劉　娟　鄧凌峰

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Matlab在線性方程組求解中的應用

劉娟鄧凌峰

（湖南科技學院 經濟與管理學院，湖南 永州 425199）

線性方程組的求解是線性代數教學的重點難點內容，學生在求解方程組的通解過程很容易在系數矩陣、增廣矩陣初等化簡為行最簡型時出現計算失誤，從而導致對方程組通解的求解錯誤。文章應用Matlab軟件實現齊次非齊次線性方程組的求解，便于學生在求解過程中的檢驗計算結果，以期提高學生理論結合實踐的動手解決問題能力。

線性方程組；解的結構；MATLAB

0　引　言

線性方程組的求解在整個線性代數的教學中非常重要。線性方程組的求解，通常采用初等變換方法求解線性方程組的通解，但是在求解過程中，存在計算難度大，計算容易出錯等問題，導致學生一步錯步步錯，不能很好的求出對應方程組的通解問題。Matlab軟件計算功能強大，可以提高學生對該門課的興趣，文章通過Matlab軟件求解線性方程組的解，以期提高學生的實踐動手能力。

1　Matlab求解齊次線性方程組

齊次線性方程組的矩陣形式為，其中是×階矩陣，是維未知列向量[1]。

（1）維零向量是方程組的解；

在Matlab中，可以調用函數null(A,'r')來求出齊次線性方程組的解。下面給出兩個實例[2]。

解：程序為

A=[1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1];

B=null(A,'r')%線性方程組的有理數解

得到：B =

1 1 5

-2 -2 -6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

再輸入：

syms k1 k2 k3; %定義符號參數

X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)

結果為

X =

k1 + k2 + 5*k3

- 2*k1 - 2*k2 - 6*k3

k1

k2

k3

解：程序為

A=[1 1 -1 1;1 2 -1 2;1 -1 1 -1;-3 2 3 1];

B=null(A, 'r')

結果為

B =

Empty matrix: 4-by-0

答：此齊次線性方程組只有零解。

2　Matlab求解非齊次線性方程組

注：克萊姆法則僅適用于未知數個數與方程個數相同的情況。

例題3 求下列非齊次線性方程組的通解(有唯一解的情形)。

解法一：逆矩陣法.程序為

A=[1 0 -1 1 ;3 0 2 1;2 -1 4 8;4 1 6 3];

b=[1 -1 0 0]';

C=[A,b];

rank(A)

rank(C)

D=det(A)

得到：ans =

4

ans =

4

D =

57

x=inv(A)*b

結果為

x =

-3/19

42/19

-32/57

34/57

解法二：克萊姆法則.程序為

A=[1 0 -1 1 ;3 0 2 1;2 -1 4 8;4 1 6 3];

b=[1 -1 0 0]';

D= det(A)

得到：D =

57

a1=[1 3 2 4]';

a2=[0 0 -1 1]';

a3=[-1 2 4 6]';

a4=[1 1 8 3]';

x1=det([b a2 a3 a4])/D;

x2=det([a1 b a3 a4])/D;

x3=det([a1 a2 b a4])/D;

x4=det([a1 a2 a3 b])/D;

X=[x1;x2;x3;x4]

結果為

x =

-0.1579

2.2105

-0.5614

0.5965

解法三：程序為

A=[1 0 -1 1 ;3 0 2 1;2 -1 4 8;4 1 6 3];

b=[1 -1 0 0]';

X=linsolve(A,b)

結果為

X =

-0.1579

2.2105

-0.5614

0.5965

解法一：程序為

A=[1 2 3 1;3 7 7 2;1 4 5 2];

b=[3;12;6];

C=[A b];

n=4;

[rank(A),rank(C)]

得到ans =

3 3

注：先判斷解的情況，rank(A)=rank(C)=3<4，方程有無窮多解.

B=null(A,'r')

x0=pinv(A)*b %或用x0=A

結果為

B =

0.5000

0

-0.5000

1.0000

x0 =

0.3333

2.0000

-0.3333

-0.3333

解法二：在Matlab中建立一個M文件：ex1如下

A=[1 2 3 1;3 7 7 2;1 4 5 2];

b=[3;12;6];

B=[A b];

n=4;

r1=rank(A);

r2=rank(B);

if(r1==r2&r1==n) %n為未知數個數，判斷是否有唯一解

X=A;

else if (r1==r2&r1

C=null(A, 'r') %求AX=0的基礎解系

x0=pinv(A)*b %求特解

else fprintf('方程組無解') %判斷是否無解

end

end

輸入命令：ex1

結果為

C =

0.5000

0

-0.5000

1.0000

x0 =

0.3333

2.0000

-0.3333

-0.3333

答：非齊次線性方程組的通解為：

，其中為任意常數。

例題5求非齊次線性方程組

解：程序為：

A=[1 1 1 1;0 1 -1 2;2 3 1 4;3 5 1 7];

b=[1 1 4 5]';

C=[A b]

[rank(A),rank(C)]

結果為：

ans =

2 3

矩陣A與矩陣C的秩不相等，故次方程組無解。

線性代數課程開設的目的是讓學生掌握行列式、矩陣的相關計算，線性方程組的通解的求解。但學生對理論理解不透徹，計算過程存在計算量大，人工手算容易出錯的問題，為了提高學生對該門課的學習興趣，根據Matlab軟件的很多優(yōu)良的性質，具備計算功能強大，應用Matlab軟件在教學方式上進行改革，提高同學們對線性代數這門課的理解，提升學生運算效率和動手能力。

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編.高等代數[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設計教程[M].北京:中國水利水電出版社,2010.

（責任編校：何俊華）

2017－06－20

劉娟（1987－），女，湖南衡陽人，碩士，講師，研究方向為時間序列。

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1673-2219（2017）10-0018-03