安徽省碭山中學 辛 民 (郵編:235300)

2017年高考數(shù)學江蘇卷第20題的賞析與思考

安徽省碭山中學 辛 民 (郵編:235300)

1 原題再現(xiàn)

2017年高考數(shù)學江蘇卷第20題如下:

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有極值,且導函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點．(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)

(1)求b關于a的函數(shù)關系式,并寫出定義域;

(2)證明:b2＞3a;

(3)若f(x)、f′(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求a的取值范圍．

2 試題賞析

以函數(shù)、導數(shù)、不等式為框架,以二次、三次函數(shù)、分式函數(shù)為依托,以函數(shù)的零點、極值點為紐帶設計試題,試題涉及函數(shù)、導函數(shù)、零點、極值點等基本概念、基本知識,著力考查函數(shù)導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、方程、不等式等基礎知識和基本方法,考查函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論等數(shù)學思想方法,較好地考查了數(shù)學核心素養(yǎng)中的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理．試題平和、質(zhì)樸;選擇三次函數(shù)命題,超脫了此類問題的模擬考試中一般命題模式,多項式函數(shù)與其他超越函數(shù)結(jié)合的命題,極具親和力;分層設問,梯次遞進,層次感較強,以數(shù)學知識為載體,考查學生的慎密思維、嚴格的推理能力,通過問題的解答揭示知識的產(chǎn)生背景、發(fā)展、形成過程,總結(jié)提煉數(shù)學思想方法,體現(xiàn)數(shù)學的創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)發(fā)展的特點;體現(xiàn)了教育部考試中心公布的《2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱:總綱》中提出,在“必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)、核心價值”4層考查目標以及“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”4個方面的考查要求的基礎上,科學設計命題內(nèi)容,增強基礎性和綜合性,著重考查考生獨立思考和運用所學知識分析問題和解決問題的能力的命題要求．

3 解法賞析

解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1,得

當a＝3時f′(x)＞0(x≠－1),故f(x)在R上是增函數(shù),f(x)沒有極值．

當a＞3時,f′(x)＝0有兩個相異的實根,設其為x1、x2,容易判定它們是f′(x)的極值點．故,定義域為(3,＋∞)．

注通過導函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點建立等式,解法自然流暢,通過建立不等關系求函數(shù)定義域略顯困難,對學生的慎密思維、嚴格推理能力要求較高．

同理可證g(a)＞g(3),即b2＞3a．

又a＞3,所以b＞a．

由此可得b2＞a2＞3a．

注通過等價轉(zhuǎn)化不等式問題化為函數(shù)求解或利用重要不等式求解,要求學生具有較寬的數(shù)學視野,具有一定數(shù)學運算能力．

(3)由(1)知f(x)的極值點為x1、x2,且x1,則

則f(x)、f′(x)的所有極值之和F(a)就是f′(x)的極值,因為,于是F(a)在(3,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減,因為且故a≤6．

綜上可得,a的取值范圍是 3,6( ]．

注解題方法自然清爽,具體運算程序、過程對學生的運算品質(zhì)、運算過程中求簡意識要求較高．

4 錯誤分析

高考后組織30名優(yōu)秀學生試做該題,學生得分率較低,對第一問27位同學給出了b、a之間的關系式,僅有5位同學正確給出了函數(shù)的定義域,關鍵是學生不能正確理解應用函數(shù)有極值這一充要條件求解;8位同學給出定義域為{a|a≥3},暴露出學生慎密思維欠缺,誤把充分條件當作充要條件求解,最后導致結(jié)果不準確,對而不全．第二問僅有4位同學給出了正確答案,都是選用作差比較大小的方法,另有9位同學構(gòu)造函數(shù)后求導出錯,關鍵是學生利用導數(shù)解決問題的能力薄弱,等價轉(zhuǎn)化意識淡薄,不能正確的將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解,另有12位同學機械套用重要不等式,由,則,半途而廢,沒有意識到等號成立條件為即與a＞3矛盾,及時調(diào)整思路,尋找新的運算方法．第三問僅有1位同學給出了正確的解答,學生能夠正確理解題意,列出表達式,但是學生數(shù)學運算能力薄弱,不能合理靈活地設計運算程序,獲取運算結(jié)果．事實上,此題考查的是學生應知、應會、應該具有的基礎知識、基本方法、關鍵能力及數(shù)學學科素養(yǎng),沒有特殊的方法技巧,學生的解答過程不盡人意,這也暴露了我們平時教與學中存在的問題．

5 教學思考

5．1 落實必備知識,提升關鍵能力

《高考大綱》明確指出高考數(shù)學考查的是學生的“必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)、核心價值”,即數(shù)學核心概念、主干知識及概念、知識中蘊含的數(shù)學思維方法、數(shù)學思想方法理性數(shù)學精神以及利用這些思想、方法解決問題的能力．然而在應試教育的大環(huán)境下,數(shù)學教學的目標被矮化為知識的掌握與解題訓練,表現(xiàn)為:概念辨析、原理陳述、范例精講、變式訓練、歸納總結(jié),相當多的教學時間花在學生解題、教師講題上,師生共同陷入題海,學生更多地學到的是模仿而不是思考,造成學生思維能力低下．因此,高三數(shù)學復習時教師要幫助學生從學科整體高度上再次經(jīng)歷概念的形成過程,了解概念、知識的產(chǎn)生背景,體會數(shù)學化的過程,多角度、多層次分析、理解概念的表征,提高抽象概括能力、邏輯思維能力、數(shù)學表達能力,幫助學生構(gòu)建概念系統(tǒng),清除理解上的盲點難點,優(yōu)化概念、知識結(jié)構(gòu),領悟其蘊涵的數(shù)學思想、方法,建立從概念到解題的自然鏈接,在解題中辨析、深化概念,強化概念本質(zhì)的理解與應用意識的培養(yǎng),使數(shù)學問題解決過程變?yōu)橥娓拍?、品概念、用概念的活?提高學生分析問題、解決問題的能力．例如解題教學時,精選例題,通過解題,理解、比較不同概念差別與聯(lián)系,如

已知初數(shù)x、y滿足 (x－2)2＋y2＝1,則的取值范圍是__________．答案1,2[ ]

在解決此問題時,應引導學生思考相關概念,加深對概念的理解,可從以下幾方面著手:

(1)點P,(x,y)在圓(x－2)2＋y2＝1上,將P看作向量就可以理解為向量在向量上的投影,數(shù)形結(jié)合很容易得到結(jié)果．

(4)也可提示學生采用變量代換,令x－2＝cosθ,y＝sinθ,但數(shù)學運算能力要求較高,很難得到正確的答案．

選擇此題,可以激發(fā)學生學習數(shù)學興趣,通過學習,學生對向量的投影、距離、三角函數(shù)的定義等有一個全新的認識．

又如,在概念復習時,不應再重復高一、高二的故事,要精心設計復習內(nèi)容,創(chuàng)新復習方法,讓學生在概念復習中有新的收獲,如在復習三角函數(shù)中的正、余弦定理時,除按教材、課標要求外,可增加如下設問:

敘述余弦定理的逆命題,并證明其真假．(真)

交換余弦定理中的條件與結(jié)論即可解決此題,但無從下手,關鍵是理不出余弦定理的條件、結(jié)論是什么,余弦定理的文字敘述為:三角形的任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦積的2倍,這樣敘述不易分清條件與結(jié)論,可考慮轉(zhuǎn)化語言敘述定理:

在△ABC中a,b,c是角A,B,C的對邊,那么

a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝a2＋c2－2accosB,c2＝a2＋b2－2abcosC．

這樣上述定理中共有6個量,三邊a、b、c與三角A、B、C．

逆命題為:若a、b、c為正實數(shù),α、β、γ∈ (0,π且,a2＝b2＋c2－2bccosα,b2＝a2＋c2－2accosβ,c2＝a2＋b2－2abcosγ,則a、b、c對應的線段構(gòu)成一個三角形,其對角分別為α、β、γ．證明(略)

敘述正弦定理的逆命題,并證明其真假 ．(假)

通過以上分析學生對余弦定理的理解與感悟比學習新課上升一個檔次,達到了復習的目的．

5．2 加強基礎知識復習 提升數(shù)學運算能力

數(shù)學運算是數(shù)學的基本能力,它是解題的基本功,也是學生發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)、取得高分的根本保證,其重要性是不言而喻的,上題所考查的運算技能,主要包括方程、不等式的求解,字母及無理數(shù)的運算等,從學生答題情況看卻令人擔憂,相當一部分學生運算能力不過關,如第1問求導法則記憶不準確,函數(shù)有極值條件理解不透導致計算不準等,第2問不等式與函數(shù)問題不能正確相互轉(zhuǎn)化、導數(shù)計算出錯,第3問不能正確利用極值點簡化計算,費九牛二虎之力卻算出錯誤的結(jié)果．數(shù)學每一步運算都以定義、定理、公式、法則為依據(jù),因此,正確理解概念、準確掌握公式、定理、法則是準確、迅速、靈活運算的根本保證,提高學生的運算能力應是數(shù)學復習中一項長抓不懈的工作．

6 命題思考

數(shù)學高考試題就應該這樣以教材、考綱為基礎,以基本概念、定理、法則及基本數(shù)學思想方法的考查為主線,反應數(shù)學課改的要求,體現(xiàn)追求數(shù)學理解、數(shù)學探究、數(shù)學思考的價值取向,突出數(shù)學思維、數(shù)學思想、數(shù)學問題解決能力、數(shù)學素養(yǎng)的考查,沒有必要通過拓展、深挖傳統(tǒng)的初等數(shù)學內(nèi)容設計極其精巧的解題技巧,學生解決問題像科學家搞研究一樣創(chuàng)新解決問題的方法,提高試題的區(qū)分度,達到選拔的目的．本題第二問若改為證明:b＞a,好像更好,更簡潔,解答問題的方法、考查的知識、能力基本不變．

2017-07-09)