趙雁

【摘 要】本文從數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)發(fā)展歷史分析的角度對數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了思考，提出了以基元與整體、轉(zhuǎn)化與整合、擴(kuò)張與因襲作為數(shù)學(xué)思想的基本構(gòu)成要素。并在此基礎(chǔ)上，探討了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)聯(lián)系。基元與整體 轉(zhuǎn)化與整合 轉(zhuǎn)化與整合 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)活動

【關(guān)鍵詞】基元與整體；轉(zhuǎn)化與整合；擴(kuò)張與繼承；數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)活動

數(shù)學(xué)是一種人類活動，這種活動的外在形式是人類按照自身的需要逐步建立起來的一個知識系統(tǒng)。因此，它凝聚了人類的智慧，蘊(yùn)涵了人類豐富而深刻的思想，體現(xiàn)著主體的信念、意向、目的、行為準(zhǔn)則和思維方式，充分反映了人與自然和諧關(guān)系之中人的主體性特點(diǎn)。

數(shù)學(xué)研究常常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)家們的個體行為，但又不可避免地要受到社會環(huán)境的制約和影響。數(shù)學(xué)家們的研究和討論必須使用“數(shù)學(xué)共同體”一致接受的語言（概念、符號體系等），運(yùn)用“數(shù)學(xué)共同體”公認(rèn)的方法，得出的定理或結(jié)論必須為“數(shù)學(xué)共同體”接受和認(rèn)同。因而，數(shù)學(xué)研究又反映出社會性特點(diǎn)。

數(shù)學(xué)研究的社會性特點(diǎn)隱含了規(guī)范性成分，如核心思想、框架、合理性標(biāo)準(zhǔn)、準(zhǔn)則、組織形式及推理方式等，這成為一種數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和精神，為人們所共有，數(shù)學(xué)更多地關(guān)注普遍性、系統(tǒng)性、基礎(chǔ)性、不變性、程序性和滲透性。而數(shù)學(xué)化則是指數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程和方式，即抽象化、符號化、模式化、形式化和系統(tǒng)化，這是數(shù)學(xué)思想的基本原則。數(shù)學(xué)要求概念具有單純性，論證具有確定性，分類具有徹底性和完備性，而拒絕非規(guī)律性的概括和反對未經(jīng)驗證的類比。當(dāng)我們論及數(shù)學(xué)思想的時候，不可以對此毫不論及。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，它們客觀上成為一種背景或預(yù)設(shè)，制約并規(guī)范著我們的活動，人們對此交流無礙，這正反映了數(shù)學(xué)的文化特性。

一、基元與整體

“元”指某種獨(dú)立存在物，“基元”即指基本的獨(dú)立存在物，基元是構(gòu)成整體的要素，也是認(rèn)識整體的基礎(chǔ)，基元與整體有一種特殊的共生關(guān)系，是一組相輔相成的概念.

系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)中，主要有兩種類型的基元，一種是決定系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)本質(zhì)屬性的初始基元或單位基元，另一種是決定系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)組織特征的構(gòu)造基元。例如“1”是自然數(shù)的初始基元，“后繼的規(guī)則”是自然數(shù)的構(gòu)造基元，由“1”及“后繼的規(guī)則”構(gòu)造出全體自然數(shù)；三角形是多邊形的初始基元，多邊形的三角剖分是多邊形的構(gòu)造基元；基本初等函數(shù)是初等函數(shù)的初始基元，基本初等函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算是初等函數(shù)的構(gòu)造基元；初始條件是遞推數(shù)列的初始基元，遞推關(guān)系則是它的構(gòu)造基元等等，初始基元具有根基性、歸納性、特殊性和具體性，構(gòu)造基元具有發(fā)展性、演繹性、一般性和抽象性，兩種類型的基元構(gòu)成數(shù)學(xué)系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的基本研究范式，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)。

系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的層次帶來了基元與整體的層次性或相對性.一個系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)對其自身的基元來說是整體，同時，它又可以是更高層次系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的基元。這實際上決定了數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，由此，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)抽象度分析理論。

基元與整體思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)教育，則是要求重視知識的組織方式或結(jié)構(gòu)方式，即強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)規(guī)律的認(rèn)識，布魯納早在60年代就曾指出，學(xué)習(xí)任何學(xué)科，主要是要使學(xué)生掌握這一學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，同時也要掌握研究這一學(xué)科的基本態(tài)度和方法?；c整體思想使這一觀點(diǎn)得到發(fā)展和完善。有助于廣大教師對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的把握，更深刻地感受到數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)與大自然之間的和諧聯(lián)系，更加明確了具體教學(xué)內(nèi)容在整個數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中的地位與作用，有利于合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計。

二、轉(zhuǎn)化與整合

轉(zhuǎn)化與整合是主體的一種認(rèn)識方式與活動方式。轉(zhuǎn)化實際上是“語言轉(zhuǎn)換”，通過這種“轉(zhuǎn)換”，客體被放置在一個信息相對主體更加豐富的背景之中，從而得到對客體的“解釋”。在這一過程中“語言轉(zhuǎn)換”將客體與主體的意識世界聯(lián)系起來，主體得到對客體“解釋”的同時，主體的“信息”得到擴(kuò)展，這即為整合，整合是一個綜合集成的過程，在整體上認(rèn)識與把握知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和規(guī)律，轉(zhuǎn)化是整合的基礎(chǔ)，而整合則更內(nèi)在、更深刻。

數(shù)學(xué)家們“往往不是對問題實行正面的攻擊，而是將它不斷地變形，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題.”從認(rèn)識論的角度看，數(shù)學(xué)家們利用轉(zhuǎn)化解決一個又一個問題的過程，也就是人類知識的視野不斷得到擴(kuò)展的過程，轉(zhuǎn)化與整合成為認(rèn)識發(fā)展的主要形式。

變換一求解一反演方法是數(shù)學(xué)家運(yùn)用的最有效方法之一].這個方法的思想實質(zhì)在于：為了解決一個困難的問題，首先：通過某種簡化程序把它變換為一個比較容易的等價問題，然后求解這個比較容易的問題，最后反演簡化程序，從而得到原問題的解，這正是對轉(zhuǎn)化與整合的程序性描述，而近代數(shù)學(xué)則更將這種思想發(fā)展到了極致.

轉(zhuǎn)化與整合思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育上，就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。聯(lián)系的觀點(diǎn)是轉(zhuǎn)化與整合的關(guān)鍵，由此，我們也可以把轉(zhuǎn)化與整合看成是聯(lián)系的兩個側(cè)面，.實際上，聯(lián)系的觀點(diǎn)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育的基本原則。

三、擴(kuò)張與繼承

數(shù)學(xué)教師們領(lǐng)著學(xué)生走一條康莊大道：由整數(shù)走向分?jǐn)?shù)，由正數(shù)走向負(fù)數(shù).由有理數(shù)走向無理數(shù)，由實數(shù)走向虛數(shù).這是在擴(kuò)張數(shù)系，同時又希望整數(shù)的性質(zhì)分?jǐn)?shù)也有，正數(shù)的性質(zhì)負(fù)數(shù)也有，有理數(shù)的性質(zhì)無理數(shù)也有，實數(shù)的性質(zhì)虛數(shù)也有，這是在擴(kuò)張數(shù)性。

從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，數(shù)系的每一次擴(kuò)張都有一個艱難的歷程，負(fù)數(shù)的引入，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)以及虛數(shù)的使用，并不像現(xiàn)在人們看到的那樣順理成章，每一次認(rèn)識的進(jìn)步都是經(jīng)歷了發(fā)展與繼承的矛盾斗爭之后才取得的，發(fā)展是必然，而繼承則是發(fā)展的基礎(chǔ)，只有不斷協(xié)調(diào)發(fā)展與繼承的關(guān)系，才能不斷地進(jìn)步。數(shù)系的每一次擴(kuò)張都有它的必然性，每一次擴(kuò)張都繼承了擴(kuò)張前數(shù)系的某些性質(zhì)，擴(kuò)張與繼承過程就是人類認(rèn)識發(fā)展的過程，研究這一過程，從中可以得到許多有益的啟示。

作為認(rèn)識發(fā)展的一般規(guī)律，擴(kuò)張與繼承有其普遍地起著作用。除了數(shù)系發(fā)展的例子，數(shù)學(xué)發(fā)展史上的許多重大轉(zhuǎn)折無不反映出這種規(guī)律的作用，從“算術(shù)”到“代數(shù)”，從有限到無限，數(shù)學(xué)就是在擴(kuò)張與繼承的矛盾斗爭當(dāng)中得到發(fā)展。擴(kuò)張是發(fā)展的基礎(chǔ)，而繼承則使這種發(fā)展有了理性的方向。在科學(xué)理論的更迭中，擴(kuò)張打開了人們認(rèn)識的視野，而繼承則反映了認(rèn)識的連續(xù)性和傳承性。擴(kuò)張有其必然的背景，而繼承則要遵循規(guī)律性、和諧原則。

四、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)活動

數(shù)學(xué)作為一種人類活動，必然要受到人們的思想意識、思想觀念的影響。呈現(xiàn)在人們面前的數(shù)學(xué)，并不是一堆孤立的事實，而是一個井然有序的知識系統(tǒng)，數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的存在方式，反映出人們的認(rèn)識活動方式和思維方式。知識的系統(tǒng)性，顯現(xiàn)出基元與整體的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律。我們的認(rèn)識是從特殊到一般的過程，而知識的組織方式則是從一般到特殊地展開，從認(rèn)識的過程看，它們的共同特征正是不斷地“基元化”、“一般化”、“系統(tǒng)化”的過程。

數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的對象呈現(xiàn)出基元與整體之間的內(nèi)在聯(lián)系，基元化與整體化是通過轉(zhuǎn)化得以實現(xiàn)的。其次就是轉(zhuǎn)化與整合的過程。擴(kuò)張與繼承是另一個重要方面。三者有機(jī)結(jié)合，規(guī)劃出數(shù)學(xué)思想的整體輪廓。進(jìn)而推動數(shù)學(xué)思想教育的健康發(fā)展。

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