秦曉輝,王建強,謝伯元,2,胡滿江,李克強

(1.清華大學(xué)汽車工程系,北京 100084; 2.總裝汽車試驗場,南京 210028)

非勻質(zhì)車輛隊列的分布式控制*

秦曉輝1,王建強1,謝伯元1,2,胡滿江1,李克強1

(1.清華大學(xué)汽車工程系,北京 100084; 2.總裝汽車試驗場,南京 210028)

提出了對稱通信拓撲下具有不同參數(shù)攝動的非勻質(zhì)車輛隊列魯棒穩(wěn)定性分析方法和分布式控制器設(shè)計方法。通過反饋線性化技術(shù)求得隊列節(jié)點的線性動力學(xué)響應(yīng),結(jié)合分布式控制策略和靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律,建立了具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性的車輛隊列高維狀態(tài)方程。利用矩陣不等式將隊列系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為線性方程的H∞性能,證明了隊列系統(tǒng)在不同參數(shù)攝動下保證魯棒穩(wěn)定性的充分條件,并給出了控制器增益的低維度求解方法。最后,基于非線性車輛模型進行了數(shù)值仿真,驗證了所提出方法的有效性。

非勻質(zhì)車輛隊列;通信拓撲;分布式控制;參數(shù)不確定性

前言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展,智能駕駛輔助系統(tǒng)將逐漸向集成化程度更高、安全輔助能力更強的方向發(fā)展[1]。作為智能駕駛輔助系統(tǒng)的典型應(yīng)用場景之一,與傳統(tǒng)的自適應(yīng)巡航系統(tǒng)相比,車輛隊列跟馳因能夠在保證安全性的基礎(chǔ)上采用更短的跟馳間距而有望進一步提高交通效率和燃油經(jīng)濟性__[2],得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-4]。

基于無線通信的車輛隊列系統(tǒng)涉及4個基本要素:車輛動力學(xué),跟馳策略,分布式控制策略和通信拓撲[5]。帶1階慣性延遲的雙積分器模型是該領(lǐng)域使用最為廣泛的車輛模型[6],恒定距離和恒定時距的跟馳策略被學(xué)者廣為采納[7],分布式控制策略因具有較好的擴展性而成為主流選擇[8],通信拓撲的結(jié)構(gòu)對隊列的性能有著重要影響[9]。隊列控制通?？疾?方面性能:內(nèi)穩(wěn)定性、隊列穩(wěn)定性和可擴展性。內(nèi)穩(wěn)定性要求跟馳誤差隨時間衰減到零[7],隊列穩(wěn)定性要求輸入干擾在向隊尾傳遞的過程中不斷衰減[10],而可擴展性則期望隊列的內(nèi)穩(wěn)定性不會隨隊列規(guī)模的增大而迅速惡化[7]。

另一個必須強調(diào)的重要性能是隊列控制的魯棒穩(wěn)定性。在實際應(yīng)用中,因外界干擾、高頻建模不確定性等因素,不可避免地存在模型失配現(xiàn)象?，F(xiàn)有研究討論了如下兩種因素引起的魯棒性問題:通信拓撲不確定性和節(jié)點模型不確定性。涉及通信拓撲不確定性的研究工作通常從通信時延不確定性[11]、通信拓撲構(gòu)型不確定性[12]和通信權(quán)重不確定性[13]3個方面展開討論。對節(jié)點模型不確定性的研究則考慮外界干擾項[14]和建模不確定性[15]兩個方面?，F(xiàn)有研究對非勻質(zhì)隊列的穩(wěn)定分析仍存在著計算量隨隊列規(guī)模增大而不斷增長的問題。

本文中針對對稱通信拓撲下具有有界參數(shù)不確定性的非勻質(zhì)隊列控制問題,通過結(jié)合分布式控制策略和靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律,建立了高維狀態(tài)方程,給出了保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的低維度充分條件,并提出了計算量不隨隊列規(guī)模增長的控制器增益計算方法。最后基于非線性模型進行仿真,驗證了所提出的方法。

為方便表述,本文中默認如下約定:eN,i表示第i個元素為1,其余元素均為0的N維列向量。A＜0表示方陣A的所有特征值均具有負實部。He(A)= A+AT。R表示實數(shù)域,C表示復(fù)數(shù)域。符號?表示Kronecker積。

1 系統(tǒng)建模

1.1 車輛模型

隊列由N+1輛車組成,包括1輛領(lǐng)頭車和N輛跟馳成員車。領(lǐng)頭車編號為0,其余成員車依次編號為1,2,…,N。

本文中僅討論縱向跟馳問題,涉及車輛縱向動力學(xué)控制。許多非線性因素會對車輛縱向動力學(xué)產(chǎn)生影響,如發(fā)動機非線性轉(zhuǎn)矩響應(yīng)、變速器有級速比、空氣動力學(xué)等。為簡化車輛模型做出如下假設(shè):

(1)車身對稱,且視為剛體;

(2)忽略輪胎滑移;

(3)發(fā)動機進氣歧管溫度恒定,進氣過程可用理想氣體模型描述,發(fā)動機功率特性可用經(jīng)驗MAP圖描述;

(4)液力變矩器鎖定,動力系統(tǒng)時滯可用1階慣性延遲描述。

基于上述假設(shè),通過反饋線性化技術(shù)[16],可將車輛模型簡化為如下線性狀態(tài)方程:

其中

式中:pi為車輛位置;vi為車輛速度;ai為車輛加速度;κi＞0為時間常數(shù),表征車輛動力系統(tǒng)的響應(yīng)延遲,下標(biāo)i表示車輛的序號。

1.2 隊列模型

隊列成員車之間的信息交流關(guān)系由通信拓撲圖描述,即g=(V,ε)。其中V={1,2,…,N}為通信拓撲圖的節(jié)點,ε=V×V為通信拓撲圖的邊。節(jié)點間的信息交流由鄰接矩陣M=[mij]∈RN×N描述,mij=1表示節(jié)點i從節(jié)點j獲取通信信息,mij=0表示節(jié)點i不從節(jié)點j獲取通信信息。本文中考慮對稱通信拓撲,所以mij=mji。

在此基礎(chǔ)上進一步定義拉普拉斯陣LG=[lij]∈RN×N為

隊列成員車與領(lǐng)頭車之間的通信關(guān)系由牽引矩陣描述:

式中:pGi=1為節(jié)點 i能從領(lǐng)頭車獲取通信信息; pGi=0表示節(jié)點i不能從領(lǐng)頭車獲取通信信息。

隊列控制的目標(biāo)是跟蹤領(lǐng)頭車的車速,并與前車保持適當(dāng)間距,如式(4)所示[5]。

為推導(dǎo)方便,令Di,i-1=[di,i-10 0]T,選取分布式控制律為

式中:K=(k1k2k3),為靜態(tài)反饋增益。節(jié)點i相對于領(lǐng)頭車的跟馳誤差可表示為

對式(6)兩邊求導(dǎo),可得

式中:Bi=[0 0 κi-κ0]T;a0為領(lǐng)頭車的加速度。

式中0和1分別為所有元素為0和1的向量。Ei包含了每輛車不同的時間常數(shù),它們在一定的區(qū)間范圍內(nèi)取值。為將不確定性分離開,令κi=κ+κΔi,κ表示時間常數(shù)標(biāo)稱值,κΔi為不確定性。于是有

N=I3N;E=diag[1,1,κ]

Δ中集中包含了隊列成員車的參數(shù)不確定性,由于成員車的參數(shù)攝動有界,故存在正常數(shù)ρ,使得

其中AC=IN?A-H?(BK)

式(10)即為帶范數(shù)有界參數(shù)不確定性非勻質(zhì)隊列系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程?？梢钥闯?系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定性不僅取決于控制增益的選擇,也受到了通信拓撲的影響。隊列中的所有成員車通過通信拓撲相互聯(lián)系起來,成員車輛的表現(xiàn)可能會影響整個隊列的性能。

2 系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析

2.1 魯棒穩(wěn)定性條件分析

為分析非勻質(zhì)隊列跟馳的魯棒穩(wěn)定性,利用相似變換進行動力學(xué)解耦,將高維狀態(tài)方程的穩(wěn)定性問題等價轉(zhuǎn)化為若干個低維度子模態(tài)的穩(wěn)定性問題,進而得出保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的判定條件。為此,需要如下引理。

引理1(Lyapunov定理)[15]:

方陣A滿足A＜0的充分必要條件為:存在對稱正定陣P使He(AP)＜0。

引理2[15]:

存在正定陣P＞0使得式(11)成立的充要條件為:存在正定陣～P＞0使得式(12)成立。

式中:ΔTΔ＜γ2I;P與之間是線性數(shù)乘關(guān)系。

線性系統(tǒng)的內(nèi)穩(wěn)定性要求閉環(huán)特征多項式的所有特征值均具有負實部[5]。下面的定理給出了系統(tǒng)保證魯棒穩(wěn)定性的判定條件。

定理1:

對于具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性的式(10)非勻質(zhì)隊列系統(tǒng),令H的特征值為λi,1≤i≤N,若存在對稱正定陣序列Pi∈R3×3,使得式(13)矩陣不等式成立,則系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性得到保證。

證明:

系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定性實際上要求閉環(huán)狀態(tài)矩陣的所有特征值具有正實部。由于式(10)隊列方程的狀態(tài)矩陣是分塊下三角陣,故內(nèi)穩(wěn)定性等價于

由引理1,式(14)等價于存在正定陣P,使得

將AC,M和N的具體表達式帶入上式,得

由于H=HT,故H可對角化,即存在正交陣QT=Q-1使得

式中:J=diag(λi)∈RN×N;λi為H的特征值。

用Q?I3對式(17)做相似變換,得

利用Schur定理[17],即可將式(21)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式形式:

實際上,式(22)與定理中所述的式(13)等價,故而定理得到證明。

定理1將高維非勻質(zhì)車輛隊列的魯棒穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為了若干低維矩陣不等式的求解問題,并且適用于所有對稱通信拓撲,大大降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的計算量。但由于在推導(dǎo)過程中假定了具有特殊結(jié)構(gòu),帶入了保守性,所以本定理給出的條件是充分非必要的。

2.2 魯棒控制器求解

前面提出的魯棒穩(wěn)定性條件,本小節(jié)提出一種計算量獨立于隊列規(guī)模的控制器求解方法。為此,需要下面的引理。

引理3(圓盤定理)[18]:

方陣H=[hij]∈RN×N的所有特征值均位于如下的圓盤集合中:

定理2:

對于具有范數(shù)有界參數(shù)不確定性的式(10)非勻質(zhì)隊列系統(tǒng),令H的特征值為λi,1≤i≤N,若det(H)≠0,對任給正數(shù)δ＞0,若存在對稱正定陣P∈R3×3＞0,使得式(24)和式(25)矩陣不等式組中任意一個成立,則式(26)控制器增益能保證隊列的魯棒穩(wěn)定性。

式中符號“*”表示矩陣的分塊對稱部分,且

證明:

由于H為對角占優(yōu)陣,故根據(jù)引理3,H的特征值滿足如下約束:

因det(H)≠0,所以

故有:0＜λmin,所以zfm和zfM總存在。

假設(shè)P為滿足定理2中矩陣不等式的解,只需驗證該解能滿足定理1中所給出的穩(wěn)定性條件即可。為此將P帶入不等式(13)中,并利用Schur定理將之展開,得

將K=BTP-1/2帶入式(34),整理后得到

根據(jù)引理2,式(35)成立等價于存在正數(shù)δ＞0,使得式(36)成立[15]。

注意到 EBBT=κBBT,所以上式可以進一步寫為

其中

f(λi)為二次多項式,兩個零點分別為zf1=0和zf2=4κ/(2δ+1)。

當(dāng)λmax＜zf2時,由多項式性質(zhì)有

所以式(37)被滿足的一個充分條件是下式成立。

利用Schur定理即可將式(40)進一步寫為式(24)。

當(dāng)λmax≥zf2時,由多項式性質(zhì)有

此時式(37)被滿足的一個充分條件是式(42)成立。

同樣由Schur定理可知,式(42)等價于式(25)。

綜上所述,定理2中給出的控制器設(shè)計方法能保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,定理得到證明。

定理2給出了一種低維度的控制器設(shè)計方法,只須求解與車輛模型維度相當(dāng)?shù)木仃嚥坏仁郊纯傻玫奖ＷC系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的控制器增益。與現(xiàn)有文獻[19]和文獻[20]中提出的方法相比,本文中提出的方法計算量不隨隊列規(guī)模增長,且適用于任意對稱通信拓撲結(jié)構(gòu),更便于工程實踐。

定理中的參數(shù)δ是一個需要設(shè)計者確定的參數(shù),它并不對穩(wěn)定性產(chǎn)生本質(zhì)的影響,但會影響線性矩陣不等式的求解難度。

3 仿真驗證

圖1 仿真配置

3.1 仿真配置

仿真中的車輛模型為非線性模型,通過逆模型補償?shù)姆绞綄崿F(xiàn)車輛模型的線性化,由于成員車的參數(shù)不一致(車輛質(zhì)量和傳動系統(tǒng)時延不同)而形成了具有模型不確定性的非勻質(zhì)車輛隊列系統(tǒng)。仿真的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。通過模型識別的方式可以驗證車輛模型的時間常數(shù)標(biāo)稱值為κ=1.67,參數(shù)攝動范圍為κ+κΔi∈[1.33,2.22]。仿真的隊列規(guī)模為10輛跟馳車輛,1輛領(lǐng)頭車。

3.2 控制器求解

如圖1所示,仿真中使用的通信拓撲為LBPF (leader bidirectional predecessor following)。根據(jù)定理2,選取δ=0.17,可以驗證λmax＜zf2,根據(jù)車輛模型,取ρ=0.50,于是使用式(24)不等式組求解,得到如下結(jié)果:

于是可以根據(jù)式(26)求取控制增益:

由于定理2中給出的是線性矩陣不等式,所以控制器可使用 Matlab軟件中的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)工具箱求解。

3.3 仿真結(jié)果

根據(jù)前面求取的控制器增益,導(dǎo)入仿真模型中進行數(shù)值仿真。仿真中,領(lǐng)頭車車速按下式所示規(guī)律變化[5],單位為 m/s。仿真通過 Matlab/Simulink工具箱完成。

仿真結(jié)果如圖2所示。圖2(b)和圖2(c)中5號車與10號車的曲線較接近,在局部放大圖中可以看到二者的差別。

可以看出,本文中所提出的方法能夠保證隊列的魯棒穩(wěn)定性。此次仿真的誤差收斂時間較長,這是由于控制器增益系數(shù)選擇較小導(dǎo)致的,可通過適當(dāng)加大增益系數(shù)來減小收斂時間和最大跟馳誤差。

4 結(jié)論

基于具有1階慣性延遲的線性車輛模型,針對對稱通信拓撲建立了具有有界參數(shù)不確定性的高階隊列線性方程,分析了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,研究了控制器的求解方法,并通過仿真驗證了所提出的方法。

(1)提出了非勻質(zhì)線性隊列系統(tǒng)保證魯棒穩(wěn)定性的充分條件,該條件的矩陣維數(shù)僅與車輛模型相當(dāng),復(fù)雜度低。

(2)提出了保證非勻質(zhì)線性隊列系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的控制器求解方法。該方法的計算量不隨隊列規(guī)模增長,便于實施。

圖2 仿真結(jié)果

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Distributed Control of Heterogeneous Vehicular Platoons

Qin Xiaohui1,Wang Jianqiang1,Xie Boyuan1,2,Hu Manjiang1&Li Keqiang1
1.Department of Automotive Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084; 2.Automotive Proving Ground of the General Armament Department,Nanjing 210028

The robust stability analysis method and distributed controller design scheme for the heterogeneous vehicle platoons with different parameters perturbation under symmetric communication topology are proposed. The linear dynamics responses of platoon nodes are obtained by using feedback linearization technique,and the high-dimensional state equations for vehicle platoons,whose some parameters having bounded norms are uncertain, are established by combining distributed control strategy and static state feedback control rule.Then the internal stability of platoon system is transformed into the H∞performance of linear equations with matrix inequality technique, by which the sufficient condition for ensuring the robust stability of platoon system under different parameters perturbation is proved,with the low-dimensional solving scheme for controller gain given.Finally a numerical simulation is performed on nonlinear vehicle model,verifying the effectiveness of the method proposed.

heterogeneous vehicle platoon;communication topology;distributed control;parameter uncertainty

10.19562/j.chinasae.qcgc.2017.01.012

*國家自然科學(xué)基金(51505247)資助。

原稿收到日期為2016年1月6日,修改稿收到日期為2016年3月8日。

李克強,教授,博士生導(dǎo)師,E-mail:likq@tsinghua.edu.cn。