華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 張 敏 何小亞

數(shù)學(xué)教學(xué)原則的反思與重構(gòu)

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 張 敏 何小亞

針對現(xiàn)有數(shù)學(xué)教學(xué)原則的不足,依據(jù)繼承良好的歷史傳統(tǒng)、緊扣現(xiàn)代的培養(yǎng)目標(biāo)、突出數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)、具備明確的指導(dǎo)作用的思路,重構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)原則,認(rèn)為在當(dāng)下,數(shù)學(xué)教學(xué)新原則體系為:數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則,數(shù)學(xué)化原則,符號運(yùn)算與符號理解相統(tǒng)一原則,演繹推理和合情推理相統(tǒng)一原則,數(shù)學(xué)三維目標(biāo)相統(tǒng)一原則.

數(shù)學(xué)教學(xué)原則 反思 重構(gòu) 數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí) 數(shù)學(xué)化 三維目標(biāo)

1.問題的提出

作為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的核心問題之一,數(shù)學(xué)教學(xué)原則是數(shù)學(xué)教育研究和數(shù)學(xué)教育教與學(xué)的一個聯(lián)結(jié)紐帶,也是數(shù)學(xué)教育工作者一直致力于解決的重要課題.

數(shù)學(xué)教學(xué)原則是數(shù)學(xué)教育研究者通過深入研究數(shù)學(xué)教與學(xué)的規(guī)律,結(jié)合數(shù)學(xué)本質(zhì),總結(jié)出的能指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的基本要求,是一線教學(xué)工作者貫徹于教學(xué)過程的綱領(lǐng).近三十年來,隨著數(shù)學(xué)教育學(xué)科的確立,數(shù)學(xué)教學(xué)原則的研究可謂呈現(xiàn)百家爭鳴的狀況.從最初的來自于一般教育學(xué)教學(xué)原則的簡單移植,到現(xiàn)在充滿數(shù)學(xué)特色的原則或原則體系的提出,許多學(xué)者在這方面做出了很大的努力[1?6].但是,這項(xiàng)研究仍沒結(jié)束,對數(shù)學(xué)教學(xué)原則仍值得進(jìn)一步思考.

本世紀(jì)初,我國頒布了中小學(xué)數(shù)學(xué)課程新標(biāo)準(zhǔn),對課程目標(biāo)和教學(xué)理論都作出了重大的改革,在新的歷史階段,又有不少學(xué)者提出了新的觀點(diǎn):如何小亞(2014)認(rèn)為[7]:數(shù)學(xué)教學(xué)原則是符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律,體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作準(zhǔn)則.張紅提出新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)新原則:數(shù)學(xué)雙基滲透思想方法的原則;數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力相互促進(jìn)的原則;特殊性數(shù)學(xué)能力和一般性數(shù)學(xué)能力相互交融的原則;數(shù)學(xué)知識能力和數(shù)學(xué)情感態(tài)度相互協(xié)調(diào)的原則[8].當(dāng)前影響較大的數(shù)學(xué)教學(xué)原則是張奠宙先生提出的四項(xiàng)原則:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化原則;適度形式化原則;問題驅(qū)動原則;滲透思想方法原則[9].該原則突出數(shù)學(xué)學(xué)科特征,從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際過程的角度進(jìn)行擬定,是數(shù)學(xué)教學(xué)原則研究的一項(xiàng)有意義的成果.

但是在仔細(xì)研讀文獻(xiàn)[9]中關(guān)于該四項(xiàng)原則的內(nèi)容時,仍感覺有幾點(diǎn)困惑:

困惑1 什么是數(shù)學(xué)教學(xué)原則,它包括什么內(nèi)容?

困惑2 書中將數(shù)學(xué)化定義為“數(shù)學(xué)化,就是學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)考察現(xiàn)實(shí),運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決問題”合適嗎?

困惑3將形式化的內(nèi)容界定為“數(shù)學(xué)的形式化包括“符號化、邏輯化和公理化”三個層面”合適嗎?

困惑4 所提的“適度形式化原則”在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何適度?如何操作?由此提出以下三個研究問題:

問題1現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教學(xué)原則存在什么問題?

問題2按照什么思路去重構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)原則?

問題3數(shù)學(xué)教學(xué)原則新體系應(yīng)該包括哪些內(nèi)容?

2.數(shù)學(xué)教學(xué)原則的反思

2.1 反思之一:“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化原則”到底想說什么?

1.什么是數(shù)學(xué)化?

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化原則來源于Freudenthal提出的“數(shù)學(xué)化原則”.文獻(xiàn)[9]中認(rèn)為數(shù)學(xué)化的定義是:數(shù)學(xué)化,就是學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)考察現(xiàn)實(shí),運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決問題.”[9,p84]實(shí)際上,這一定義也許沒有很好體現(xiàn)Freudenthal的原意,或者說并不能全面地解釋數(shù)學(xué)化的真實(shí)涵義,反而容易引起歧義,讓人以為數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)就是解決問題.

其實(shí),Freudenthal所說的數(shù)學(xué)化(mathematization)是整理現(xiàn)實(shí)性的過程,它包括數(shù)學(xué)家的全部組織活動,比如公理化、形式化 (符號化)、圖式化、建模,以及數(shù)學(xué)內(nèi)部由低級向高級的推動過程[3,p42?50]. 這里的“現(xiàn)實(shí)性(reality)”是指真實(shí)世界(real-world)和數(shù)學(xué)世界(math-word)的總和,而不是望文生義簡單地理解為真實(shí)世界(現(xiàn)實(shí)世界).公理化(axiomatization)是指從少數(shù)不加定義的原始概念和不加證明的公理出發(fā),運(yùn)用邏輯推理規(guī)則把一門學(xué)科建立成為演繹系統(tǒng)的過程.形式化(formalization)是指“用日益有效的符號對語言的整理、修正和轉(zhuǎn)化的過程[3,p43].”而關(guān)于圖式化,Freudenthal在介紹完公理化、形式化后,是這樣形容的:“人們早已習(xí)慣于把經(jīng)歷和行為示范性地推廣,從中抽象出定律和規(guī)則.形成與現(xiàn)實(shí)的體系相吻合的圖式.最后一步就是圖式化,它和公理化、形式化相對應(yīng),尤其是當(dāng)考慮的是內(nèi)容而不是抽象的形式或語言的時候[3,p43]”.因此,可以認(rèn)為,圖式化就是形式內(nèi)容的內(nèi)化過程,其結(jié)果是一種心理意義,即心理結(jié)構(gòu).

建模(modeling)是數(shù)學(xué)化的一個方面,在Freudenthal的術(shù)語觀中,模型是不可缺少的一種中介,建模就是用模型把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)或理論來理想化或簡單化,從而更易于進(jìn)行形式的數(shù)學(xué)處理[3,p47].

數(shù)學(xué)化被分成兩種:一種是水平數(shù)學(xué)化(horizontal mathematization),這種數(shù)學(xué)化的過程是從背景中識別數(shù)學(xué)—圖式化—形式化—尋找關(guān)系和規(guī)律—識別本質(zhì)—對應(yīng)到已知的數(shù)學(xué)模型(現(xiàn)實(shí)的,經(jīng)驗(yàn)的).因此,水平數(shù)學(xué)化過程就是從“生活世界”到“符號世界”的轉(zhuǎn)化過程.另一種數(shù)學(xué)化是垂直數(shù)學(xué)化(vertical mathematization):是水平數(shù)學(xué)化后的數(shù)學(xué)化,是從低層數(shù)學(xué)到高層數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)化.因此,垂直數(shù)學(xué)化是指在符號世界里,符號的生成、重塑和被使用[10].

2.什么是數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)?

文獻(xiàn)[9]寫道:“當(dāng)我們面對一個情境,如果是一個小學(xué)生,必須會區(qū)分該情境究竟是“加法”問題,還是“減法”問題;一個中學(xué)生則要看得出這是方程問題呢,還是函數(shù)問題?也許它是一個概率問題,或者可以歸結(jié)為一個幾何問題.接著,還要判斷這個問題是否有解,如何解,解答是否符合實(shí)際,不斷調(diào)整和反思.這種數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí),和單純記憶“知識點(diǎn)”,背誦題型,搞題海戰(zhàn)術(shù)的教學(xué)是不同的[9,p84?85].”然而,兩者有何不同,這就是數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)?

根據(jù)前面的討論,我們認(rèn)為,數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程,即學(xué)習(xí)如何進(jìn)行公理化、形式化(符號化)、圖式化、建模,以及學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部由低級向高級的發(fā)展過程.

3.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)化是什么關(guān)系?數(shù)學(xué)化能力是什么?

文獻(xiàn)[9]認(rèn)為:數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)建模有密切關(guān)系,但并沒有給出“密切關(guān)系”的內(nèi)容[9,p85].而根據(jù)上文的分析,可以知道數(shù)學(xué)建模已經(jīng)作為數(shù)學(xué)化的一種形式,而不只是“密切關(guān)系”的問題.而且,既然數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)化的一種形式,則建模的過程也應(yīng)當(dāng)有水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化的內(nèi)容.

文獻(xiàn)[9]認(rèn)為:“數(shù)學(xué)化能力是由數(shù)學(xué)的抽象、形式化的語言特征決定的一種特殊能力.用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題,首先就是要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)語言描述的數(shù)學(xué)模式[9,p85].”我們認(rèn)為:數(shù)學(xué)化能力包括水平數(shù)學(xué)化能力和垂直數(shù)學(xué)化能力,數(shù)學(xué)建模能力是這兩種能力的綜合體現(xiàn).

2.2 反思之二:什么是適度形式化原則?

文獻(xiàn)[9]對數(shù)學(xué)的形式化的說明是:數(shù)學(xué)的形式化包括“符號化、邏輯化和公理化”三個層面[9,p85?86].這與Freudenthal的定義相差太遠(yuǎn),上文已解釋形式化是指用日益有效的符號對語言的整理、修正和轉(zhuǎn)化的過程[3,p43].

在文獻(xiàn)[9]第85頁“2.適度形式化原則”部分,第1段講了形式化的作用;第3、4、5段全部講的是符號化的問題,在最后一段講了形式化不能走極端問題,也就是說,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該追求符號的理解而不能只會演算操作.所以,這一條原則應(yīng)該是理解符號的原則.另外,通篇沒有談到如何“適度”的問題?缺乏實(shí)踐操作性,一線教師難以落實(shí)!

2.3 反思之三:什么是問題驅(qū)動原則?

在文獻(xiàn)[9]第86頁“3.問題驅(qū)動部分”,第1段講了問題的重要性;第2段:“作為對照,語文教學(xué)則更多以閱讀為基礎(chǔ),用情意驅(qū)動,體會表達(dá)思想感情的方式方法,借以抒發(fā)自己的內(nèi)心感受,并達(dá)到與別人進(jìn)行交流的目的;歷史教學(xué),則是以歷史事實(shí)的敘述和評論為線索展開,最終形成正確的歷史觀.至于物理、化學(xué)、生物等學(xué)科,雖然也要揭示大自然的奧秘,解答許許多多的問題,但是它們多半從自然現(xiàn)象和實(shí)驗(yàn)結(jié)果出發(fā),以物質(zhì)運(yùn)動的各種形態(tài)的研究為依歸.以上學(xué)科中雖然也有許多問題,但是不能以“問題驅(qū)動”為原則進(jìn)行教學(xué).”這里如此肯定地認(rèn)為其他學(xué)科不能以“問題驅(qū)動”為原則進(jìn)行教學(xué)似乎證據(jù)不足.因?yàn)閱栴}驅(qū)動學(xué)習(xí)(PBL)是一種以專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的各種問題為學(xué)習(xí)起點(diǎn),以問題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容,讓學(xué)生圍繞問題尋求解決方案的一種學(xué)習(xí)方法.退一萬步,其它學(xué)科不是以“問題驅(qū)動”為原則也說明不了數(shù)學(xué)教學(xué)就要有這一原則.

中國的數(shù)學(xué)教學(xué)一直都是用大量的問題來驅(qū)動的,不是嗎?— 講很多數(shù)學(xué)題,做很多數(shù)學(xué)作業(yè)題,練很多復(fù)習(xí)題,當(dāng)今大行其道的學(xué)案中不就是—題!題!!題!!!一直以來“解題教學(xué)”是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng),其優(yōu)點(diǎn)自然不必重復(fù),但當(dāng)今它已經(jīng)退化為了“為應(yīng)試而教”.我們的解題教學(xué)中的問題范圍太窄.其實(shí),數(shù)學(xué)問題可以分成三大類別:純正的數(shù)學(xué)問題;真實(shí)的實(shí)際問題;數(shù)學(xué)應(yīng)用題(我們把它叫做部分理想化的實(shí)際問題).我們的解題教學(xué)層次不高,為考試而講題、練題,非常缺乏問題解決教學(xué)!

2.4 反思之四:滲透數(shù)學(xué)思想方法原則的內(nèi)容是什么?

這一條原則講了“在數(shù)學(xué)教學(xué)中注意內(nèi)容的彼此關(guān)聯(lián),努力滲透并提煉數(shù)學(xué)思想方法,是我們應(yīng)當(dāng)努力運(yùn)用的原則.”但在“第五節(jié)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)”中[9,p94?98],卻是思想少,方法多!中國的數(shù)學(xué)教育十分熱衷于解法研究,教學(xué)現(xiàn)狀是重解題方法,輕數(shù)學(xué)思想.一題多解大行其道就是明證.數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵外延等基礎(chǔ)研究仍然十分薄弱,缺少可行性,因?yàn)橹两裆形唇鉀Q核心問題:到底在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)該滲透哪些數(shù)學(xué)思想?因此,這條原則的落實(shí)任重道遠(yuǎn)!!

2.5 反思后的幾點(diǎn)結(jié)論

根據(jù)上文分析,文獻(xiàn)[9]中所提的以上四條教學(xué)原則:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化原則;適度形式化原則;問題驅(qū)動原則;滲透數(shù)學(xué)思想方法原則,從某種角度上講,不但沒有超越Freudenthal的教學(xué)原則,反而表現(xiàn)出以下幾方面的遺憾:

1.最有價值的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則”去掉了

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí),也必須寓于現(xiàn)實(shí),并且用于現(xiàn)實(shí).按照Freudenthal的原意,這里的現(xiàn)實(shí)是指真實(shí)世界+數(shù)學(xué)世界+想象出來的世界(Rea1istic=Real-world+Formal-world of mathe+Imagination).

每個人都有自己的一套“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.即“每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算方法、規(guī)則和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)”,其中,既含有客觀世界的現(xiàn)實(shí)情況,也包含個人用自己的數(shù)學(xué)水平觀察這些事物所獲得的認(rèn)識.

數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)開始,現(xiàn)實(shí)在不斷地?cái)U(kuò)展,教師的任務(wù)就在于,確定各類學(xué)生在不同階段所必須達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,并隨著學(xué)生們所接觸的客觀世界越來越廣泛,了解并掌握學(xué)生所實(shí)際擁有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,從而據(jù)此采取相應(yīng)的方法,予以豐富,予以擴(kuò)展,以逐步提高學(xué)生所具有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的程度并擴(kuò)充其范圍.

數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)開始,體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的建構(gòu)主義教學(xué)觀,建構(gòu)主義者強(qiáng)調(diào),要把當(dāng)前的學(xué)習(xí)內(nèi)容盡量與以前的經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系,并對這種聯(lián)系認(rèn)真地思考.“聯(lián)系”與“思考”是意義建構(gòu)的關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分地聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的不可缺的原則.

2.“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化原則”值得商榷

將數(shù)學(xué)化定義為“學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)考察現(xiàn)實(shí),運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決問題.”是對Freudenthal和Treffers所說的“數(shù)學(xué)化”意義的誤解.數(shù)學(xué)化分水平數(shù)學(xué)化與垂直數(shù)學(xué)化,前者是從真實(shí)世界到符號世界的過程.后者是符號世界內(nèi)部,從低層數(shù)學(xué)發(fā)展到高層數(shù)學(xué)的過程,是在符號世界里,符號的生成、重塑和被使用.他認(rèn)為形式化、公理化及模式化等這些發(fā)展數(shù)學(xué)的過程都是數(shù)學(xué)化的過程,并認(rèn)為:“任何數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué)化的結(jié)果,不存在沒有數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué),不存在沒有公理化的公理,也不存在沒有形式化的形式.”

數(shù)學(xué)化原則要求教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情境.創(chuàng)設(shè)情境(何小亞,2014),就是為數(shù)學(xué)教學(xué)的順利展開而設(shè)置鋪墊.這種鋪墊既包括真實(shí)世界的內(nèi)容,也包括形式世界(或想象出來的形式)的內(nèi)容,而且還可能包括其它學(xué)科的內(nèi)容.因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中不能把“創(chuàng)設(shè)情境”僅僅局限于簡單的聯(lián)系生產(chǎn)、生活實(shí)際.

事實(shí)上,為了學(xué)習(xí)一個更高級的數(shù)學(xué),以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),設(shè)置一些相關(guān)的純數(shù)學(xué)內(nèi)容為鋪墊,也是一種非常高效的“創(chuàng)設(shè)情境”[11].

對數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)性的、重要的、抽象的數(shù)學(xué)概念,應(yīng)按照水平數(shù)學(xué)化的方式進(jìn)行教學(xué);對于已經(jīng)形式化的數(shù)學(xué),可按照垂直數(shù)學(xué)化的方式進(jìn)行.而有些內(nèi)容則需要用到兩種方式.例如“對數(shù)”概念引入教學(xué)的對比分析[12].

3.“適度形式化原則”的提法太虛,缺乏實(shí)操性

首先,此條原則提法太虛,什么是適度,什么是不適度?在數(shù)學(xué)教學(xué)中,老師們該如何把握適度,如何操作?

自然界的一切生命活動都是在能量的支撐下進(jìn)行的，能量是由細(xì)胞呼吸產(chǎn)生的，所有存在生命的地方都與細(xì)胞呼吸息息相關(guān)，可以說細(xì)胞呼吸也是生物中的重要組成部分。而細(xì)胞呼吸在人們的日常生活中也是隨處可見的。例如，釀酒工藝是通過酵母的無氧呼吸來進(jìn)行發(fā)酵的；水果蔬菜在真空包裝中能夠存儲較長時間；糧食曬干后延長儲存時間，通過降低周圍環(huán)境的問題來提高食物的存儲時間。以上種種都是通過抑制食品的呼吸來起到延長儲存時間的目的。另外，在種植植物之前人們通常會翻松土壤，保證土壤的透氣性；在種植棉花時會通過覆蓋地膜的方式來提高溫度，進(jìn)而充分利用光能可以進(jìn)行科學(xué)密植，這是利用細(xì)胞呼吸的重要作用來幫助植物能夠更好地生長[3]。

其次,作者將形式化解釋為“用一套表意的數(shù)學(xué)符號,去表達(dá)數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)和規(guī)律,從而把對具體數(shù)學(xué)對象的研究轉(zhuǎn)化為對符號的研究,并生成演繹的體系.這就是數(shù)學(xué)的形式化.”這一界定表明,形式化就是符號化.

第三,該原則的最后一段說明:數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該追求符號的理解,不能只會演算操作.

因此,建議把適度形式化原則改為符號理解的原則.

4.“滲透數(shù)學(xué)思想方法原則”并不新,厚此薄彼

這一原則其實(shí)就是人們常說的“第三基”,但因其內(nèi)容較空,思想少,方法多,數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵外延等基礎(chǔ)研究仍然十分薄弱,缺少可行性,因?yàn)橹两裆形唇鉀Q核心問題:到底在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)該滲透哪些數(shù)學(xué)思想?

既然早已有的“第三基”可以作為教學(xué)原則,那么為什么不把“第四基”—積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)也應(yīng)該做為數(shù)學(xué)教學(xué)原則之一呢?

3.數(shù)學(xué)教學(xué)原則的重構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)原則的確立本來就是一個不斷發(fā)展的過程,在每個時期所提出的原則都凝聚著數(shù)學(xué)教育家們的無數(shù)智慧.張奠宙先生所提出的四項(xiàng)數(shù)學(xué)教學(xué)原則為在新時期下研究數(shù)學(xué)教學(xué)原則指出了新的方向,但是我們對其深入的內(nèi)在含義及可操作性還存在一些困惑,四項(xiàng)原則從整個體系來說還存在一些不夠完善的地方.因此,依據(jù)“繼承良好的歷史傳統(tǒng),緊扣現(xiàn)代的培養(yǎng)目標(biāo),突出數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn),具備明確的指導(dǎo)作用”的思路,重構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)原則體系為:數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則;數(shù)學(xué)化原則;符號運(yùn)算與符號理解相統(tǒng)一的原則;演繹推理和合情推理相統(tǒng)一的原則;數(shù)學(xué)三維目標(biāo)相統(tǒng)一的原則.

3.1 數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則

正如前文所述,這是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)性原則.根據(jù)Freudenthal的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí),寓于現(xiàn)實(shí),并用于現(xiàn)實(shí).數(shù)學(xué)教學(xué)首先應(yīng)以學(xué)生現(xiàn)有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”作為出發(fā)點(diǎn),并能預(yù)期學(xué)生在接受教學(xué)后所應(yīng)當(dāng)擁有的新的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程基本理念中也強(qiáng)調(diào),教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),面向全體學(xué)生,注重啟發(fā)式和因材施教[13].這也是與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則相輔相成的.

3.2 數(shù)學(xué)化原則

這是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心性原則.數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程,即學(xué)習(xí)如何進(jìn)行公理化、形式化(符號化)、圖式化、建模,以及學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部由低級向高級的發(fā)展過程.所有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)化的過程.數(shù)學(xué)化的對象是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),學(xué)生從原有“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”水平到達(dá)新的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”水平之間所經(jīng)歷的過程就是數(shù)學(xué)化的過程.由于學(xué)生間的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)不同,數(shù)學(xué)化的層次也有所不同.通過水平數(shù)學(xué)化,學(xué)生可以把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從生活世界引入到符號世界.更深層次,通過垂直數(shù)學(xué)化學(xué)生可以在符號世界中構(gòu)造自己的數(shù)學(xué)體系.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終的目的不應(yīng)該是僅讓學(xué)生擁有一個充滿數(shù)學(xué)知識的頭腦,而更應(yīng)該是讓學(xué)生擁有一個具備的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的頭腦.而數(shù)學(xué)化正是實(shí)現(xiàn)這種目標(biāo)的有效途徑,通過這兩種水平的數(shù)學(xué)化過程,學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以親身感知數(shù)學(xué)發(fā)展的過程,對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力有莫大的益處.

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科,具體與抽象相結(jié)合的教學(xué)方式是數(shù)學(xué)教育工作者們一直以來所推崇的教學(xué)模式.數(shù)學(xué)化方法正是運(yùn)用這種教學(xué)方式的有效工具.當(dāng)學(xué)生的能力還達(dá)不到在抽象的符號世界中理解數(shù)學(xué)概念及原理時,可以先從具體的生活世界出發(fā),通過水平數(shù)學(xué)化的方法,引入至抽象的符號世界中,比如情景教學(xué)就是這種數(shù)學(xué)化方法的很好的體現(xiàn).

3.3 符號運(yùn)算與符號理解相統(tǒng)一原則

這是對文獻(xiàn)[9]中的“適度形式化原則”的修正.我們不否認(rèn)形式化是數(shù)學(xué)的特征,而這種形式化最終卻是用符號進(jìn)行表達(dá).數(shù)學(xué)是用數(shù)字、字母和運(yùn)算符號,依照邏輯聯(lián)結(jié),描述數(shù)量關(guān)系和空間形式的知識體系.可以說,數(shù)學(xué)的世界就是一個符號化的世界[14].數(shù)學(xué)離不開符號,數(shù)學(xué)處處要用到符號.英國著名數(shù)學(xué)家羅素(B.Russell,1872-1970)說過:“什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)就是符號加邏輯”,而實(shí)際上,邏輯最終仍然是通過符號進(jìn)行表達(dá),可見符號在數(shù)學(xué)中的地位.因此,培養(yǎng)學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行組織和表達(dá)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要的任務(wù).

這里要注意符號表達(dá)的一個嚴(yán)謹(jǐn)性問題.嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本特點(diǎn).任何一個數(shù)學(xué)結(jié)論都應(yīng)當(dāng)以嚴(yán)謹(jǐn)正確的語言進(jìn)行敘述.但是,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,對這種嚴(yán)謹(jǐn)性的要求在不同的學(xué)習(xí)階段時可以適當(dāng)放寬.Freudenthal曾經(jīng)說過:嚴(yán)謹(jǐn)性是有層次的,每一個題材存在著適合它的嚴(yán)謹(jǐn)性層次;學(xué)生應(yīng)該通過這些層次而獲得他們的嚴(yán)謹(jǐn)性.數(shù)學(xué)家也應(yīng)根據(jù)不同的嚴(yán)謹(jǐn)性層次進(jìn)行運(yùn)算[15].比如,對于極限的定義,中學(xué)教材中并沒有采用數(shù)學(xué)分析中所采用的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹唉?N”定義法,而采用學(xué)生易于理解的以“無限趨向于”這樣的術(shù)語來定義,從嚴(yán)謹(jǐn)性的角度來看,后者當(dāng)然不及前者,但卻符合中學(xué)生學(xué)習(xí)的年齡特點(diǎn).若硬是采用“ε?N”定義法,讓學(xué)生死記硬背概念,而不理解這些符號所代表的含義,則并不是有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

因此,符號的合理正確的運(yùn)用,固然能使數(shù)學(xué)體系更加系統(tǒng),簡明和嚴(yán)謹(jǐn).但是,我們也要重視學(xué)生在不同的學(xué)習(xí)階段對符號的理解,采用適合于學(xué)生程度的符號體系進(jìn)行教學(xué).若不理解符號所表達(dá)的數(shù)學(xué)內(nèi)容的真正內(nèi)涵,則嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆柋磉_(dá)對學(xué)生來說也只是一堆枯燥無味、毫無意義的陳述.故在符號教學(xué)中我們強(qiáng)調(diào)符號表達(dá)和符號理解兩者不能厚此薄彼,既強(qiáng)調(diào)符號的正確運(yùn)用和表達(dá),也強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)背景下的符號理解,即符號運(yùn)算和符號理解相統(tǒng)一.符號運(yùn)算與符號理解相統(tǒng)一原則是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本性原則.

3.4 演繹推理與合情推理相統(tǒng)一原則

毋庸置疑,數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的推理能力的一門有用的學(xué)科.但長久以來,人們一直在數(shù)學(xué)教學(xué)中過分關(guān)注演繹推理能力的培養(yǎng),認(rèn)為這種推理能力才是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的最好詮譯.

數(shù)學(xué)確實(shí)需要演繹推理,但從科學(xué)發(fā)現(xiàn)的角度來說,更需要合情推理.合情推理是符合情理(經(jīng)驗(yàn))但并不具有必然性的推理.

大多數(shù)數(shù)學(xué)概念的提出和數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn),先是通過合情推理的方式提出假說,然后經(jīng)過演繹推理論證才得出.由于我們過去太注重形式運(yùn)演的演繹推理,忽視了科學(xué)發(fā)現(xiàn)的合情推理,所以我們的學(xué)生習(xí)慣于解答別人給的現(xiàn)成問題,學(xué)得越多,就越來越不會發(fā)現(xiàn)、提出問題和解決真正的問題[16].

我國數(shù)學(xué)教育貌似很強(qiáng),不管是國際學(xué)生評估項(xiàng)目PISA測試,還是國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中,我國學(xué)生在國際上的排名都是遙遙領(lǐng)先.但是我國能稱得上國際上的頂級數(shù)學(xué)家的卻極其匱乏,各門自然學(xué)科的諾貝爾獎得主也仍未出現(xiàn)中國大陸學(xué)者的身影.其中一個很重要的原因,我們的教育缺乏對學(xué)生的創(chuàng)新思維的培養(yǎng),只教會學(xué)生怎么解題,而且是解有固定答案的現(xiàn)成的題,而缺乏發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

要改變這種狀況，我們應(yīng)當(dāng)把合情推理的教學(xué)擺在一個極其重要的層面上.合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視的兩種推理.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)做到演繹推理和合情推理相統(tǒng)一,這是數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)新要求.

3.5 數(shù)學(xué)三維目標(biāo)相統(tǒng)一原則

雖然數(shù)學(xué)新課程改革實(shí)施了十余年,但“知識+解題能力”的應(yīng)試教育依然大行其道,素質(zhì)教育仍未得到真正落實(shí).素質(zhì)教育缺失的原因可歸結(jié)為如下三點(diǎn):一是筆試成績作為評價學(xué)生、老師、校長、局長、縣長、市長表現(xiàn)的唯一標(biāo)準(zhǔn);二是兩個數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)及其解讀對三維目標(biāo)的內(nèi)涵、要素和要求都沒有進(jìn)行操作性的界定;三是數(shù)學(xué)教學(xué)中三維目標(biāo)的缺失.

另一方面,當(dāng)前國際數(shù)學(xué)教育改革的大趨勢是以培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為根本目的.雖然關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義仍沒有完全統(tǒng)一,但有一點(diǎn)是國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育研究均達(dá)成共識的:僅有豐富數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能不能稱為具有數(shù)學(xué)素養(yǎng),而更應(yīng)包含有數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)情感等因素.何小亞(2015)認(rèn)為:數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指學(xué)生為了滿足自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力,是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價值觀的綜合體.按照學(xué)生獲得的先后順序和難易程度,數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)水平可以由低到高分成三個層次:數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)過程與方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀[17].

因此,我們提出數(shù)學(xué)三維目標(biāo)相統(tǒng)一的原則,對三維目標(biāo)不能厚此薄彼.

在這三維目標(biāo)中,知識與技能指的是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)基本技能.是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求.

過程與方法是指通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,把握數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)能力,發(fā)展數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識,提高問題解決能力[18].學(xué)生通過親身經(jīng)歷和體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動,參與數(shù)學(xué)的觀察、猜測、驗(yàn)證、推理與交流、抽象與概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理,還有反思與建構(gòu)等活動方式,從而達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的意會、理解.通過這種活動經(jīng)驗(yàn)的積累,感悟數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,學(xué)生的思維能力,創(chuàng)新能力以及解決問題的能力獲得提高.

情感態(tài)度與價值觀中,情感是指在數(shù)學(xué)活動過程中的比較穩(wěn)定的情緒體驗(yàn).數(shù)學(xué)態(tài)度是指喜歡與否、看法立場,包括數(shù)學(xué)學(xué)科的態(tài)度(數(shù)學(xué)信念),對數(shù)學(xué)的興趣,對數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的態(tài)度.價值觀則包括宏觀的價值觀和數(shù)學(xué)審美觀.情感態(tài)度價值觀屬于內(nèi)隱的心理結(jié)構(gòu),不是明確知識,而是意會知識,無法通過傳授而直接獲得,必須通過學(xué)生的過程學(xué)習(xí)間接獲得[18].這是三維目標(biāo)中最難實(shí)現(xiàn)的目標(biāo),但卻應(yīng)該是三維目標(biāo)中的最高目標(biāo).一個擁有豐富的數(shù)學(xué)知識,具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力的人,卻不一定是一個喜愛數(shù)學(xué)的人.學(xué)生有可能把學(xué)習(xí)(學(xué)好)數(shù)學(xué),僅當(dāng)作能實(shí)現(xiàn)另一人生目標(biāo)的踏板,比如高考中數(shù)學(xué)科目獲取高分,能使他有更多的機(jī)會選擇自己喜愛的專業(yè).完美的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)得快樂,學(xué)得自覺,學(xué)得成功,并能由心底里欣賞數(shù)學(xué)的美.

數(shù)學(xué)三維目標(biāo)相統(tǒng)一的原則是數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵性原則,是追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的教學(xué)原則,是解決“大眾不喜歡數(shù)學(xué)”[19]問題的根本性原則.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,廣大一線教師應(yīng)以學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為出發(fā)點(diǎn),通過數(shù)學(xué)化的方法引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造自己的數(shù)學(xué)世界.在數(shù)學(xué)化的過程中,培養(yǎng)學(xué)生良好的符號運(yùn)算和符號理解能力,在發(fā)展演繹推理能力的同時,不能忽視合情推理能力的提高,而數(shù)學(xué)三維目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)應(yīng)自始自終貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中.

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