江蘇省姜堰中等專業(yè)學校 (225500) 孫春扣 陳 宇

一道2015年四川賽區(qū)預賽題推廣

江蘇省姜堰中等專業(yè)學校 (225500) 孫春扣 陳 宇

2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川賽區(qū)預賽第15題：

證明：(1)直線l與雙曲線只有一個交點；

(2)⊿OAB的面積為定值.

經(jīng)過探究，筆者發(fā)現(xiàn)，這道賽題可以推廣到一般形式.即

證明：(1)直線l與雙曲線C只有一個交點；

(2)⊿OAB的面積為定值.

證明：當點P(x0,y0)為右支上任意一點時，

設過點P(x0,y0)的直線l的斜率為k.

(*)與①的斜率相同，且同過P(x0,y0)，可見(*)與①表示同一直線.即直線l為雙曲線上過P(x0,y0)處的切線(這里若依參考答案的解法，則較繁).∴直線l與雙曲線只有一個交點.

(2)ⅰ)當k不存在時，由(1)ⅰ)可知|OA|·

當a=1,b=2時，即為原賽題.

當然，由上述推廣所得之結論，令a=1,b=2，亦可驗證文[1]的參考答案(2)是錯誤結果—這顯然是計算錯誤.

進而，推廣之問題(1)存在逆命題.

同理yA+yB=2y0,∴P為AB的中點.(這里，直線l與雙曲線C的實軸是否垂直，均已包含于上述證明中.當y0=0時，k不存在，直線l的方程為x=x0=a).

且此時不影響問題(2)的成立—即⊿OAB的面積為定值.

在圓錐曲線中，漸近線為雙曲線所獨有.故此充要條件亦為雙曲線所獨有.不可類比到橢圓和拋物線.

[1]2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川賽區(qū)預賽.中等數(shù)學,2016,7.