閆博文 黃 俊 劉志勤 王耀彬

西南科技大學計算機科學與技術學院，四川綿陽 621000

隨著航空航天技術的發(fā)展和國防科技的需求，飛行器的外形設計越來越受關注，飛行器設計的第一步便是外形參數(shù)化，它的優(yōu)劣程度對于飛機設計的成功與否有著至關重要的影響，直接影響著總體項目的進度。一個好的參數(shù)化方法應該具備以下特性：1)較大的尋優(yōu)空間；2)良好的局部控制能力，以及較少的設計變量；3)保證在優(yōu)化過程中飛機的幾何外形是光滑的[1-2]。

Kulfan和Bussoletti提出了一種比較優(yōu)秀的參數(shù)化方法：CST技術。CST技術同時使用類別函數(shù)與形狀函數(shù)來對外形進行控制，類別函數(shù)(Class Function)生成幾何圖形的基本外形，再通過形狀函數(shù)(Shape Function)對這個基本的幾何圖形進行修正，從而得到所需要的幾何外形。因該技術具有設計變量少，可調(diào)節(jié)，設計空間廣，可產(chǎn)生光滑的幾何外形，以及較好的魯棒性等優(yōu)點而被廣泛應用在飛行器外形參數(shù)化的設計中[3-5]。由于Bezier多項式對局部幾何特性描述能力不足，王迅等人提出了使用B樣條函數(shù)替代Bezier多項式構造形函數(shù)的改進方法，以提高對外形的局部描述能力[6]，因為B樣條方法在數(shù)據(jù)的擬合、平滑和插值等方面有良好的效果，所以在階數(shù)較小的情況下，該方法確實起到了優(yōu)化作用。但B樣條基函數(shù)為分段函數(shù)，無法使用統(tǒng)一的解析式表達，大多使用迭代方法求值，會出現(xiàn)多次重復計算，隨著階數(shù)的增加，計算量也急劇增加，文獻[6]也只采用了3階來進行證明。因此，只有解決B樣條在高階數(shù)計算量大的問題，找出一種快速求解的算法，提高運算效率，才能讓B樣條改進CST方法發(fā)揮出更大的價值。因此，本文主要研究B樣條基函數(shù)快速求值改進CST算法。

1 B樣條替代Bezier多項式建模

1.1 B樣條基函數(shù)定義

B樣條的基函數(shù)有許多定義方法，它們中最被大家廣泛認可的是de Boor-Cox遞推定義法，因為de Boor-Cox遞推定義充分展示了B樣條基函數(shù)的性質(zhì)，并給出了明確的B樣條基函數(shù)遞推求解算法，故本文將其作為B樣條基函數(shù)的標準定義[7]。

基函數(shù)定義：

(1)

1.2 替代Bezier多項式的CST方法建模

一般機翼的CST方法數(shù)學表達式：

(2)

(3)

修改后的B樣條基函數(shù)CST公式對求解時出現(xiàn)的病態(tài)現(xiàn)象有很大的緩解，求解更加穩(wěn)定，具有很好的局部描寫能力。

2 B樣條基函數(shù)快速求值算法

2.1 de Boor-Cox算法弊端

在實際計算B樣條時,往往不需要將整個B樣條數(shù)值全部計算出來，有時只需要計算某一參數(shù)值處的B樣條基函數(shù)。由B樣條局部支撐性質(zhì)，可知當參數(shù)u∈[ui,ui+1),只需計算出Nm,k(u),m=i-k,i-k+1,…,i；而其他k次B樣條在該處均為0。

圖1 B樣條基函數(shù)運算路徑

圖1中，B樣條基函數(shù)計算過程已用虛線三角形標出，可以直觀的看到，每一個基函數(shù)不僅依賴于它下一層相鄰的2個基函數(shù)，而且還影響它上一層相鄰的2個基函數(shù)。顯然，式(1)的計算方法并不能充分利用這種網(wǎng)格結構，存在大量的重復計算，例如2個虛線三角形重疊的部分就是重復計算的部分，故而要加快B樣條基函數(shù)求解效率就要從這里著手。

2.2 準備工作

為后續(xù)闡述B樣條基函數(shù)快速求值首先定義一種向量擴展算法。

Zj=Nj+Qj-1-Qj

(4)

這種遞推式的運算有利于使用計算機運算，稱定義3給出的運算為向量遞推擴展運算。

2.3 快速求解算法證明[8]

首先，對將要使用的符號進行說明：

Nj,m(u):表示m次B樣條第j個樣條基函數(shù)，其中，m=0,1,2,…,k；j=1,2,3；

(5)

證明B樣條基函數(shù)快速求值前，還需證明引理1。

根據(jù)定義2的向量擴展運算法，則有：

(6)

其中：0≤j≤m，規(guī)定向量下標溢出時對應元素置0。

(7)

再由定義(1)可知：

定理1提供了實現(xiàn)B樣條基函數(shù)求值的向量遞推擴展方法。其計算路徑如圖2。由圖2可知，B樣條基函數(shù)向量擴展快速求值方法正是一種網(wǎng)狀計算結構，它是以1維的單位向量{[1]}為主向量，通過遞推擴展，實現(xiàn)了同次數(shù)B樣條基函數(shù)值的同步計算(圖2中虛線方框部分)。向量遞推擴展方法避免了重復計算，提高了計算效率，這由圖2算法計算路徑?jīng)]有重疊部分可以充分說明。綜上所述，B樣條的向量擴展求值算法在計算路徑上比式(1)的de Boor-Cox算法效率更高。

圖2 B樣條向量擴展法基函數(shù)運算路徑

2.4 算法效率

同de Boor-Cox遞推定義法相比，式(4)的B樣條基函數(shù)向量擴展求值算法效率更高，計算k次B樣條基函數(shù)非零值，統(tǒng)計對比式(1)與式(4)的運算次數(shù)，可得：使用向量同步遞推運算獲得k+1個非零基函數(shù)值的計算效率是使用de Boor-Cox遞推方法的2k+1倍。

表1 k次B樣條的(k+1)個非零基函數(shù)運算量對比

3 應用展示

3.1 B樣條快速求值CST二維建模

圖3為使用B樣條快速求值CST方法生成的二維圖形。

圖3 B樣條向量擴展法模擬Clark-Y機翼

3.2 B樣條快速求值CST三維建模

3.2.1 局部控制展示

圖4中，(a)圖展示使用B樣條快速求值方法控制橫截面從圓形漸變到正方形，(b)圖展示截面函數(shù)指數(shù)NC隨著長度的增加而進行變化，若將該立體圖形的總長度視為100%，在總長度的0%～20%區(qū)間內(nèi)，立體圖形的橫截面是標準圓形，NC=0.5；在總長度的95%～100%區(qū)間內(nèi)，立體圖形的橫截面是標準的正方形，NC=0.005，在總長度的20%～95%區(qū)間內(nèi)，函數(shù)指數(shù)隨長度的增加而減小。

圖4 B樣條快速求值局部控制展示

3.2.2 B樣條快速求值CST方法三維機翼

三維機翼其實本質(zhì)上可以看成是二維機翼的擴展，擴展時需要注意控制外形的變化。

圖5 CST算法三維機翼展示

4 結論

通過B樣條改進CST參數(shù)化方法，提高了CST算法的局部控制能力，同時使用向量擴展方法實現(xiàn)B樣條快速求值，提高了B樣條CST算法的計算效率，增大了設計空間，提高了可控性，為提高后續(xù)翼型氣動優(yōu)化的精度，最終得到良好的氣動外形奠定了基礎。

[1] Isakova N P, Kraiko A A, P’Yankov K S. Direct Method for the Design of Optimal Three-dimensional Aerodynamic Shapes[J]. Computational Mathematics & Mathematical Physics, 2012, 52(11):1520-1525.

[2] 廖炎平, 劉莉, 龍騰. 幾種翼型參數(shù)化方法研究[J]. 彈箭與制導學報, 2011, 31(3):160-164.(Liao Yanping, Liu Li, Long Teng. The Research on Some Param-eterized Methods for Airfoil[J]. Journal of Projectiles Rockets Missiles & Guidance, 2011, 31(3):160-164.)

[3] Kulfan B. A Universal Parametric Geometry Representa-tion Method - "CST"[C]. AIAA--2007-0062, Jan 2007

[4] Kulfan, B. M, Bussoletti, J. E., Fundamental Parametric Geometry Representations for Aircraft Component Shapes[C]. AIAA-2006-6948, 11th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference: The Modeling and Simulation Frontier for Multidisciplinary Design Optimization, 6 - 8 September, 2006

[5] Ciampa P D, Zill T, Nagel B. CST Parametrization for Unconventional Aircraft Design Optimization[C].Congress of the International Council of the Aerospace Sciences. DLR, 2010.

[6] 王迅, 蔡晉生, 屈崑,等. 基于改進CST參數(shù)化方法和轉(zhuǎn)捩模型的翼型優(yōu)化設計[J]. 航空學報, 2015, 36(2):449-461.(Wang Xun，Cai Jinsheng，Qu K，et al. Airfoil Optimization Based on Improved CST Parametric Method and Transition Model[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2015,36(2)：449-461.)

[7] Piegl L, Tiller W. The NURBS, Book[M]. Springer Ber-lin Heidelberg, 1997.

[8] 孫海洋, 范大鵬. B樣條快速求值算法及其在數(shù)控插補中的應用[J]. 計算機工程與應用, 2007, 43(34):81-84.(Sun Haiyang, Fan Dapeng.Fast Algorithm to Compute B-spline Functions and Its Application in CNC Interpolation[J]. Computer Engineering and Applications,2007,43(34)：81-84.)