■山東省墾利第一中學(xué) 許茹悅

計(jì)數(shù)問題探究中的“多種思維方法”

■山東省墾利第一中學(xué) 許茹悅

計(jì)數(shù)問題種類繁多,方法多變,但無(wú)外乎元素與位置的關(guān)系問題。是先考慮“元素”,還是先考慮“位置”,或是將“元素”與“位置”綜合起來(lái)考慮,就衍生出眾多的解題策略與思維方法。只要把握住最基本、最常見的原理和方法,挖掘和提煉典型題目求解過程中所蘊(yùn)含的多種思維方法,就能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變,從而有效地提高解決問題的準(zhǔn)確性。

一、數(shù)字組成中的“多種思維方法”

例1 在由數(shù)字0、1、2、3、4、5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,不能被5整除的數(shù)共有___個(gè)。

解法1：特殊元素優(yōu)先法分類。根據(jù)所求四位數(shù)對(duì)0和5兩個(gè)元素的特殊要求將其分為四類:①含0不含5,先安排0的位置填空位,共有4 8(個(gè));②含5不含0,安排5的位置填空位,共有③含0也含5,先安排0和5的位置填空位,共有=4 8(個(gè));④ 不合0也不含5,共有=2 4(個(gè))。所以,符合條件的四位數(shù)共有4 8+7 2+4 8+2 4=1 9 2(個(gè))。

解法2：特殊位置優(yōu)先法分步。根據(jù)所求四位數(shù)對(duì)首末兩位置的特殊要求可分三步:第一步:排個(gè)位,有種方法;第二步;排首位,有種方法;第三步:排中間兩位,有種方法。所以符合條件的四位數(shù)共有

解法3：間接法。數(shù)字0、1、2、3、4、5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有能被5整除的數(shù)有兩類:個(gè)位數(shù)為0的有6 0(個(gè));個(gè)位數(shù)為5的有4 8(個(gè))。故符合條件的四位數(shù)共有3 0 0-6 0-4 8=1 9 2(個(gè))。

反思：數(shù)字組成常常圍繞“首末位、特殊元素0、奇偶性、整除或互質(zhì)關(guān)系、大小關(guān)系”等展開,求解的思維方法,要么特殊元素優(yōu)先法分類,要么特殊位置優(yōu)先法分步,還可以應(yīng)用間接法求解。試回味本題探究中的三種思維方法。

二、排隊(duì)問題中的“多種思維方法 ”

例2 甲、乙、丙、丁等七人排成一排,要求甲在中間,乙、丙相鄰,丁不在兩端,則不同的排法共有____種。

解法1：特殊元素,優(yōu)先排列。甲、乙、丙、丁等七人按要求排成一排后,從左至右依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7。顯然,甲必須排在4的位置上,依據(jù)丁的站位分類討論:

①當(dāng)丁站在2或6的位置時(shí),先讓乙、丙相鄰選位再排其他人,其排法有

②當(dāng)丁站在3或5的位置時(shí),先讓乙、丙相鄰選位再排其他人,排法有

則共有排法4 8+7 2=1 2 0(種)。

解法2：特殊位置,優(yōu)先考慮。依據(jù)乙、丙的站位分類討論:

①當(dāng)乙、丙站在“1與2”或“6與7”的位置時(shí),丁不在兩端,符合要求的排列法有

②當(dāng)乙、丙站在“2與3”或“5與6”的位置時(shí),丁不在兩端,符合要求的排列法有

則共有排法4 8+7 2=1 2 0(種)。

反思：排隊(duì)問題常用的思維方法:(1)元素分析法,以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素。(2)位置分析法,以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置。(3)間接法,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉。

三、錯(cuò)位排列中的“多種思維方法”

例3 有5雙不同的鞋,從中任取4只,求至少有2只配成1雙的可能取法種數(shù)。

解法1：直接分類研究。一類是4只中恰有2只配對(duì),一類是4只鞋正好配成2雙。

(1)若4只鞋正好是2雙,直接從5雙鞋中任取2雙,共有取法為=1 0(種)。

(2)取出的4只鞋子有且只有2只能配成1雙,分2步完成:第1步,從5雙鞋子中任取1雙,有種取法。第2步再分為3類:第1類,從余下的穿在左腳的4只鞋子中任取2只,有種取法;第2類,從余下的穿在右腳的4只鞋子中任取2只,有種取法;第3類,從余下的穿在左(或右)腳的4只中任取1只,再在余下的穿在右(或左)腳的和已取的不相配的3只鞋子中任取1只,有種取法,故共有1 2 0(種)取法?；蛘?如果恰好有2只配成1雙,先從5雙中取出1雙,然后在剩下的4雙中取出2雙,2雙中各取1只不配對(duì),共有取法

用分類計(jì)數(shù)原理,可得所有符合要求的取法有1 2 0+1 0=1 3 0(種)。

解法2：間接法研究。至少有2只配成1雙的對(duì)立事件就是4只均無(wú)配對(duì),先從1 0只鞋中任取4只,有種取法,其中4只鞋都不成對(duì)可以看成從5雙鞋中取4雙,每雙取出一只,共有取法用間接法可得所有符合條件的取法種數(shù)為

反思：n個(gè)不同元素a1,a2,…,an排成一排(簡(jiǎn)稱第k個(gè)位置為ak的本位),有且僅有m(m≤n)個(gè)元素不排在本位的排列稱為“錯(cuò)位排列”。特別地,如果n個(gè)元素都不在本位,即m=n時(shí),稱這樣的排列為“全錯(cuò)位排列”。對(duì)于這種配對(duì)問題,我們先處理好成對(duì)的元素,再按要求處理其他元素,這實(shí)際上也是在遵循特殊元素優(yōu)先處理的原則。

四、“至多 、至少”型問題用間接法或直接分類法

例4 從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,則共有____種不同的選法。

解法1：元素自然分組間接法求解。先選4人,再在所選4人中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,其選擇方法為種,其中服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生的對(duì)立事件為先選4個(gè)男生,再在所選4人中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,其選擇方法為是服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生的選法為

解法2：直接法分兩步完成。第一步,8名學(xué)生中選4人(至少有1名女生),其中1女3男有種選法,2女2男有種選法;第二步,分配職務(wù),4人里選2人擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)有種選法。所以共有(2×2 0+1×1 5)×1 2=6 6 0(種)選法。

反思：含有“至多 、至少”型的排列組合問題,可直接分類后分步求解,多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對(duì)立事件間接法求解,若用間接法,即排除法,僅適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況,可以提高解題的速度和準(zhǔn)確率。

例5 某校要從6個(gè)班級(jí)中選出1 0人組成一個(gè)籃球隊(duì),要求每班至少選1人參加,則這1 0個(gè)名額的不同分配方法有____種。

解法1：相同元素分配問題,用枚舉法。除每班1個(gè)名額外,其余4個(gè)名額也需要分配,其分配方案可分為五類:①4個(gè)名額都分給某一個(gè)班有種分法;②4個(gè)名額分給二個(gè)班,每班2人,有種分法;③4個(gè)名額分給二個(gè)班,一個(gè)班1人,一個(gè)班3人,有種分法;④分給三個(gè)班,一個(gè)班2個(gè),另兩個(gè)班各1個(gè),有種分法;⑤分給四個(gè)班,每班1個(gè),有種分法。故共有

五、相同元素分堆中的“多種思維方法”

解法2：相同元素分配問題,用隔板法。因?yàn)槊~之間無(wú)區(qū)別,所以可把它們視作排成一排的1 0個(gè)相同的球,要把這1 0個(gè)球分開成6段(每段至少有一個(gè)球),這樣,每一種分隔方法都對(duì)應(yīng)一種名額的分配方法,這1 0個(gè)球之間(不含兩端)共有9個(gè)空位,現(xiàn)要在這9個(gè)空位中放進(jìn)5塊隔板,共有C59=1 2 6(種)放法,故共有1 2 6種分配方法。

反思：把n個(gè)相同的小球放入m個(gè)不同的盒子中(n≥m≥1),要求每個(gè)盒子非空,有種不同放法。這種方法通常稱為“隔板原理”,它在解決一類組合應(yīng)用題時(shí)十分有用。隔板法比枚舉法簡(jiǎn)捷。涉及名額分配或相同物品的分配問題,適宜采用隔板法。

(責(zé)任編輯 王福華)