☉江蘇省常熟市尚湖高級中學(xué) 蘇振新

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)
——以《數(shù)系的擴充》為例

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學(xué) 蘇振新

一、問題的提出

自從新課程改革以來，教育越來越關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，而具體落實這些要求的根本在于課堂.“課改的關(guān)鍵是改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，而關(guān)鍵的關(guān)鍵是改變教師的教學(xué)行為”，筆者認(rèn)為：“教師的教學(xué)行為一定是受某種數(shù)學(xué)教學(xué)的信念所影響”.研究表明：教師如果不能很好的理解《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，更新教學(xué)理念，那么數(shù)學(xué)教育依然不能走出深水區(qū).為了能夠真正在課堂教學(xué)中落實好《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，真正提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，讓學(xué)生具有深刻情感體驗的教學(xué)設(shè)計就顯得尤為重要.在《注重培養(yǎng)“四基” 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)》一文中，清楚指出“四基”，就是這些學(xué)生“獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”.怎么樣在課堂中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是一線教師現(xiàn)在必須要考慮的問題，下面筆者以《數(shù)系的擴充》為例，談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生的核心素養(yǎng).

二、教學(xué)設(shè)計案例分析

活動一：問題引入

完成下列問題，并互相討論交流.

（1）x+2=0，x∈N;

（2）2x+3=0，x∈Z;

（3）2x2+2=6，x∈Q.

以上三道方程在限定的范圍內(nèi)都沒有適合的解，同學(xué)們通過回顧自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷可以發(fā)現(xiàn)課本上是通過擴展數(shù)集的辦法來加以解決的，這一系列的過程使得數(shù)集由剛開始的自然數(shù)集擴展到同學(xué)們現(xiàn)在所知道的實數(shù)集，從而自然引入無理數(shù)的概念.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在問題的處理過程中了解到問題的沖突所在，使他們了解到此種數(shù)集的持續(xù)擴充和問題的解決階段.

利用小組探討與學(xué)生的獨立思考，部分學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)在數(shù)集的擴展過程中可以解決更多的實際問題，同時數(shù)集的擴展過程也是數(shù)和數(shù)學(xué)學(xué)科自己發(fā)展的必然要求.數(shù)集的擴充同時遵循以下幾個共同特征：第一，都有新的數(shù)被引用進來；第二，都滿足乘法對加法的分配律、交換律和結(jié)合律.

活動二：數(shù)學(xué)建構(gòu)

師：請同學(xué)們認(rèn)真思考一下，方程x2=-1在R上是否有解？

此問題有一定的難度，教師可以參與到學(xué)生的活動之中，給予學(xué)生一定的幫助.

與活動一中的問題一樣，此方程無解，參照上面的研究方法，需要引入新數(shù)，這時教師追問：引入的新數(shù)需要滿足哪些條件？

最后討論后達成共同認(rèn)知：需要引進新數(shù)來解決問題，不過該數(shù)需要達到活動二中的相關(guān)規(guī)律：引進的新數(shù)與實數(shù)之間需要達到上述三種運算規(guī)則.

設(shè)計意圖：利用解決該問題，使學(xué)生體會到數(shù)值不足，進而引進新數(shù)是十分關(guān)鍵的，從而激發(fā)他們的求知欲望與研究欲望.

活動三：新數(shù)運用

根據(jù)前面幾次數(shù)的擴充，請類比寫出新數(shù)i與實數(shù)可能會產(chǎn)生的代數(shù)式，并寫出來.

學(xué)生寫出：3i，-7i，3+2i，23-i，……

教師提示：同學(xué)們所寫出的形式能否把它們歸類呢？

學(xué)生展示：學(xué)生通過思考和小組討論可能寫出如下的形式：a+i，ai，a+bi等.

教師提問：同學(xué)們所寫的形式能否用一個統(tǒng)一的形式來表示？

設(shè)計意圖：本活動以師生互動為主，學(xué)生在老師的點撥下，很好地掌握了新數(shù)i與實數(shù)的乘法滿足的交換律，教師及時的點撥，因此同學(xué)們很自然的理解a+bi（a∈R，b∈R）的形式.這樣就能很好地解決學(xué)生由于知識的生疏所產(chǎn)生的障礙.

活動四：答疑解惑

a+bi（a∈R，b∈R）的式子中是否包含同學(xué)們以前學(xué)過的所有的實數(shù)？產(chǎn)生了哪些新數(shù)？如果用一個新的集合C來表示，集合C與以往的實數(shù)集R相比有了哪些變化？請同學(xué)們先獨立思考然后小組內(nèi)討論，在此過程中教師可以參與到學(xué)生的活動中.

成果分析：在新數(shù)a+bi（a∈R，b∈R）構(gòu)成的集合C中包含了同學(xué)們學(xué)過的所有的實數(shù)，同時還包括了新數(shù)bi（b≠0），新數(shù)，a+bi（a∈R，b∈R）（a≠0，b≠0）.

教師總結(jié)：通過同學(xué)們自己的探索我們今天發(fā)現(xiàn)了一種新的數(shù)集C=｛a+bi|a∈R，b∈R），定義新數(shù)為復(fù)數(shù)a+bi（a∈R，b∈R），其中i為虛數(shù)單位，由所有的復(fù)數(shù)所組成的數(shù)集稱為復(fù)數(shù)集，形式為C=｛a+bi（a∈R，b∈R）｝.通常用一個字母來z表示，所以復(fù)數(shù)又可以表示成z=a+bi（a∈R，b∈R，a≠0，b≠0）的代數(shù)形式.注：a，b分別稱為復(fù)數(shù)z的實部和虛部，其中z=a+bi（a∈R，b∈R，a≠0，b≠0）稱為虛數(shù)，形如bi（b∈R，b≠0）的數(shù)稱為純虛數(shù).

設(shè)計意圖：由實數(shù)到復(fù)數(shù)的數(shù)系擴充過程中完全是由學(xué)生的自主探索產(chǎn)生的，因此學(xué)生對概念的理解也比較透徹，知識的生成過程中也比較自然，學(xué)生對新舊知識的區(qū)別也比較清晰.

活動五：具體應(yīng)用

請同學(xué)思考、討論（小組內(nèi)）復(fù)數(shù)z=a+bi（a∈R，b∈R），分別滿足何種條件時表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及實數(shù)0？并把結(jié)果分類展示在黑板上.

成果分析：b=0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為實數(shù)；

b≠0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為虛數(shù)；

a=0，b≠0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為純虛數(shù)；

a=b=0?z=a+bi（a∈R，b∈R）為實數(shù)0.

設(shè)計意圖：通過復(fù)數(shù)的分類讓同學(xué)們更加理解復(fù)數(shù)與實數(shù)、序數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，更重要的是要讓學(xué)生清晰復(fù)數(shù)為虛數(shù)和實數(shù)，以及純虛數(shù)的充要條件分別是什么，為今后的解題做好充分的知識準(zhǔn)備.

活動六：關(guān)聯(lián)問題

請大家思考復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在的關(guān)聯(lián)，且使用符號與圖形進行相應(yīng)的表示.

設(shè)計意圖：教學(xué)活動到這一步時，學(xué)生的知識水平已經(jīng)有了一定的提高，已經(jīng)能夠獨立處理一些基本問題了，同時也考查了學(xué)生對新知識的掌握程度.

活動七：運算規(guī)則

對于復(fù)數(shù)z1=x+yi（x∈R，y∈R），z2=m+ni（m∈R，n∈R）分別滿足什么條件時復(fù)數(shù)z1=z2？

設(shè)計意圖：本題可以考查學(xué)生對于復(fù)數(shù)所滿足以往數(shù)的運算規(guī)則的運用，同時也說明了復(fù)數(shù)相等的內(nèi)涵（充要條件）.

活動八：歸納總結(jié)

請同學(xué)們思考任意的兩個復(fù)數(shù)之間能否比較大?。?/p>

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)是對學(xué)生綜合運用知識能力及對知識的整合能力的考查，教師可以加以引導(dǎo)，這一環(huán)節(jié)也可以放在本節(jié)課的總結(jié)部分來闡述.

三、教學(xué)思考

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)非常重視“探索、探究”和“自主、自覺、自己、獨立”等關(guān)鍵詞.本課例以學(xué)生活動作為重要基礎(chǔ)，改變他們的學(xué)習(xí)方法是落實高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)理念、基本要求的重要途徑.課標(biāo)還進一步強調(diào)，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動不應(yīng)該只約束在對基本定義、結(jié)論與技能的理解、模仿與認(rèn)可，單獨思考、積極研究、主動實踐、合作溝通、閱讀自學(xué)應(yīng)該變成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方法.為了在真正意義上提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就必須要改善課堂太過重視基本知識教授的傾向，改善課程實行太過重視接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機械訓(xùn)練的現(xiàn)象.

學(xué)生是學(xué)習(xí)過程中的重要主體，從他們的思維特征進行分析，基本概念的認(rèn)知是在學(xué)生已有理論的前提下再次建立知識的階段，加之?dāng)?shù)學(xué)概念并不是世界中的真實存在.所以，他們在對基本概念進行學(xué)習(xí)過程中，先要在大腦中建立起相關(guān)的景象，也就是所有的教學(xué)活動最后均以主體上產(chǎn)生作用為最后目的，對象階段是由概念衍生開來的性質(zhì)探求、運算、證明等，所以，教師在概念教學(xué)中要充分研究自己的學(xué)生，根據(jù)學(xué)生的思維特點，從而決定在概念教學(xué)中設(shè)計什么樣的提問，能最大限度地調(diào)動學(xué)生對基本概念的了解，課堂提問需要是由簡單到困難，從簡單與復(fù)雜，由淺入深，從形象到抽象，循序漸進，如此才可以讓他們的思維由“未知”朝著“最近發(fā)展區(qū)”發(fā)展，最終由對象階段向圖式階段轉(zhuǎn)化.

隨著數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進，數(shù)學(xué)課程改革已經(jīng)進入“深水區(qū)”，如何走出這個深水區(qū)，是我們當(dāng)前面臨的最大問題.而過程完整化教學(xué)理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計能夠落實課程標(biāo)準(zhǔn)中對學(xué)生的三維目標(biāo).完整化的教學(xué)過程就是指教師必須提出一些本學(xué)科“真正的結(jié)構(gòu)化問題”，而不是人為編造的問題，也就是說首先必須要用“本源性”的問題驅(qū)動學(xué)生的學(xué)科學(xué)習(xí)，這是最根本的；其次，要使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落到實處，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上進行“數(shù)學(xué)建?！本褪亲钣欣淖ナ?