☉陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程中心 安振平☉西藏民族大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教研組 袁義東

注重學(xué)生數(shù)學(xué)解題的通性通法訓(xùn)練

☉陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程中心 安振平☉西藏民族大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教研組 袁義東

通性通法是指具有某些普遍意義的規(guī)律性的常規(guī)解題模式和常用數(shù)學(xué)思想方法.高考數(shù)學(xué)重視考查核心的知識(shí)和具有普遍意義的思維方法.例如，從方程組出發(fā)，通過(guò)代入消元，獲得一元方程；畫(huà)函數(shù)圖像或方程曲線，顯示幾何直觀；移項(xiàng)、分解因式、配方、分類(lèi)討論、構(gòu)造函數(shù)等代數(shù)變形.讀者在學(xué)習(xí)解題的過(guò)程中要對(duì)這些普遍性的思想方法進(jìn)行概括、提煉和總結(jié)，不斷地在具體解題活動(dòng)中深入回味和深度感悟，逐漸積累形成自己的解題風(fēng)格.

高考命題的一個(gè)基本原則就是突出核心數(shù)學(xué)思想，淡化特殊解題技巧，盡管某些數(shù)學(xué)問(wèn)題有多種甚至有十多種解答途徑，但相對(duì)讀者而言，這些解法中具有普遍意義的用于考試的通性解法也就一二種，更多的解法是針對(duì)具體題目的特殊方法，這些非通性的特法，在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)特別注意淡化，以便騰出更多的學(xué)習(xí)時(shí)間，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注核心概念和通性通法，使得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更容易些.

如下問(wèn)題是文1、文2中探究的話題，延續(xù)章建躍博士的思考，談?wù)劰P者的一些想法.

問(wèn)題（2011年重慶高考理科第7題）已知a，b>0，a+b=2，則最小值是（ ）.

這是關(guān)于二元的條件最值探求問(wèn)題，應(yīng)用代入方法，可以實(shí)現(xiàn)化“二元”為“一元”，體現(xiàn)“化多為少”的轉(zhuǎn)化策略.

方法1：由a+b=2，得b=2-a，代入消元，有

這里用求導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)最值屬于通法，是一種程序性的解答，但要在讀者學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)知識(shí)之后，才可以應(yīng)用呀！如果讀者沒(méi)有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)，那么對(duì)該題目的解答，它有哪些通性通法呢？

方法2：由a+b=2，得b=2-a，代入消元，有

這是關(guān)于a的函數(shù)，若讀者沒(méi)有學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)，不用求導(dǎo)能解答嗎？

因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以方程（*）有實(shí)數(shù)根，于是，其判別式（3-2y）2-8y≥0，即4y2-20y+9≥0，解得

顯然，方法2是要求讀者具備初中知識(shí)就可解答的通法.通法要看讀者的知識(shí)貯備，要看讀者已經(jīng)掌握了哪些知識(shí)，有哪些解題經(jīng)驗(yàn).

如上的解答體現(xiàn)了解出一個(gè)字母后，再代入消元，實(shí)現(xiàn)將二元化歸為一元的消元方法，試問(wèn)，不用消元，還有其他通性通法嗎？

顯然，問(wèn)題解答的焦點(diǎn)在于如何運(yùn)用條件a+b=2，實(shí)現(xiàn)解題過(guò)程的化歸與轉(zhuǎn)化.

方法3：由條件等式a+b=2，把函數(shù)式變形為展開(kāi)后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，基本不等式呼之于出，思維是流淌出來(lái)的.下略.

需要指出的是，基本不等式是高中數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容，上述巧妙應(yīng)用條件，也是有思維對(duì)接的“基底”，這是不是通法呢？命題人想考查的解答也許就是該解法吧.筆者以為“通法”和“特技”有時(shí)是相對(duì)的，教學(xué)中重視通法，淡化特技是值得大力提倡、探究和思考的.

數(shù)學(xué)是思維的體操，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過(guò)程中邏輯推理起著主導(dǎo)作用，讀者在探究解題時(shí)要更多地注重代數(shù)推理、幾何直觀，以及在化歸轉(zhuǎn)化過(guò)程中的具有普遍意義和廣泛遷移性的那些策略性知識(shí)，更多地重視思考問(wèn)題變更中的“開(kāi)竅點(diǎn)”是什么，“轉(zhuǎn)化點(diǎn)”是什么，思維“受阻點(diǎn)”在哪里，善于想想為什么要這樣進(jìn)行變形和推理，不這樣變形行嗎？還有其他解答通道嗎？提煉反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題就意味著掌握基本題的通用解法.

1.章建躍.注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（11）.

2.查正開(kāi).“零次化”解2011年高考題［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（11）.