☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

高中數(shù)學問題串教學的現(xiàn)狀及思考*

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

問題串教學模式是當今教育研究的一個重要主題，在國外的教育研究中已有相當?shù)幕A.20世紀在以皮亞杰、卡茨、維果斯基等為代表物的“建構主義”學習理論認為，問題是開啟思維的鑰匙，教學活動可以通過解決問題展開.因此，開展問題串教學，學生根據(jù)教師設計的問題，在解決問題和不斷發(fā)現(xiàn)問題中優(yōu)化學習方法，優(yōu)化思維品質.“建構主義”理論中這種以“解決問題為主線”為問題串教學模式提供了理論依據(jù)，問題串教學模式提倡學生動手實踐、自主探索、解決問題.

一、問題串教學的內涵

問題串教學是指教師按照學生的學情和教學任務，將教學內容設計成一系列的基礎性問題和核心問題，并將這些問題排列成一個由淺入深、循序漸進的問題串，通過對學生提問，引導學生思考，并積極參與到教學探究中，促進學生達成教學目標的教學方法.

二、高中數(shù)學課堂中運用問題串教學的現(xiàn)狀

通過調查，高中數(shù)學課堂教學模式很多，大多數(shù)仍以講授為主，利用問題串來引導教學的教學方法沒有普遍運用，究其原因，大致體現(xiàn)在下面幾個方面：

（一）缺乏對學生學習主體性的認識

新課改以來，大部分教師在日常的高中數(shù)學課堂教學中時常采用一些生動的情景或與數(shù)學概念有關的生活現(xiàn)象來導入.然而，這些引入往往脫離學生實際生活，不能與教學內容緊密相連.另外，不少教師追求圓滿答案，急于完成教學內容，對學生進行“灌注”知識，導致學生被動地接受知識，忽視了學生的主體地位，不利于提高學生的創(chuàng)新意識和思維能力的培養(yǎng)，不能有效促進學生的健康發(fā)展.

（二）缺乏對問題串教學的重視

不少教師以為只要是問題都是有益于課堂的，因此課堂雖然充斥著問題，雜亂無章，不成體系.我們知道，孤立的問題對學生思維發(fā)展的作用微乎其微.學生只有在問題串的引領下，進行系列、連續(xù)的思維活動，才能提升思維能力.單個的問題設置缺乏鮮明的課堂主線，學生不能有效地把握整個課堂，使得整個課堂缺乏緊湊性，從而不能夠達到其理想的效果.

（三）缺乏問題串教學的實踐經驗

通過調查研究，我們發(fā)現(xiàn)，不少高中數(shù)學教師都能意識到使用問題串教學的益處和重要性，并且也都在積極使用問題串教學.然而，對于不同的課型的問題串教學，其問題的設計教學策略與方法都不明確，沒有一個很好的教學模式，缺少問題串教學的實踐經驗.這樣看似整個課堂上是問題滿堂跑，卻不能有效培養(yǎng)學生的學習興趣與思維能力，還降低了課堂教學效果.

三、高中數(shù)學課堂教學中問題串設計策略的思考

（一）根據(jù)教學目標設計問題串

在數(shù)學課堂教學中，根據(jù)教學內容和目標精心設計問題串，做到諄諄善誘，于無意識中激發(fā)學生的興趣和積極的探究熱情，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

案例1“兩角和與差的余弦”的問題串設計.

教學目標：理解兩角和與差的余弦公式的推導過程，能應用公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明；在親身經歷中感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，體會向量和三角函數(shù)的聯(lián)系；滲透分類討論、化歸與轉化和由特殊到一般的數(shù)學思想方法.

根據(jù)本課教學目標，可以設計如下問題串來突破難點：

問題（1）按下面兩種要求進行計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？

設向量a=（cos75°，sin75°），b=（cos15°，sin15°），試分別計算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2.（蘇教版《數(shù)學》必修4的第83頁探究·拓展題）

問題（2）下面計算的依據(jù)是什么？cosx+sinx=（cosx， sinx）·（1，1）=，其中θ為向量（1，1）與向量（cosx，sinx）的夾角.（蘇教版《數(shù)學》必修4的第93頁3.1節(jié)前言）

問題（3）這兩個情景有什么共同點？

問題（4）cosx+sinx怎樣化為Asin（ωx+φ）？

問題（6）你能說出cos（α-β）與α和β的三角函數(shù)的關系嗎？對這個猜想能給出證明嗎？證明的方法是什么？

問題（7）如何推導cos（α+β）呢？

設置意圖：問題串中問題（1）、（2）的兩個提問，創(chuàng)設學習的情境，主要是為了激發(fā)學生的學習興趣、引起學生對本節(jié)課所學的思考.通過問題（3）～（6）的思考，進行歸納猜想，再由問題（3）思考證明的方法.整個解決問題的過程循序漸進，層層深入，不斷挑戰(zhàn)學生的思維，使學生在解決問題的過程中掌握了知識，并知曉了知識的發(fā)生、發(fā)展、形成等過程，提高了創(chuàng)新的能力.

（二）根據(jù)教育原則設計問題串

1.因材施教原則

教師所提出的問題應依據(jù)課程標準，將教材中的知識以問題形式呈現(xiàn).提出的問題必須要有一定的針對性和準確性，針對教材和教學目標中的要求，注意突出教材中的重點，使學生在解決問題的過程中實現(xiàn)教學目標.設計的問題要求通俗易懂，條理清晰，表達準確，言簡意賅，避免出現(xiàn)詞不達意、模棱兩可的表述.

2.循序漸進原則

通過問題串的設置，循序漸進地提出由淺入深的問題，引領學生對知識的理解逐步深入；同時激發(fā)學生最大限度地來體驗與參與發(fā)現(xiàn)、設計創(chuàng)新，形成一種積極、主動、探究的高效學習方式.下面以一道課本題的問題串設置來說明.

這是蘇教版數(shù)學必修2第129頁第26題，解決完此題后可以設置問題串，讓學生對直線與曲線相交有更深刻的認識.

設置意圖：思考源于問題，隨著問題的深入，學生對用“數(shù)形結合的思想解題的認識更加深刻，在此過程中學生經歷觀察、比較、概括、猜測、推理等思維活動，不斷嘗試成功，增加了學習積極性，有效地培養(yǎng)學生的邏輯思維.

3.啟發(fā)性原則

在問題串教學中，要加強多個問題之間的相互聯(lián)系，注意上一問題對下一問題的啟發(fā)性.問題是培養(yǎng)學生思維能力的重要載體，具有啟發(fā)性的問題能激活學生思維、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S能力，下面結合“平面向量基本定理”教學來具體說明.

案例3“平面向量基本定理”教學.

師：我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一個有序實數(shù)對來表示，那么平面內的任一個向量，如何表示呢？能否用特定的向量來表示？

問題（1）平面內任一向量能否用特定的向量來表示？怎樣表示？例如e為平面內給定的非零向量，能否用e來表示平面內任一向量a？

問題（2）a和e一定共線嗎？若a和e不共線，能否用e來表示a？

問題（3）既然用一個向量e不能表示平面內任一向量？那么用兩個向量是否可以表示了？

問題（4）設e1，e2為平面內給定的兩個非零向量，能否用e1，e2來表示平面內任一向量a？

問題（5）若e1，e2不共線呢？能否用e1，e2來表示平面內任一向量a？

問題（6）λ1，λ2為什么是存在且是唯一的一對實數(shù)？

問題（7）設m1，m2為平面內給定的另兩個不共線向量，能否用m1，m2來表示平面內任一向量a？

問題（8）m1，m2可以成為平面內所有向量的一組基底嗎？一組向量成為基底有什么條件嗎？

問題（9）能成為平面內一組基底的向量有多少對？

問題（10）已知△ABC中，G為重心，過G的直線EF交 CA，CB于E，F(xiàn)，且，試探究是否為定值？

設置意圖：通過前面一系列問題的提出、引領和解決，學生對平面向量基本定理的來龍去脈了解透徹，對問題（10）的探究，選取合適的基向量是學生容易想到，關鍵是如何用基向量來表示平面內的其他向量，這種表示是存在的并且是唯一的，這也是平面向量基本定理的要義所在.

（三）根據(jù)教學內容設計問題串

1.課堂引入時運用問題串創(chuàng)設情境

數(shù)學是枯燥的，但若能在枯燥的數(shù)學學習中引入故事，不僅能吸引學生的注意力，而且能點亮我們的數(shù)學課堂，使數(shù)學變得生動有趣.因此，為有效激發(fā)學生的學習興趣，可根據(jù)學生心理發(fā)展需求，引入一些與教學內容有關的小故事，引發(fā)學生的連串思考.下面以“指數(shù)函數(shù)及其性質”教學為例說明.

案例4“指數(shù)函數(shù)及其性質”的教學.

教學活動——折紙：將一張面積為1個單位的矩形紙片按同樣的方式對折x次后.

問題（1）紙的層數(shù)y與次數(shù)x有什么關系？

問題（2）紙的面積s與次數(shù)x有什么關系？所列出的式子是函數(shù)嗎？為什么？

問題（3）這些函數(shù)有什么共同特點？

問題（4）初中學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)都可以用一般的形式表示，那么上面的兩個式子如何用一般的形式來表示呢？如何給這個函數(shù)命名？

問題（5）你能再舉幾個例子嗎？能否歸納一下底數(shù)的取值范圍？

設置意圖：以學生熟悉的折紙問題為背景提出實例，從學生已有的知識出發(fā)，逐層遞進學習新知，在解決問題的過程中，激發(fā)了學生的學習興趣，讓學生體會到數(shù)學來源于生活實際，而且為順利引出指數(shù)函數(shù)定義作了鋪墊，實現(xiàn)了從特殊到一般、感性認識到抽象思維的過渡.定義中對a的規(guī)定是本節(jié)課的一個難點，通過問題來突破難點，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

2.習題課時通過問題串來分解難度

在教學習題課時，若原題難度較大，學生一時難以想到，可以在學生的思維起點處設置問題串，逐步打開學生的思維，將學生的思維逐步引入到更高的層次.

案例5已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-b，a，b∈R.當x∈［0，1］時，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍（結果用a表示）.

本題是含絕對值的二次函數(shù)問題，考查學生運用分類討論和數(shù)形結合解決問題的能力，此類問題難度較大，可以在學生的難點處設置相應的問題串，逐個突破難點.

問題（1）作出下列函數(shù)的圖像并指出其單調性：①f（x）=x|x|；②f（x）=x|x-2|；③f（x）=x|x+2|.

問題（2）請作出函數(shù)f（x）=x|x-a|（a＞0）的圖像，并討論：f（x）在x∈［0，1］上單調遞增時，實數(shù)a的取值范圍.

問題（3）請作出函數(shù)f（x）=x|x-a|（a∈R）的圖像，并討論：f（x）在x∈［0，1］上單調遞增時，實數(shù)a的取值范圍.

問題（4）已知a∈R，設函數(shù)f（x）=x|x-a|-x.

①當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

②當a≤1時，對于任意的x∈［0，t］，不等式-1≤f（x）≤6恒成立，求實數(shù)t的最大值及此時a的值.

設置意圖：這組問題串將本題難點還原到思維的起點.由問題（1）中三個具體含絕對值的二次函數(shù)到問題（2）中的一般函數(shù)情況.逐步推進，引導學生最終解決問題.問題（4）通過形似異質問題的辨析，不僅讓學生鞏固了分類討論、數(shù)形結合的思想方法，還讓學生的思維得到進一步的突破，克服了知其然不知其所以然的弊病.

四、幾點思考

問題串教學能夠在實際教學中取得長遠的收益，在設計問題串教學時，教師應深入思考以下幾個問題：（1）問題串的設計是否有目的性？問題必須具有鮮明的目的性.每一個題目都不可缺少，在整個課堂中，都有它的目的和作用.提出這樣的問題的原因是什么？對解決問題起什么作用？（2）問題串的設計是否有啟發(fā)性？問題與問題之間，需要有思維搭橋的地方，隱秘地幫助學生.（3）問題串的設計是否有梯度性？問題串的設計需要有合理的梯度.既能通過問題的解決發(fā)展學生的思維，又能讓學生通過自己的努力，最終順利地解決問題，“跳一跳，就能摘到桃子”，促使學生享受成功的喜悅，增強自信.（4）問題串的設計是否有導向性？需針對學生的易錯點設計問題串，引發(fā)學生的認知沖突.將“問題串”的教學方法引入到高中數(shù)學教學中，能有效地將學生引入到教學情境中，充分發(fā)揮學生的主體作用和調動學生的積極性，提高教師的教學水平.因此，為更好地發(fā)揮“問題串”教學方法的作用，實現(xiàn)學生各方面素質水平的全面提高，高中數(shù)學教師要樹立“以學生為本”的教學意識，不斷提高自己的知識水平和專業(yè)文化素養(yǎng)，提高問題串的設計能力.

*本文系南京市教育科學“十二五”2015年度立項課題《高中數(shù)學“問題串”教學模式的實踐研究》的階段成果，課題編號：L/2015/244.