王旭昭，侯 磊，蘇 龍*，白夢(mèng)潔

（1.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 資源環(huán)境學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410128；2.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 東方科技學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410128）

改進(jìn)灰色GM(1,1)模型在滑坡預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

王旭昭1，侯 磊2，蘇 龍1*，白夢(mèng)潔1

（1.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 資源環(huán)境學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410128；2.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 東方科技學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410128）

滑坡形成因素復(fù)雜，具有典型的灰色不確定性。為研究滑坡發(fā)展趨勢(shì)，在已有滑坡預(yù)測(cè)技術(shù)的基礎(chǔ)上，分析了典型灰色GM(1,1)模型在運(yùn)算過程的誤差原因，建立了改進(jìn)灰色GM(1,1)模型；并運(yùn)用滑坡實(shí)例驗(yàn)證了改進(jìn)模型，直觀顯示曲線擬合情況。結(jié)果表明，改進(jìn)后的模型預(yù)測(cè)精度等級(jí)明顯提高，相對(duì)誤差減??；說明所建滑坡預(yù)測(cè)模型效果好，在滑坡位移預(yù)測(cè)中有效可行。

灰色理論；改進(jìn)；GM(1,1)模型；滑坡預(yù)測(cè)

由于滑坡地質(zhì)過程、形成條件、誘發(fā)因素的復(fù)雜性、多樣性及其變化的隨機(jī)性、不穩(wěn)定性，導(dǎo)致滑坡動(dòng)態(tài)信息難以捕捉。建立滑坡預(yù)測(cè)模型可以有效減少滑坡災(zāi)害對(duì)人民生命財(cái)產(chǎn)的危害。針對(duì)滑坡預(yù)測(cè)模型，李秀珍[1]、王騰軍[2]等通過不同計(jì)算方法對(duì)傳統(tǒng)GM(1,1)模型進(jìn)行優(yōu)化，建立的滑坡預(yù)測(cè)模型精度均有不同程度的提高，但未對(duì)傳統(tǒng)模型公式的不合理性進(jìn)行改進(jìn)；曹洪洋[3]等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和GIS分析技術(shù)，建立了群發(fā)性降雨型滑坡災(zāi)害預(yù)測(cè)模型；畢華興[4]、喻根[5]等采用GIS技術(shù)建立了滑坡預(yù)測(cè)模型；賀小黑[6]、周中[7]等對(duì)Verhulst模型進(jìn)行了相關(guān)改進(jìn)，并建立了滑坡預(yù)測(cè)模型。這些滑坡預(yù)測(cè)模型的建立為滑坡預(yù)測(cè)分析提供了重要參考。

大多數(shù)滑坡預(yù)測(cè)模型都是根據(jù)灰色預(yù)測(cè)理論建立的，其中灰色GM(1,1)模型最為常用，其彌補(bǔ)了傳統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的不足，對(duì)于樣本的多少、有無(wú)規(guī)律均無(wú)要求。GM(1,1)模型是一階單變量微分方程，與利用離散數(shù)據(jù)所建立的、按時(shí)間作逐段分析的、遞推的、離散的模型有著本質(zhì)的區(qū)別。GM(1,1)模型不是原始數(shù)學(xué)模型，而是生成數(shù)據(jù)序列模型；通過對(duì)生成數(shù)列的處理，使無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性[8-9]；但傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型存在預(yù)測(cè)精度不高的問題。鑒于此，何昕[10]、馬維軍[11]等分別運(yùn)用馬爾科夫鏈理論、補(bǔ)充殘差和加權(quán)平均的方法對(duì)灰色GM(1,1)模型進(jìn)行了改進(jìn)，并對(duì)改進(jìn)后的模型進(jìn)行了誤差檢驗(yàn)；結(jié)果表明，改進(jìn)后的灰色GM(1,1)模型的精度均有所提高，但上述改進(jìn)并沒有針對(duì)模型公式本身的不足進(jìn)行優(yōu)化。本文通過對(duì)模型公式的分析，采用自動(dòng)尋優(yōu)定權(quán)法及最小二乘法對(duì)灰色GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)，并運(yùn)用長(zhǎng)、短期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)（新灘滑坡、黃茨滑坡的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)）對(duì)改進(jìn)后的模型進(jìn)行了實(shí)例分析。

1 灰色GM(1,1)模型的建立

基于灰色GM(1,1) 模型的滑坡預(yù)測(cè)模型是由一個(gè)包含單變量的一階微分方程構(gòu)成的模型。其建模的實(shí)質(zhì)是對(duì)原始數(shù)據(jù)先進(jìn)行一次累加生成，使生成的數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)一定規(guī)律，然后通過建立一階微分方程模型，求得擬合曲線，用以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)[11-13]。

滑坡位移原始數(shù)列為：

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行1-AGO變換，生成一階累加序列，即

鄰均值等權(quán)生成序列為：

式中，μ為權(quán)重系數(shù)，μ∈[0，1]，一般假定μ=0.5，則有：

灰色GM(1,1)模型的微分方程為：

式中，a、u為位置參數(shù)，運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行求解，

式中為x(1)序列的預(yù)測(cè)值；c為待定常數(shù)。為求解c，需要事先確定預(yù)測(cè)初始值，一般假定x?(1)(1)=x(0)(1)，則有，即

鄰均值等權(quán)還原序列為：

2 灰色GM(1,1)模型精度檢驗(yàn)

在實(shí)際滑坡預(yù)測(cè)中，為達(dá)到高精度預(yù)測(cè)，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差檢驗(yàn)以及對(duì)滑坡預(yù)測(cè)模型所用原始數(shù)據(jù)、預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行后驗(yàn)差檢驗(yàn)，只有檢驗(yàn)結(jié)果符合精度等級(jí)要求，才能運(yùn)用建立的灰色GM(1,1)模型進(jìn)行滑坡位移的預(yù)測(cè)。

2.1 殘差檢驗(yàn)

絕對(duì)殘差序列計(jì)算公式為：e(0)(k)=x(0)(k)-x?(0)(k) ；為考察絕對(duì)殘差大小，計(jì)算相對(duì)殘差；在相對(duì)殘差基礎(chǔ)上，計(jì)算平均殘差

2.2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

1）滑坡原始數(shù)據(jù)平均值、均方差計(jì)算。

2）絕對(duì)殘差平均值、均方差計(jì)算。

2.3 預(yù)測(cè)精度等級(jí)

灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)與殘差、后驗(yàn)差檢驗(yàn)有著不一致的檢驗(yàn)結(jié)果[14]，不適合灰色GM(1,1)模型的檢驗(yàn)，因此不對(duì)關(guān)聯(lián)度進(jìn)行分析。預(yù)測(cè)精度等級(jí)分類見表1[15]。

表1 預(yù)測(cè)精度等級(jí)分類

3 模型存在的問題及改進(jìn)

通過對(duì)灰色GM(1,1)模型一般形式的建立，發(fā)現(xiàn)其求解過程存在以下兩個(gè)問題：①對(duì)權(quán)重系數(shù)μ的假設(shè)，一般假設(shè)μ=0.5，但從理論上無(wú)法解釋在權(quán)重系數(shù)為0.5時(shí)模型的預(yù)測(cè)精度最高，故在此需對(duì)權(quán)重系數(shù)的取值進(jìn)行修正。②對(duì)初始值的假設(shè)，將x(0)(1)作為求解微分方程的初始值，則預(yù)測(cè)的曲線擬合必定通過(1，x(0)(1))，但由于模型實(shí)質(zhì)上為外推法，擬合結(jié)果應(yīng)滿足平均相對(duì)誤差最小，因此需要對(duì)初始值的選取進(jìn)行改進(jìn)。

為解決因假設(shè)造成的誤差，令初始權(quán)重系數(shù)μ=0，計(jì)算平均相對(duì)誤差，具體計(jì)算公式為：

令K=c·（1-ea），則有：

在μ=0的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)微小量Δμ，令μ?μ+Δμ，重復(fù)至μ=1，取得平均相對(duì)誤差最小，即模型預(yù)測(cè)精度最高時(shí)的權(quán)重系數(shù)作為最佳權(quán)重，進(jìn)行預(yù)測(cè)。

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 新灘滑坡預(yù)測(cè)

三峽西陵峽中的新灘滑坡發(fā)生于1985年6月12 日，滑坡體積約為3 000余萬(wàn)m3，滑坡體前部的土石堵塞了約1/3的長(zhǎng)江江面。上段滑體巖土體結(jié)構(gòu)由后緣的純崩積物組成的單一結(jié)構(gòu)逐漸過渡到前端的上層為崩積物、下層為坡積物的雙層結(jié)構(gòu)。新灘滑坡的位移監(jiān)測(cè)于1977 年11 月開始，長(zhǎng)期的變形監(jiān)測(cè)為認(rèn)識(shí)和研究滑坡的動(dòng)態(tài)規(guī)律提供了豐富的數(shù)據(jù)和信息[16]。

運(yùn)用傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型與改進(jìn)灰色GM(1,1)模型分別進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，改進(jìn)后的模型取μ=0.373時(shí)預(yù)測(cè)精度最高，平均相對(duì)誤差隨權(quán)值變化曲線見圖1。模型改進(jìn)前后預(yù)測(cè)對(duì)比分析數(shù)據(jù)和該滑坡位移監(jiān)測(cè)值及預(yù)測(cè)值隨時(shí)間的變化曲線，見表2和圖2。

圖1 新灘滑坡預(yù)測(cè)模型平均相對(duì)誤差隨權(quán)值變化曲線

表2 新灘滑坡位移監(jiān)測(cè)值及模型預(yù)測(cè)值/mm

圖2 新灘滑坡位移監(jiān)測(cè)值及預(yù)測(cè)值隨時(shí)間的變化曲線

綜上可知，改進(jìn)的灰色GM(1,1)模型的相對(duì)誤差為0.737 3，傳統(tǒng)模型的相對(duì)誤差為0.894 9。改進(jìn)前后模型預(yù)測(cè)后驗(yàn)差比值為C1=0.570 9、C2=0.208 9。小概率誤差p均為1，根據(jù)表1預(yù)測(cè)精度等級(jí)分類，改進(jìn)前預(yù)測(cè)精度等級(jí)為三級(jí)，改進(jìn)后預(yù)測(cè)精度等級(jí)為一級(jí)。

4.2 黃茨滑坡預(yù)測(cè)

甘肅省永靖縣黃茨滑坡起始監(jiān)測(cè)時(shí)刻為1994 年8 月1日，監(jiān)測(cè)時(shí)間間隔為15 d，滑坡發(fā)生時(shí)間為1995 年1月30日凌晨2點(diǎn)30分，根據(jù)黃茨滑坡A6號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的地面位移信息資料[17]，改進(jìn)后模型取μ=0.434時(shí)預(yù)測(cè)精度最高，平均相對(duì)誤差隨權(quán)值變化曲線見圖3，模型改進(jìn)前后預(yù)測(cè)對(duì)比分析數(shù)據(jù)和該滑坡位移監(jiān)測(cè)值及預(yù)測(cè)值隨時(shí)間的變化曲線，見表3和圖4。

圖3 黃茨滑坡預(yù)測(cè)模型平均相對(duì)誤差隨權(quán)值變化曲線

表3 黃茨滑坡位移監(jiān)測(cè)值及模型預(yù)測(cè)值/mm

圖4 黃茨滑坡位移監(jiān)測(cè)值及預(yù)測(cè)值隨時(shí)間的變化曲線

綜上可知，改進(jìn)的灰色GM(1,1)模型相對(duì)誤差為

0.112 8，傳統(tǒng)模型相對(duì)誤差為0.121 6。改進(jìn)前后模型預(yù)測(cè)后驗(yàn)差比值為C1=0.159 1、C2=0.102 6；改進(jìn)滑坡灰色GM(1,1)模型精度均有提高。

從圖2、4中可以看出，改進(jìn)后的灰色GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)曲線更接近于原始數(shù)據(jù)的曲線，特別是對(duì)于數(shù)值波動(dòng)比較大的數(shù)據(jù)，改進(jìn)后的模型預(yù)測(cè)效果和精度明顯提高。從擬合效果和預(yù)測(cè)精度可看出，改進(jìn)模型在滑坡預(yù)測(cè)上合理可行。

5 結(jié) 語(yǔ)

1） 本文通過對(duì)傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型公式的分析，運(yùn)用最小二乘法和自動(dòng)尋優(yōu)定權(quán)的方法對(duì)預(yù)測(cè)初始值及權(quán)重μ進(jìn)行了改進(jìn)，極大地提高了灰色模型的預(yù)測(cè)精確度。

2）通過實(shí)例驗(yàn)證，改進(jìn)后的灰色GM(1,1)模型具有對(duì)預(yù)測(cè)過程進(jìn)行優(yōu)化的能力，能使長(zhǎng)期滑坡預(yù)測(cè)的精度得到顯著提高，也同樣適用于短期滑坡預(yù)測(cè)，在理論與實(shí)際應(yīng)用中均切實(shí)可行。

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：B

：1672-4623（2016）11-0088-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.11.031

王旭昭，主要從事工程災(zāi)害防治、安全管理與評(píng)價(jià)方面研究。

2015-07-22。

項(xiàng)目來源：2015年度湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)大學(xué)生科技創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（ZK15015）；2015年度湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃資助項(xiàng)目（XCX15116）；湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)楊仁斌科學(xué)基金資助項(xiàng)目（DS0408）。

（*為通訊作者）