劉春梅

?

從《Fourier analysis: an introduction》談大學數(shù)學問題驅(qū)動教學

劉春梅

（湖南科技學院 理學院，湖南 永州 425199）

問題驅(qū)動教學在國外大學的課堂和教材中已得到廣泛應用。文章以國外優(yōu)秀教材《Fourier analysis: an introduction》為研究對象，從教學和認知兩個角度分析該教材運用問題驅(qū)動達到了突出教學主旨，合理教學安排，促進學生思考，增強實踐環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力和促進學生科學研究等目標。這將對今后的大學數(shù)學課堂教學和教材編寫等工作產(chǎn)生積極的指導作用。

大學數(shù)學教學；問題驅(qū)動；教材

1　引　言

基于問題的學習方法（Problem-based learning，PBL）可以追溯到上世紀60年代的MchMaster大學，自該大學首次提出這個概念起就風靡整個北美大陸和世界其他高校[1]Barrows和Tamblyn在上世80年代在許多醫(yī)科大學就已開始提倡含有PBL的課程改革實踐。這種方法強調(diào)以問題為學習的起點，而不像傳統(tǒng)教學那樣先學習理論知識再嘗試解決問題。正因如此，這種學習方法一經(jīng)提出就受到了各專業(yè)領域教育者的好評，并被廣泛應用于其他專業(yè)的教學和實踐中。李大潛院士于2006 年在文[2]中提出，“除了繼續(xù)有力支持由數(shù)學家探索數(shù)學奧秘的好奇心驅(qū)動的數(shù)學研究之外，還要大力提倡和推動以問題(而不是以文獻) 驅(qū)動的應用數(shù)學研究”。數(shù)學教育家張奠宙教授也對問題驅(qū)動的數(shù)學教育觀十分推崇，在文[3]中寫道：“問題驅(qū)動的數(shù)學教學，旨在把隱藏在‘冰冷的形式’后面的數(shù)學思想呈現(xiàn)出來”。

文章將以一本國外優(yōu)秀教材——《Fourier analysis: an introduction》[4]為研究對象，對該教材中理論知識點的有序架構，合理安排等各方面所呈現(xiàn)出來的的問題驅(qū)動式教育方法展開研究，并總結教材編寫的優(yōu)勢特點?！禙ourier analysis: an introduction》是由國際著名的調(diào)和分析大師E.M.Stein 教授（第一作者）為本科生所寫的四本分析學系列教材之一。E.M.Stein是1999年Wolf獎獲得者，也是一位卓越的教師。至今，他已有兩位學生獲得了Fields獎。這套教材已在Princeteon大學和UCLA 等名校中使用多年。一本優(yōu)秀教材不但要適合教師課堂講授，而且要適合學生自學。教師課堂講授的知識主線脈絡和學生課外自學的思維牽引都應當源于教材自身知識點的有機組織和系統(tǒng)構成?？v觀整本教材，問題驅(qū)動教學這一主要方法貫穿始終。

2　以問題驅(qū)動開展教學符合教學規(guī)律和認知規(guī)律

2.1以問題驅(qū)動突出教學主旨

古人對于科學研究，稱之為“學問”?？梢姡湃嗽趯W習研究過程中非常重視利用“問”這一手段來達到學有所得，學有所成?！皢枴边@一手段既可以是教師的提問，學生的疑問，還可以是教材讀本的自問。在《Fourier analysis:an introduction》中，“問”這一手段以問題的形式得到了廣泛的應用。它經(jīng)常出現(xiàn)在章節(jié)的引言部分，某些個知識點傳授完畢后引出新知識點的階段，定理、推論或性質(zhì)證明的前后等。比如，教材的第2章推論2.3指出，“當函數(shù)在圓周上連續(xù)且的Fourier級數(shù)絕對收斂，則該Fourier 級數(shù)一致收斂于”，隨后，作者就提出問題，“什么條件能夠保證的Fourier 級數(shù)絕對收斂?”。又如，在第3章的引言中教材給出了一個關于Fourier 級數(shù)的逐點收斂性問題，“給定，的Fourier級數(shù)是否收斂于（）?”。這些問題的提出十分清晰地告知學生本次課程章節(jié)的主旨和線索。學生會很清楚地認識到，接下來的教學內(nèi)容就是圍繞這些個問題，闡述作者是如何想方設法去解決這些問題的。這樣做可以使得在教學活動中避免學生思想處于一種游離的狀態(tài)，即老師講了半天，寫了一大堆，學生不知所云，不知道老師在干什么。

2.2以問題驅(qū)動合理安排教學

俗話說，“萬事開頭難”。為了能使本科學生能快速適應并且掌握Fourier 分析的理論和方法，作者在教材撰寫前對教材內(nèi)容的選擇與安排作了非常深入的思考。在序言中，作者就提出了如何對教材進行撰寫和編排的三個基本問題:

（1）從哪里開始講起？

（2）哪些應作為最基本的主題？

（3）依什么順序來發(fā)展相關的概念和基本技巧？

這三個問題的回答實際上就是給出了教材所蘊含知識體系的一個整體性的基本脈絡。作者依據(jù)Fourier分析在分析學中的重要作用和它的思想方法如何滲透至現(xiàn)代分析的過程，將教材分為8章，其中第1章介紹Fourier分析的產(chǎn)生，第2-4章講述Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)、收斂性和一些應用，第6-7章闡述R和Rd上的Fourier變換，第7-8章闡述有限Fourier分析及應用。這個基本脈絡符合Fourier分析的發(fā)展歷史，也體現(xiàn)了數(shù)學的邏輯性和系統(tǒng)性。

它是否能表示成

在學完第1章后，學生基本掌握計算函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式，很自然地，一個關于Fourier級數(shù)展開式的唯一性問題“具有相同F(xiàn)ourier系數(shù)的兩個函數(shù)是否相等？”，在第二章前言中被提出。作者以此為契機，馬上提出探討Fourier級數(shù)的部分和，并進一步給出Fourier級數(shù)求和的各種計算方法。這些理論恰好作為第2章的組成。有了第1章和第2章的基礎，第3章很自然地會讓學生想到，下面應當要解決Fourier級數(shù)的收斂性問題。

在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂中各知識點的教學經(jīng)常帶給學生的印象是生硬，呆板，沉重和它們之間聯(lián)系太少，有時一些概念，性質(zhì)，定理出現(xiàn)得非常突兀。如果將這些知識點以多個問題的形式表現(xiàn)出來，那么將有助于學生理清知識點之間的來龍去脈，有助于使知識點展現(xiàn)出層層遞進，環(huán)環(huán)相扣等生動、活潑的形象。這種形象也將促使學生在頭腦中形成一根知識的紅線將各知識點有機的串接和起來，在常期的數(shù)學訓練下將會使學生更加熟悉和理解的知識架構體系，并掌握其所蘊含的數(shù)學的思想和方法。

2.3以問題驅(qū)動促進學生主動思考

古人早在幾千年前就認識到，“授人以魚，不如授人以漁”。它清楚地告訴我們，教師在進行教學活動時，僅僅著眼于具體的知識點傳授，這是遠遠不夠的，而應當教會人如何去做，更深層次的，應當教會人去思考。同理，一本優(yōu)秀的教材不應當只是停留在正確表述出本課程的各個理論的表面，也不應當是作者炫耀技巧的舞臺，而應當能揭露出該課程數(shù)學理論與方法的本質(zhì)，將這些理論所蘊含的數(shù)學思想和方法能展示出來，即將“冰冷的美麗”的數(shù)學，還原為對數(shù)學“火熱的思考”[3]。在國內(nèi)，數(shù)學之所以難學，原因主要有兩方面。一是數(shù)學的理論和方法本身確實有其獨到之處，有些理論不會簡單得讓毫無基礎或基礎不扎實的人迅速理解。另一方面是國內(nèi)傳統(tǒng)數(shù)學教學以及教材大多都沒有能夠最大程度的揭示數(shù)學的本質(zhì)。例如，國內(nèi)有關于《高等數(shù)學》的教材及教輔就有幾千種，但大部分教材都是左抄右抄，或者簡單的改變下順序，很少含有作者自己獨立的思考，甚至有些教材錯誤百出。即使是一些所謂的“十二五”規(guī)劃教材，它們對高等數(shù)學的知識體系也是停留在平鋪直敘，機械的將知識點進行復述，簡單乏味，毫無樂趣而言。顯然，這無法調(diào)動學生學習的主動性和興趣了，更無法促成學生展開火熱的思考。

(2) 這個區(qū)域面積的幾何定義是怎樣的？這個定義與本章中（1）相符合嗎?

(3)這些結果能夠推廣到一般的簡單可求長的閉合曲線類嗎?

另外，在學生思考的關鍵時候還應當給學生一些適當?shù)囊龑Ш蛶椭?，讓學生體會到通過自身的積極思考并運用知識和技能能夠戰(zhàn)勝困難，從而增強自信心，獲得勝利的體驗和滿足感。

2.4以問題驅(qū)動增強應用實踐環(huán)節(jié)

數(shù)學的推理嚴格遵循形式邏輯的原則，是一門高度抽象的學科。它的很多概念、思想、理論和方法都能在現(xiàn)實生活中找到原型。在介紹Fourier級數(shù)的產(chǎn)生時，教材給出了這樣一個問題，即“如何對兩端固定且能自由振動的弦振動現(xiàn)象進行描述?”，并用它對相關內(nèi)容進行引領。為回答這一問題，教材分別對簡諧振動，直波和傳遞波，以及諧波的疊加等物理現(xiàn)象進行了數(shù)學描述。比如，為了利用數(shù)學描述簡諧振動，作者首先假設有一個彈簧，其左端連著一個質(zhì)量為的物體，右端固定在墻上，將它們放置在水平的光滑平面上。然后，在彈簧處于平衡狀態(tài)（即彈簧無壓縮和拉伸）的時，建立以物體的質(zhì)心為原點的水平坐標軸y。接下來，當用外力將物體偏移初始狀態(tài)（平衡狀態(tài)）后釋放，則彈簧將呈現(xiàn)出簡諧振動。利用Hooke定律和Newton第一運動定律，建立簡諧運動方程

其中為彈簧系數(shù)。最后，給定初始條件，利用微分方程的理論，得到方程的解

這個過程是從現(xiàn)實中的一個物理現(xiàn)象出發(fā)，通過假設建立起數(shù)學方程來描述現(xiàn)象，最后利用數(shù)學知識來求解得到方程解的過程，就是數(shù)學建模過程。近些年來，廣大的高校數(shù)學教師達成了一個共識，那就是數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際應用的必要途徑和關鍵環(huán)節(jié)[5]。將數(shù)學建模的思想與方法融入大學數(shù)學課程的教學改革實踐中去，將可能使大學數(shù)學的教學改革呈現(xiàn)出一個新的面貌。

2.5以問題驅(qū)動推動創(chuàng)新教育和科學研究

任何一門學科的發(fā)展都離不開問題，也只有在提出問題和解決問題兩者相互促進中不斷的前進[6]。數(shù)學教學如果只是要求學生看例題、做習題、答考題，而不是讓學生主動地提出問題，那么最終結果是，數(shù)學教學與問題驅(qū)動分離，將會使得創(chuàng)新教育漸行漸遠[3]。筆者研讀這本教材時發(fā)現(xiàn)該教材在每一章后都設置兩類習題: 練習題(exercises)和問題(problem(s))。設置練習題的目的是對學生在課后進行一定量的數(shù)學基本訓練，訓練他們掌握相應章節(jié)重要知識要點的基本概念，方法和技巧。它是一種傾向于對數(shù)學理論的熟悉和理解。設置課后的問題的目的則不僅僅停留在基本概念，方法和技巧訓練這一層面，它更側重于深層次提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，需要學生能創(chuàng)造性地運用概念，方法和技巧來自我分析問題，解決問題的能力。因此，它實際上是一種研究性數(shù)學學習訓練。有時，我們也稱這種課后問題為課后思考題。例如，在第二章習題中作者給出了三個問題，其中第一個問題是構造在區(qū)間[0,1]上的Riemann可積函數(shù)，且該函數(shù)的不連續(xù)點構成[0,1]的稠密子集，第三個問題是對Tauber定理的一個簡化。在第一個問題中，作者將其分為兩個小問題，并對這兩個問題進行了條件限制。第一小問是限定這個Riemann可積函數(shù)單調(diào)有界，而第二小問則要求構造的這個函數(shù)在[0,1]的任何一個子區(qū)間上都不單調(diào)。顯然，第二小問的難度要比第一小問大得多。但第一小問的解決過程又將給第二小問帶來一些解題線索。

雖然這些都是一些已知結論，但對于學生而言，卻是新鮮的。學生帶著這樣的問題去思考，反復錘煉自己掌握的知識與技能，這樣既開拓了學生的視野，又將學生“一不小心”帶入到了一個又一個的科學研究訓練中。最終，學生解決這樣的問題，對于自身來說就是一種“創(chuàng)新”。當然，這種“創(chuàng)新”并不是真正意義上的創(chuàng)新，但對學生而言確實一種具有開創(chuàng)意義的創(chuàng)新。它是創(chuàng)新的一個必經(jīng)階段。事實上，如果學生的思維能從思考題題目本身跳出來，再次進行知識重構和組合并大膽嘗試研究一些自己感興趣的東西。這種嘗試就是一種創(chuàng)新，因此，也將極大地推動學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

3　結束語

作為一本國外優(yōu)秀教材，《Fourier analysis:an introduce-tion》除了系統(tǒng)闡述Fourier 分析的精妙理論外，還呈現(xiàn)了作者所提倡的以問題驅(qū)動的數(shù)學教育觀。本文以該教材利用問題設置來進行安排教學內(nèi)容，從教學主旨，教學安排，促進學生思考，理論聯(lián)系實際，創(chuàng)新教育和科學研究方面進行了一些總結。但是，本文對于學生如何能提出正確的、積極的問題，教師如何有效引導學生思考去解決問題等方面并沒有涉及。我們將把這些作為今后的主要研究目標和任務。

[1]M.A.Albanese and S.Mitchell.Problem-based learning:a review of literature on its outcomes and implementation issues[J].Academic Medicine Journal of the Association of American Medical Colleges,1993,(1):52-81.

[2]李大潛.關于大力提倡和推動以問題驅(qū)動的應用數(shù)學研究的建議[J].中國科學基金,2006,(4):223-226.

[3]張奠宙,張蔭南.新概念:用問題驅(qū)動的數(shù)學教學[J].高等數(shù)學研究,2004,(3):8-10.

[4]E.M.Stein and R.Shakarchi.Fourier analysis:an introduction [M].Princeton:Princeton University Press,2003.

[5]李大潛.漫談大學數(shù)學教學的目標與方法[J].中國大學教學,2009,(1):7-10.

[6]劉春梅.以問題驅(qū)動化生類專業(yè)高等數(shù)學課程教學[J].湖南科技學院學報,2014,(5),19-21.

（責任編校：何俊華）

2017－05－16

劉春梅（1981－），女，山西五臺人，現(xiàn)為湖南科技學院理學院教師，副教授，博士，研究方向為偏微分方程數(shù)值解和數(shù)學教學。

O13

A

1673-2219（2017）10-0010-03