng)的固有頻率，rad/s；

A——系統(tǒng)的模態(tài)矢量。

將式(17)帶入式(16)，根據(jù)可解性條件，可得系統(tǒng)的頻率方程為：

(18)

通過求解方程(18)即可得到系統(tǒng)各階的固有頻率。

2 實(shí)例分析

以某大型上懸式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓為研究對(duì)象，主要結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)及離心機(jī)工作參數(shù)見表1，將這些參數(shù)帶入到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的計(jì)算中可得剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，通過求解方程(18)即可得到系統(tǒng)各階固有頻率。進(jìn)而通過仿真計(jì)算可得流固耦合作用對(duì)轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)固有頻率的影響。

表2為轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)在考慮流固耦合作用下和不考慮流固耦合作用下的前8階固有頻率計(jì)算結(jié)果，其中η為糖膏流固耦合作用對(duì)轉(zhuǎn)鼓固有頻率的影響系數(shù)，且

η=fs/fa，

(19)

式中：

fa——轉(zhuǎn)鼓不考慮流固耦合作用下的固有頻率，Hz；

fs——轉(zhuǎn)鼓考慮流固耦合作用的固有頻率，Hz。

由表2可知，考慮轉(zhuǎn)鼓和糖膏的流固耦合作用將使系統(tǒng)的固有頻率顯著下降，由轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)在流固耦合作用下與不考慮流固耦合作用的前8階固有頻率比較可知，工作狀態(tài)下，系統(tǒng)在流固耦合作用下的固有頻率較小，且流固耦合作用的影響系數(shù)為0.7左右。因此，為了避免轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)產(chǎn)生共振現(xiàn)象，確定系統(tǒng)的工作頻率范圍時(shí)，應(yīng)該考慮流固耦合作用對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響。

3 結(jié)論

本研究建立了上懸式離心機(jī)流固耦合解析動(dòng)力學(xué)模型，該模型不僅包含系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而且還包含系統(tǒng)的流體參數(shù)，不僅反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能與其系統(tǒng)參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，還反映了系統(tǒng)的流固耦合特性。由于考慮系統(tǒng)的流固耦合特性，系統(tǒng)增加了附加質(zhì)量矩陣。系統(tǒng)的前8階固有頻率較不考慮流固耦合作用時(shí)均有下降，最大降幅將近30%，可見考慮流固耦合特性對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)有重要影響。這將為進(jìn)一步研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

表1 離心機(jī)參數(shù)表Table 1 Parameters of the centrifuge

表2 轉(zhuǎn)鼓系統(tǒng)前8階固有頻率Table 2 Natural frequencies of the drum

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Analytical dynamic modeling of a top-suspended centrifuge drum with consideration of Fluid-Structure Interaction

YANG Xu-juan1,2,3XUGuang-heng1,2LIYu-long1,2,3LIZhao-jun1,2,3

(1.GuangxiKeyLaboratoryofManufacturingSystem&AdvancedManufacturingTechnology,Nanning,Guangxi530004,China; 2.SchoolofMechanicalEngineering,GuangxiUniversity,Nanning,Guangxi530004,China; 3.GuangxiCollegesandUniversitiesKeyLaboratoryBreedingBaseofCoastalMechanicalEquipmentDesign,ManufacturingandControl,QinzhouUniversity,Qinzhou,Guangxi535000,China)

A top-suspended centrifuge drum was studied with consideration of fluid-structure interaction of the drum and massecuite. The analytical dynamic model was built by finite element method, and a triangle plate element was used to build the basket wall. Moreover, the triangular prism element of six nodes was also utilized to build the massecuite. Therefore, the natural frequencies with and without consideration of fluid-structure interaction and the natural frequencies were obtained respectively. The results showed that the natural frequencies with consideration of fluid-structure interaction were smaller than that without this consideration.

top-suspended centrifuge; vibration characteristics; fluid-structure interaction; drum; analytical dynamic model; finite element method

廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任基金項(xiàng)目(編號(hào)：13-051-09S08)；廣西高?？蒲谢痦?xiàng)目資助(編號(hào)：YB2014011)；廣西高校臨海機(jī)械裝備設(shè)計(jì)制造及控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地開放課題基金資助(編號(hào)：GXLH2014KF-02)

楊旭娟(1983—)，女，廣西大學(xué)副教授，博士。 E-mail: yxj413@163.com

2016—06—04

10.13652/j.issn.1003-5788.2017.01.016