周 陽， 鄧念東， 王 鳳， 穆根胥， 劉建強

(1.陜西省地質(zhì)調(diào)查中心，西安 710068； 2.西安科技大學(xué)地質(zhì)與環(huán)境學(xué)院，西安 710054;3.湖北永業(yè)行評估咨詢有限公司，武漢 430000)

淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形原理

周 陽1， 鄧念東2， 王 鳳3， 穆根胥1， 劉建強1

(1.陜西省地質(zhì)調(diào)查中心，西安 710068； 2.西安科技大學(xué)地質(zhì)與環(huán)境學(xué)院，西安 710054;3.湖北永業(yè)行評估咨詢有限公司，武漢 430000)

可再生的新型環(huán)保能源淺層地?zé)崮荛_發(fā)利用前景廣闊。由于區(qū)域地質(zhì)條件復(fù)雜，借用分形原理可將原來研究中所采用的還原論方法即線性問題處理方法轉(zhuǎn)換為更符合地質(zhì)條件本質(zhì)特征的非線性處理方法。探討了淺層地?zé)崮苜x存條件適宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)及標度與分形維數(shù)的關(guān)系； 簡析了面狀地形地貌信息幾何屬性對分維值的影響。研究結(jié)果表明，淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)存在明顯的分形特征，其分形維數(shù)較好地反映了適宜性分區(qū)輪廓的曲折程度，分形數(shù)越大，則輪廓線越不規(guī)則。旨在為淺層地?zé)崮苷{(diào)查評價工作提供全新的非線性化的處理方法，對分形理論的實際應(yīng)用和淺層地?zé)崮艿拈_發(fā)工作都有較強的理論和實際意義。

淺層地?zé)崮埽?適宜性； 分形原理

0 引言

在能源短缺和環(huán)境污染的雙重壓力下，淺層地?zé)崮茏鳛橐环N清潔可再生新能源以其強大的生命力和競爭力日益受到國家和地方政府的重視[1-2]。影響淺層地?zé)崮苜x存資源量的因素包括地層巖性、厚度、含水層結(jié)構(gòu)、富水性、水位埋深以及補給徑流條件等諸多子系統(tǒng)，這類子系統(tǒng)數(shù)量多，地質(zhì)條件復(fù)雜，地貌類型多樣，而且系統(tǒng)相互間的功能和行為不是各子系統(tǒng)功能和行為的簡單疊加或復(fù)合，可以稱得上是“極其復(fù)雜的巨系統(tǒng)”。

以往研究人員[3-5]常使用還原論方法線性處理適宜性分區(qū)評價指標的問題，在評價過程中，人為的定義評價矩陣中不同地質(zhì)條件的權(quán)重，無法定量適宜性分區(qū)圖?？紤]到傳統(tǒng)的定量方法對描述自然界中連綿的地層、地表及河流等自然構(gòu)型方面的無力，引入一種解決這些難題的思路和方法，即分形理論。通過該理論，不再將復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)化為簡單的線性問題來處理，用符合淺層地?zé)崮艿刭|(zhì)地貌條件本身性質(zhì)、特征的眼光來觀察地質(zhì)現(xiàn)象本身，逐步真實、全面地刻畫淺層地?zé)崮苄畔⒌男再|(zhì)、特征和規(guī)律。對科學(xué)評價淺層地?zé)崮苜x存條件、儲量估算以及分形理論的發(fā)展和延伸有較強的理論和實踐意義。

本文利用回歸分析法驗證了淺層地?zé)崮苜x存條件適宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)，并探討了標度與分形維數(shù)的關(guān)系，即證明適宜性結(jié)構(gòu)分區(qū)在上述一定變化標度內(nèi)具有分形結(jié)構(gòu)； 通過面積-周長法和盒維數(shù)法的計算結(jié)果，簡析了面狀地形地貌信息幾何屬性對分維值的影響。

1 分形學(xué)簡介

分形[6]原意是指不規(guī)則的物體或圖形，通過混亂現(xiàn)象和不規(guī)則運動揭示隱藏在它們背后的局部與整體的本質(zhì)聯(lián)系和運動規(guī)律。

歐式幾何學(xué)的研究對象為規(guī)整的幾何圖像，這類圖像的長度、面積和體積的綱量分別是長度單位的1、2和3次方，恰好與這些圖形所在空間的歐式幾何維數(shù)相等，且均為整數(shù)。該維數(shù)與決定幾何形狀的自由度數(shù)是一致的，因此定義自由度數(shù)作為經(jīng)驗維數(shù)，但Peano曲線的出現(xiàn)使人們對經(jīng)驗維數(shù)產(chǎn)生了質(zhì)疑，Peano曲線可定義為圖中折線的極限，一條Peano曲線可以把平面完全覆蓋。該曲線處處不能微分，被稱為非規(guī)整幾何圖形。

同屬非規(guī)整圖形的還有Koch曲線、Cantor集等，它們又被稱為病態(tài)幾何圖形。由相似性知，將線段、正方形和立方體的邊長平均二等分，即原先的線段、正方形和立方體可以看做是由2、4、8個個體組成的集合。2、4、8改寫成21、22、23后的指數(shù)與其圖形的經(jīng)驗維數(shù)一致。因此，若一個圖形是由全體縮小為1/a的aD個相似圖形構(gòu)成的，那么D具有維數(shù)的意義，稱相似維數(shù)。D沒有必要是整數(shù)，若一個圖形是由全體縮小1/a的b個相似性組成的，相似維數(shù)為

D=lnb/lna。

(1)

相似維數(shù)只適用于具有嚴格自相似性的圖形，因此定義適用于包括隨機圖形在內(nèi)的任意圖形的維數(shù)是很必要的，最具代表性的是1986年Mandelbrot提出的Hausdorff維數(shù)： 分形是局部和整體具有相似性的圖形。該定義指出了分形的自相似性，即分形物體具有理論上無限層次的自相似結(jié)構(gòu)。

現(xiàn)階段往往把取非整數(shù)值的維數(shù)統(tǒng)稱為分形維數(shù)，如盒子維數(shù)、面積-周長維數(shù)等，可視為廣義上的維數(shù)。由于測定維數(shù)對象不同，就某一個分形維數(shù)的定義而言，有些對象可能適用，另一些則不完全適用，因此在使用過程中往往要進行多次嘗試，找到一個對任何對象都適用的定義。

2 淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形

淺層地?zé)崮苜Y源蘊藏在地下巖土體內(nèi)，其儲藏、運移以及開采利用都受到區(qū)域地質(zhì)、水文地質(zhì)及工程地質(zhì)條件等多種因素的影響，在不同區(qū)域蘊藏于地下巖土體內(nèi)的淺層地?zé)豳Y源規(guī)模和利用方式存在較大差異。地層巖性、厚度、含水層結(jié)構(gòu)、富水性、水位埋深以及補給徑流條件等是制約淺層地?zé)崮苜x存分布及可利用性的主要因素。只有在淺層地?zé)崮苜Y源開發(fā)利用方式適宜性區(qū)劃的基礎(chǔ)上，才能進一步進行資源量計算和資源潛力評價。

分形理論產(chǎn)生后，成為研究面狀結(jié)構(gòu)的新方法，分維值也逐漸成為常用指標之一。目前關(guān)于淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形研究鮮有報道，本文以渭南市地下水熱泵適宜性分區(qū)的分形維數(shù)計算過程為例，對該方面研究做初步探討。

渭南市地處渭河盆地東部，屬暖溫帶半濕潤大陸性季風(fēng)氣候，四季分明。區(qū)內(nèi)地勢南高北低呈階梯狀降落，為黃土臺塬和渭河沖積平原，南側(cè)黃土臺塬下為秦嶺基巖山地。區(qū)內(nèi)主要河流為渭河，自西向東縱貫全區(qū)，南岸有多條支流，大都呈SN向平行分布。區(qū)內(nèi)潛水水文地質(zhì)條件良好(圖1)，河漫灘、沖洪積扇含水層厚，巖性較粗，滲透較快，富水性較好，滲透系數(shù)介于13.8～98.1 m/d，涌水量介于860～1 500 m3/d； 渭河階地滲透系數(shù)3.7～8.48 m/d，涌水量僅792～968 m3/d。承壓水位受地形地勢影響較小(圖2)，河漫灘、沖洪積扇處單位涌水量介于5～15 m3/(h·m)，滲透系數(shù)介于20～50 m/d； 在渭河南部一級階地后緣處，單位涌水量一般<5 m3/(h·m)。

圖1 潛水水文地質(zhì)圖Fig.1 Hydrogeological map of diving water

圖2 承壓水水文地質(zhì)圖Fig.2 Hydrogeological map of confined water

本次淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)評價采用綜合指數(shù)法，考慮地下水源熱泵，主要考慮含水層巖性、分布、埋深、厚度、富水性、滲透性，地下水溫、水位動態(tài)變化、水源地保護、地質(zhì)災(zāi)害等指標。

根據(jù)上述分區(qū)體系，應(yīng)用MapGIS6.7軟件，結(jié)合城區(qū)地形地貌條件、水文地質(zhì)條件以及試驗數(shù)據(jù)等資料，劃分出適宜性分區(qū)界限，采用編輯子系統(tǒng)拓補查錯和拓補重建、圖面整飾等工作，從而得到地下水地源熱泵系統(tǒng)適宜性分區(qū)評價圖。

適宜性評價分區(qū)圖中根據(jù)評價指標可以分為4個區(qū)域： 淺層地?zé)崮艿叵滤礋岜孟到y(tǒng)應(yīng)用適宜區(qū)(簡稱適宜區(qū))、淺層地?zé)崮艿叵滤礋岜孟到y(tǒng)應(yīng)用較適宜區(qū)(簡稱較適宜區(qū))、淺層地?zé)崮艿叵滤礋岜孟到y(tǒng)應(yīng)用不適宜區(qū)(簡稱不適宜區(qū))、水源地規(guī)劃保護區(qū)(簡稱水源地)。依據(jù)規(guī)范，水源地保護區(qū)內(nèi)不允許修建地下水源熱泵系統(tǒng)。

2.1 適宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形

對淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形研究，根據(jù)盒子計數(shù)法求取分形維數(shù)。盒子維數(shù)是應(yīng)用最廣泛的維數(shù)之一，它的普遍應(yīng)用主要是由于該維數(shù)的數(shù)學(xué)計算和經(jīng)驗估計相對容易。

首先定義適宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)圖為一個平面集F，構(gòu)造出一個邊長為r的正方形(或稱盒子)，統(tǒng)計正方形和平面集F相交的個數(shù)N，為了提高計算的準確率，僅統(tǒng)計平面集F的覆蓋面積占一半以上的正方形。通過不斷調(diào)整標度r的數(shù)值，分別統(tǒng)計落入盒子中的平面集F的個數(shù)N(表1)。

表1 適宜性結(jié)構(gòu)分區(qū)標度-頻度關(guān)系Tab.1 Relationship between scale and frequency of suitable structure

建立不同標度及該標度下落入盒子中的平面集F個數(shù)的雙對數(shù)(即lgr-lgN)散點圖(圖3)，根據(jù)最小二乘法進行線性回歸分析，回歸方程為

lgN=Dlgr+A,

(2)

式中:A為待定常數(shù);D為回歸方程的斜率，其絕對值即為分維值。

圖3 適宜性結(jié)構(gòu)分區(qū)標度-頻度散點圖Fig.3 Scatter plots of the scale and frequency of suitable structure

圖3中的4個回歸方程都通過R顯著性檢驗，說明淺層地?zé)崮苓m宜性結(jié)構(gòu)分區(qū)的標度-頻度關(guān)系客觀存在，即適宜性結(jié)構(gòu)分區(qū)在上述的r變化標度內(nèi)具有分形結(jié)構(gòu)。

2.2 標度與分形維數(shù)的關(guān)系

圖4 測量的分維值和標度的關(guān)系Fig.4 Relationship of the fractal dimension and size

根據(jù)分形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可知，自相似的分形結(jié)構(gòu)具有無限嵌套結(jié)構(gòu)，在分形維數(shù)的定義中，要求標度r趨于零時極限存在。但標度r趨于零的要求在實際測量中很難實現(xiàn)，因此這個嚴格的數(shù)學(xué)定義并不適用于自然界中存在分形結(jié)構(gòu)的研究。近年來國內(nèi)外的一些學(xué)者的研究表明： 對于實際分形體而言，測量的分形維數(shù)隨著標度的變化而變化，對同一個分形體由于選取的標度不同，會得到不同的分維值[7-10]。分維值的不確定性是由于實際存在的分形物體不具有無限層次的自相似性結(jié)構(gòu)，而把適用于無限層次的分形公式用于實際的有限層次分形物體，就可能產(chǎn)生分維的不確定性。因此，測量標度r必須在一個合理的范圍內(nèi)，即當rmin≤r≤rmax時，測得的有限層次的分形維數(shù)是確定值D，rmin是由分形體的最小自相似結(jié)構(gòu)決定的，所以在研究實際的分形體時標度的選擇不是任意的，必須先對分形體的結(jié)構(gòu)層次和存在層次進行細致的分析，再選擇標度和確定臨界點。對于標度而言，在一個合理的范圍內(nèi)，有限層次的分形體的分維是恒定的； 超出此范圍，測量分維會出現(xiàn)不確定問題。

以2.1節(jié)中適宜區(qū)的標度-頻度關(guān)系為例說明此問題。將測量尺度從15～60 mm擴展到80、90、100 mm，繪制到雙對數(shù)圖上(圖4)。

當選取的標度r滿足15≤r≤60時，得到的測量數(shù)據(jù)在lgr-lgN坐標系中都落在線性區(qū)，該直線斜率的絕對值即為分形體的測量維數(shù)； 當r≥80的時候，測量數(shù)據(jù)落在非線性區(qū)，此時的測量數(shù)據(jù)是不真實的，得到的分維值也不是唯一的。

綜上，分形理論用于實際分形體的研究是有條件的。對標度而言，存在一個合理的范圍，在此范圍內(nèi)，分維值是恒定的； 超出此范圍，分維值就會出現(xiàn)不確定的問題。

3 面狀信息幾何屬性對適宜性分區(qū)分維值的影響

3.1 適宜性分區(qū)形狀綴塊指數(shù)

將標度定義為盒子的邊長r，采用盒子法統(tǒng)計平面集F的覆蓋面積占一半以上的正方形，這種方法并未將圖斑的周長考慮在內(nèi)。下面，首先引入常用的景觀指數(shù)——綴塊形狀指數(shù)來全面地考慮圖斑的周長和面積這兩種因素對圖斑分維數(shù)的共同影響。其次，由于適宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)圖是不規(guī)則的封閉圖形，采用周長-面積法求取其分維值，然后與盒子計數(shù)法對比，探討面積和周長等屬性對分維值的影響。

景觀生態(tài)學(xué)中以正方形為參照幾何形狀的綴塊形狀指數(shù)S的計算公式為

(3)

式中：P為綴塊周長;A為綴塊面積。綴塊形狀越復(fù)雜，S值越大(表2)。

表2 適宜性結(jié)構(gòu)分區(qū)面積-周長關(guān)系Tab.2 Relationship between area and perimeter of the partition of suitable structure

3.2 基于面積-周長法的分形維數(shù)計算

規(guī)則圖形的面積A與測量單位尺寸ε成二次方比例; 周長P與ε成一次方比例。因此,周長和面積之間的關(guān)系為

P∝A1/2。

(4)

而對于二維空間中的不規(guī)則圖形，周長和面積的關(guān)系要復(fù)雜一些，Mandelbort提出應(yīng)該用分形周長曲線代替原來的光滑周長，從而得到式(5),即

[P(ε)]1/D=a0ε(1-D)/D[A(ε)]1/2=

a0ε1/Dε-1[A(ε)]1/2，

(5)

式中：a0為和小島形狀有關(guān)的常數(shù)；ε為測量尺寸。

對上式兩邊取對數(shù)后得

lg[P(ε)/ε]/D=lga0+lg[A(ε)1/2/ε] 。

(6)

做lg[P(ε)/ε]-lg[A(ε)1/2/ε]圖，若存在直線部分，則說明該圖形具有分形特征，而其中直線部分的斜率的倒數(shù)即為該小島的分維值D。

該方法在計算一個小島的分形維數(shù)的時候，需要不斷地改變ε的大小，以便取得一系列數(shù)據(jù)。適宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)為一個具有粗糙表面的不規(guī)則狀復(fù)雜體，具有統(tǒng)計意義下的自相似性，即不同大小的顆?？紫缎螒B(tài)是自相似的。因此可以通過不斷變換測量尺寸ε來繪制lg[P(ε)/ε]-lg[A(ε)1/2/ε]圖,以求解分形維數(shù)的問題變?yōu)樵谔囟ǖ臏y量尺寸下繪制不同大小孔隙的周長和面積的雙對數(shù)圖來求解分形維數(shù)的問題。為了簡化計算過程，令ε=1，式子可以變?yōu)?/p>

lg[A]=[2lgP]/D-lga0。

(7)

根據(jù)上式，在繪制出的lgA-lgP圖中求得直線部分的斜率K，則圖像中的分形維數(shù)為

D=2/K。

(8)

引入表2中的面積和周長數(shù)據(jù)，根據(jù)面積-周長法求取適宜區(qū)、較適宜區(qū)、不適宜區(qū)和水源地的分形維數(shù)分別為 3.42、2.63、2.87、2.71。

3.3 面狀信息幾何屬性對不同分形維數(shù)的影響

整理上述3種分形維數(shù)計算方法(表3)，發(fā)現(xiàn)在考慮分區(qū)結(jié)構(gòu)圖形幾何屬性情況下的綴塊指數(shù)和分形維數(shù)與之前的盒維數(shù)并不對應(yīng)，主要指較適宜性分區(qū)的綴塊指數(shù)或分維值低于其他3項。

表3 面狀幾何信息參數(shù)Tab.3 Parameters of surface geometrical information

這是由于較適宜性分區(qū)主要分布在河流南北岸的一級階地和部分二級階地。地層巖性上部主要為淺黃、棕黃色砂質(zhì)黏土，孔隙發(fā)育，疏松可塑； 下部巖性主要是中粗砂和砂礫石夾砂質(zhì)黏土層。該地段地下水的抽灌條件相對較好，為采用地下水地源熱泵系統(tǒng)的較適宜區(qū)。因此，整個較適宜性分區(qū)呈大片區(qū)狀，邊界不復(fù)雜，貫通性好。

適宜區(qū)主要分布在河流漫灘和部分一級階地上，為地質(zhì)條件簡單強富水帶地區(qū)，地層巖性上部為粉質(zhì)砂土，疏松，孔隙發(fā)育，具微層理，偶見瓦礫碎片； 下部為含礫中粗砂。地層導(dǎo)水性好且地下水埋深適中，單井回灌水量與單位涌水量比值大于80%，適宜地下水抽灌，多年平均水位下降量小，為采用地下水地源熱泵系統(tǒng)的適宜區(qū)。但考慮到本區(qū)中包含數(shù)個水源地，參照淺層地?zé)崮苷{(diào)查規(guī)范，在地下水適宜性評價過程中，水源地規(guī)劃區(qū)直接列入不適宜區(qū)，導(dǎo)致適宜區(qū)整體結(jié)構(gòu)破碎，邊界復(fù)雜化。

地下水地源熱泵不適宜區(qū)一部分分布于調(diào)查區(qū)南部河流二級階地及黃土塬區(qū)，富水性較差，而且本區(qū)二級階地頂部為一層砂質(zhì)黏土，連續(xù)性好，層位穩(wěn)定，透水性弱； 另一部分為河流一級階地和漫灘處的數(shù)個水源(圖5)。

圖5 渭南市淺層地?zé)崮艿叵滤m宜性分區(qū)Fig.5 Suitability division of shallow geothermal groundwater in Weinan

盒子維數(shù)的思想與實現(xiàn)都較簡便，但在實際計算過程中由于一個小盒內(nèi)只要包含了分形圖形的一個臨界點或者圖形面積占小盒面積的一半以上，該小盒就將被視為非空小盒，因此對計算結(jié)果的精準度影響較大，不能精準地反映分形圖形的內(nèi)部不均勻性[11]。面積-周長法或綴塊指數(shù)充分考慮了圖形邊界的曲折程度，較符合面狀信息的實際幾何屬性。

4 結(jié)論

淺層地?zé)崮荛_發(fā)利用適宜性分區(qū)是資源調(diào)查評價工作的主要內(nèi)容，根據(jù)城區(qū)工程地質(zhì)、水文地質(zhì)等分區(qū)條件，利用指標法確定淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)，評價結(jié)果科學(xué)準確，能客觀反映評價區(qū)開發(fā)利用適宜性特征。借用分形原理將已有研究中所采用的還原論方法即線性問題處理方法轉(zhuǎn)換為更符合地質(zhì)條件本質(zhì)特征的非線性處理方法，通過對比不同分形維數(shù)計算方法下的淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)，量化了不規(guī)則的適宜性分區(qū)圖形，探討了面狀地形地貌信息幾何屬性對分維值的影響，對分形理論的實際應(yīng)用和淺層地?zé)崮艿拈_發(fā)工作都有較強的理論和實際意義。

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(責(zé)任編輯： 常艷)

Fractal theory of suitability zoning structure of shallow geothermal energy

ZHOU Yang1， DENG Niandong2， WANG Feng3, MU Genxu1, LIU Jianqiang1

(1.ShaanxiGeologicalSurveyCenter，Xi’an710068，China; 2.CollegeofGeologyandEnvironment,Xi’anUniversityofScienceandTechnology,Xi’an710054,China; 3.HubeiWingYiplineassessmentConsultingCo.Ltd,Wuhan430000,China)

Shallow geothermal energy, as a new environmentally friendly energy that can be regenerated, has broad prospects in the development and utilization. The reductionism method which has been used in studying linear problems, can be converted into the nonlinear processing method which is more in line with the geological conditions of nature by using the fractal theory because of the complicated regional geological conditions. This article discusses the fractal dimension of suitability zoning structure of shallow geothermal energy occurrence conditions and the relationship between the fractal dimension and size. Besides, the impact of the geometric properties of the planar landform on the fractal dimension values is also discussed. This research shows that shallow geothermal energy suitability zoning structure have obvious fractal characters, and its fractal dimension reflects the tortuous degree of suitability zoning outline. And the fractal number and the irregular degree of contour line established a positive relation. This article provides a new method to deal with the nonlinear problem for shallow geothermal energy investigation and evaluation, and has a strong theoretical and practical significance in application of fractal theory and shallow geothermal energy development.

shallow geothermal energy; suitability; fractal principle

10.19388/j.zgdzdc.2017.01.03

周陽，鄧念東，王鳳，等.淺層地?zé)崮苓m宜性分區(qū)結(jié)構(gòu)的分形原理[J].中國地質(zhì)調(diào)查,2017,4(1): 18-23.

2016-05-16；

2016-07-19。

陜西省公益性地質(zhì)調(diào)查專項“陜西省大中型城市淺層地?zé)崮苷{(diào)查評價(編號： 公益[2013]02-02)”項目資助。

周陽(1986—)，男，碩士，工程師，主要從事水文地質(zhì)、工程地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)工作與研究。Email： 77196410@qq.com。

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2095-8706(2017)01-0018-06