張淑艷，郭 輝，張蒙祺， 孫曉玲

(1. 西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055；2. 西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072；3. 空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100076)

雙壓力角非對(duì)稱齒形直齒面齒輪副有限元應(yīng)力分析

張淑艷1，郭 輝2，張蒙祺2， 孫曉玲3

(1. 西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055；2. 西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072；3. 空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100076)

根據(jù)齒輪嚙合原理，推導(dǎo)了雙壓力角非對(duì)稱齒形面齒輪的齒面方程.在有限元軟件ANSYS中建立了面齒輪副輪齒接觸有限元分析模型.通過有限元接觸壓力計(jì)算結(jié)果與基于點(diǎn)接觸Hertz理論接觸壓力計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析，確定了有限元模型的網(wǎng)格密度.由若干組算例的計(jì)算結(jié)果表明，適當(dāng)增大工作側(cè)齒面壓力角可以明顯降低面齒輪副接觸壓力和齒根彎曲應(yīng)力，因此，非對(duì)稱齒形設(shè)計(jì)可以獲得更高的輪齒強(qiáng)度.

非對(duì)稱設(shè)計(jì)；面齒輪傳動(dòng)；有限元法；齒面接觸壓力；齒根彎曲應(yīng)力

面齒輪傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大等優(yōu)點(diǎn)，近年來已被應(yīng)用于航空減速器[1]等高速重載及有輕質(zhì)要求的場(chǎng)合.然而面齒輪齒寬受到外徑齒頂變尖和內(nèi)徑根切的限制，使其輪齒強(qiáng)度受到一定的影響.

文獻(xiàn)[2]研究表明，適當(dāng)增加齒輪壓力角可以降低齒面接觸壓力，提高抗膠合能力.但當(dāng)壓力角增大時(shí)，齒輪齒頂會(huì)變薄并使強(qiáng)度下降.鑒于航空減速器中齒輪副通常是單向傳動(dòng)，故可以嘗試將面齒輪的工作側(cè)齒面壓力角增大，而將非工作側(cè)齒面壓力角適當(dāng)減小.這樣既可以提高齒面強(qiáng)度，又可以保證足夠的齒頂厚度，如此便形成了雙壓力角非對(duì)稱面齒輪副.

在面齒輪齒形設(shè)計(jì)與嚙合性能分析方面，國(guó)內(nèi)外已有不少文獻(xiàn)報(bào)道相關(guān)研究.文獻(xiàn)[3]推導(dǎo)了面齒輪齒面方程，建立了齒面雙冠修形方法，通過TCA(tooth contact analysis)和接觸有限元分析研究了修形量對(duì)嚙合性能的影響.在非對(duì)稱齒形設(shè)計(jì)方面：文獻(xiàn)[4]對(duì)非對(duì)稱齒形直齒輪齒面生成及齒面修形方法進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)[5]研究了非對(duì)稱齒形直齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)(非對(duì)稱系數(shù)等)的可行域，并在某型直升機(jī)中得以應(yīng)用，齒輪強(qiáng)度提高了5%～9%.國(guó)內(nèi)方面，文獻(xiàn)[6-7]對(duì)面齒輪的設(shè)計(jì)和加工技術(shù)進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[8]采用有限元法研究了標(biāo)準(zhǔn)直齒面齒輪副的應(yīng)力變化規(guī)律，文獻(xiàn)[9-10]研究了面齒輪的磨齒加工理論和方法.

本文主要探討非對(duì)稱齒形設(shè)計(jì)對(duì)面齒輪副強(qiáng)度性能的影響，分析齒輪應(yīng)力隨參數(shù)的變化規(guī)律，以求獲得面齒輪副更高的強(qiáng)度性能.

1 非對(duì)稱齒形直齒面齒輪齒面的生成

為了進(jìn)行有限元應(yīng)力分析，首先要建立非對(duì)稱齒形直齒面齒輪齒面的準(zhǔn)確幾何模型.然而面齒輪的齒面形狀非常復(fù)雜，無法用顯式表達(dá)式表示，同時(shí)為了研究齒形參數(shù)對(duì)強(qiáng)度的影響，因此，這里先給出非對(duì)稱面齒輪兩側(cè)齒面方程的推導(dǎo)過程.其基本思路：以基本齒條工作側(cè)和非工作側(cè)的齒面方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)用于展成面齒輪的產(chǎn)形(由刀刃切削運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的形狀)圓柱齒輪兩側(cè)齒面，再根據(jù)產(chǎn)形輪齒面和運(yùn)動(dòng)學(xué)法，推導(dǎo)非對(duì)稱齒形面齒輪的兩側(cè)齒面.

1.1 非對(duì)稱齒形插齒刀齒面方程

面齒輪傳動(dòng)原本為線接觸形式，但如果產(chǎn)形輪齒數(shù)比與其嚙合的小齒輪大ΔN，便可獲得點(diǎn)接觸，通常取ΔN=1～3.

產(chǎn)形輪齒面的生成坐標(biāo)系設(shè)置如圖1所示，動(dòng)坐標(biāo)系Ss(Os-xs-ys-zs)、Scs(Ocs-xcs-ycs-zcs)分別與產(chǎn)形輪和齒條剛性聯(lián)結(jié)，靜坐標(biāo)系Sm(Om-xm-ym-zm)與刀架剛性聯(lián)結(jié).漸開線齒輪對(duì)稱齒條形刀具的基本齒廓是齒形角等于標(biāo)準(zhǔn)壓力角的梯形齒廓；而非對(duì)稱漸開線齒輪的基本齒廓保持分度線上的齒厚不變，改變兩側(cè)刀刃的壓力角使之不再相等.

(a) 齒條法向齒形 (b) 齒條齒向齒形 (c) 展成運(yùn)動(dòng)圖1 由非對(duì)稱齒條展成圓柱直齒輪的坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Systems for generation of spur gears by asymmetric race-cutter

在坐標(biāo)系Scs下齒條工作側(cè)與非工作側(cè)的齒面方程分別為

(1)

(2)

式中：αnd,αnc分別為齒條工作側(cè)與非工作側(cè)的壓力角；s0為齒條節(jié)面處的齒槽寬，它決定了被展成齒輪的節(jié)圓齒厚；usd,usc,lsd,lsc分別為齒條工作側(cè)及非工作側(cè)齒面在齒廓方向與齒條寬度方向的兩個(gè)齒面參數(shù).

在Scs坐標(biāo)系下齒條兩側(cè)齒面的法向量分別為

(3)

(4)

根據(jù)嚙合原理[11]，產(chǎn)形輪兩側(cè)齒面的徑矢方程與法矢方程可分別表示為

(5)

(6)

Lscs(φs)為Mscs(φs)的前三行三列所構(gòu)成的向量轉(zhuǎn)換矩陣；rps為產(chǎn)形輪分度圓半徑；φs為產(chǎn)形輪的轉(zhuǎn)角；fd(usd,lsd,φs)與fc(usc,lsc,φs)分別為兩側(cè)齒面在展成過程中的嚙合方程.

1.2 非對(duì)稱齒形面齒輪齒面方程

為便于分析，建立如圖2所示的坐標(biāo)系統(tǒng).其中：坐標(biāo)框架Ss與S2分別被剛性地連接在產(chǎn)形齒輪與面齒輪上；坐標(biāo)系Sm與Sa是兩個(gè)輔助的固定坐標(biāo)框架，Sa位于刀具的初始位置上，輔助固定坐標(biāo)系Sm位于面齒輪的初始位置上；角度ψs和ψ2分別為刀具齒輪和面齒輪的轉(zhuǎn)角；γm為面齒輪副的軸交角；L0為輔助參數(shù)，其值可取為面齒輪的內(nèi)半徑.

圖2 面齒輪加工坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate systems for generation of face gear

從產(chǎn)形輪固結(jié)坐標(biāo)系Ss到面齒輪固結(jié)坐標(biāo)系S2的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

根據(jù)微分幾何原理可以通過如下方式推導(dǎo)工作側(cè)嚙合方程，非工作側(cè)與此同理.在與產(chǎn)形輪固結(jié)的Ss坐標(biāo)系中，產(chǎn)形輪上任意一點(diǎn)相對(duì)于面齒輪的相對(duì)速度為

(7)

由式(5)可得到產(chǎn)形輪在Ss坐標(biāo)系中的齒面方程及法向量，由齒輪嚙合原理，齒面在接觸點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度與公法矢量方向相垂直，即兩齒面沿接觸點(diǎn)的公法線方向無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可得嚙合方程為

(8)

把產(chǎn)形輪在Ss坐標(biāo)系下的齒面通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換表示為在S2坐標(biāo)系下隨運(yùn)動(dòng)參數(shù)ψs變化的曲面，即：

r2d(usd,lsd,ψs)=M2s(ψs)·rsd(usd,lsd)

(9)

r2d(usd,lsd,ψs)中的點(diǎn)作為面齒輪齒面，除了滿足式(9)外，還需滿足嚙合方程(8)，即面齒輪齒面方程可表達(dá)為如下方程組的形式：

(10)

方程組(10)內(nèi)包含3個(gè)變量usd,lsd和ψs，由嚙合方程可消去參數(shù)ψs，進(jìn)而構(gòu)成一個(gè)含2個(gè)參變量(usd,lsd)的曲面方程.

同理，非工作側(cè)齒面方程為

(11)

方程組(11)的第二項(xiàng)為非工作齒面與相應(yīng)產(chǎn)形齒輪齒面間的嚙合方程，其形式與式(8)類似，這里不再給出推導(dǎo)過程.

2 有限元模型的建立及網(wǎng)格密度

2.1 有限元接觸計(jì)算模型

以面齒輪齒面方程組(10)和(11)為基礎(chǔ)，在兩側(cè)齒面區(qū)域內(nèi)沿齒高方向和齒寬方向均勻采點(diǎn)，然后按照一定規(guī)律生成輪齒內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)和單元.圖3為面齒輪副單齒的有限元網(wǎng)格示意圖，為了真實(shí)反映齒根處的應(yīng)力集中，齒根部位進(jìn)行了網(wǎng)格細(xì)化處理.

圖3 面齒輪驅(qū)動(dòng)有限元接觸計(jì)算模型Fig.3 FEM contact model of face gear drive

圖3所示面齒輪副的基本參數(shù)以及施加載荷數(shù)據(jù)如表1所示.在此模型中，約束面齒輪輪齒底面和左右側(cè)面的所有自由度，約束小齒輪底面和左右側(cè)面除繞軸線旋轉(zhuǎn)以外的所有自由度；面齒輪副受到的力矩載荷以切向力的形式施加在位于小齒輪底面的節(jié)點(diǎn)上.由接觸計(jì)算可同時(shí)獲得接觸應(yīng)力分布和齒根彎曲應(yīng)力的分布，如圖4所示.

表1 面齒輪副參數(shù)表

圖4 面齒輪齒面接觸應(yīng)力分布Fig.4 Contact stress distribution of face gear

2.2 網(wǎng)格密度討論

在有限元計(jì)算中，由于數(shù)值問題導(dǎo)致網(wǎng)格的疏密程度對(duì)計(jì)算結(jié)果有一定的影響.一般而言，網(wǎng)格越密則計(jì)算結(jié)果越精確，但耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間會(huì)相應(yīng)大量增加.為了平衡計(jì)算精度與計(jì)算時(shí)間，本文建立了標(biāo)準(zhǔn)齒形面齒輪單對(duì)輪齒接觸模型(如圖3所示)，將單對(duì)輪齒有限元計(jì)算的接觸壓力最大值與根據(jù)點(diǎn)接觸Hertz理論計(jì)算的接觸壓力[12]最大值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示.

表2 兩種方法計(jì)算值對(duì)比表

由表2可知，隨著網(wǎng)格密度增加，接觸壓力FEM計(jì)算值呈現(xiàn)趨向于某定值的態(tài)勢(shì).當(dāng)網(wǎng)格密度為齒寬方向200個(gè)單元、齒廓方向100個(gè)單元時(shí)，Hertz理論計(jì)算值與FEM計(jì)算值的相對(duì)誤差已在5%以內(nèi).由于點(diǎn)接觸Hertz理論在適用于齒輪接觸問題時(shí)本身存在一定的誤差，所以當(dāng)Hertz理論計(jì)算值與FEM計(jì)算值的相對(duì)誤差在5%以內(nèi)時(shí)，可以認(rèn)為有限元計(jì)算方法已經(jīng)達(dá)到了足夠高的計(jì)算精度.

3 非對(duì)稱齒形面齒輪副輪齒應(yīng)力分析

仍以表1所述參數(shù)的面齒輪副為對(duì)象進(jìn)行應(yīng)力分析.為了研究?jī)蓚?cè)壓力角的變化對(duì)面齒輪副各項(xiàng)應(yīng)力值的影響情況，這里將算例分為兩大組，編號(hào)為1～6的算例為第一組，僅改變工作側(cè)壓力角αnd取值，編號(hào)為7～12的算例為第二組，僅改變非工作側(cè)壓力角αnc取值，如表3所示.

表3 面齒輪副壓力角取值表

對(duì)于每一種壓力角組合，均計(jì)算了位于從面齒輪齒頂?shù)烬X根的不同嚙合位置處的各項(xiàng)應(yīng)力值，結(jié)果如圖5和6所示.各個(gè)嚙合位置以圖5和6中的橫坐標(biāo)“接觸位置編號(hào)”區(qū)分，編號(hào)值越小越靠近面齒輪齒頂.當(dāng)輪齒處于不同嚙合位置時(shí)，各項(xiàng)應(yīng)力值是不同的.為了對(duì)不同參數(shù)齒輪副的應(yīng)力能夠進(jìn)行比較，本文使用輪齒接觸分析(TCA)技術(shù)[6]，通過調(diào)整大小輪的安裝角度，將所有算例中小齒輪接觸點(diǎn)限定在相同半徑處.

(a) 齒面最大接觸壓力

(b) 齒根最大壓應(yīng)力

(c) 齒根最大拉應(yīng)力圖5 僅改變工作側(cè)壓力角時(shí)應(yīng)力變化(算例1～6)Fig.5 Stress variations for different pressure angles in drive side (case 1 to 6)

由圖5和6可知，當(dāng)改變單側(cè)壓力角時(shí)，各項(xiàng)應(yīng)力值隨壓力角在每個(gè)接觸位置基本呈線性變化.壓力角變化時(shí)有以下規(guī)律：

(a) 齒面最大接觸壓力

(b) 齒根最大壓應(yīng)力

(c) 齒根最大拉應(yīng)力圖6 僅改變非工作側(cè)壓力角時(shí)應(yīng)力變化(算例7～12)Fig.6 Stress variations for different pressure angles in coast side (case 7 to 12)

(1) 增大工作側(cè)壓力角時(shí)，齒面最大接觸壓力顯著下降(平均降幅9.40%)，齒根最大壓應(yīng)力顯著下降(平均降幅7.43%)，齒根最大拉應(yīng)力顯著下降(平均降幅10.96%)；

(2) 減小非工作側(cè)壓力角時(shí)，齒面最大接觸壓力基本不變(最大變化幅值1.50%，變化均值0.25%)，齒根最大壓應(yīng)力基本不變(最大變化幅值2.00%，變化均值0.82%)，而齒根最大拉應(yīng)力有小幅上升(平均升幅2.93%).

4 結(jié) 語

本文對(duì)雙壓力角非對(duì)稱齒形直齒面齒輪副的承載能力進(jìn)行了研究，探討了壓力角對(duì)齒面接觸壓力和齒根彎曲應(yīng)力的影響，主要結(jié)論有：

(1) 增大工作側(cè)壓力角可以明顯降低接觸壓力和齒根拉壓應(yīng)力，提高輪齒的靜強(qiáng)度；

(2) 非工作側(cè)壓力角對(duì)接觸壓力以及齒根壓應(yīng)力基本沒有影響，對(duì)齒根拉應(yīng)力有較小程度的影響.

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FEM Stress Analysis of Spur Face Gear Pair with Asymmetric Double Pressure Angles

ZHANGShu-yan1,GUOHui2,ZHANGMeng-qi2,SUNXiao-ling3

(1. School of Science, Xi’an University of Architecture & Technology, Xi’an 710055, China；2. School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;3. Key Laboratory of Space Physics, Beijing 100076, China)

The equations of tooth surface of double pressure angles asymmetric face gear were conducted according to the theory of gearing. A contact finite element model was established in software ANSYS. The contact pressure calculated from finite element model and the calculated value of contact pressure which was given by the point-contact Hertz theory were compared to determine the element density of the finite element model. Several groups of parameters were calculated. The results show that appropriate increment of the pressure angle of driving side can obviously decrease contact pressure and root bending stress of face gear. Therefore, the applying of asymmetrical design can improve the static load capacity of face gear.

asymmetric design; face gear drive; finite element method; contact pressure of tooth surface; bending stress of tooth root

1671-0444 (2016)04-0490-06

2015-02-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475352)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(3102015BJ(II)MYZ28)

張淑艷(1979—)，女，內(nèi)蒙古赤峰人，副教授，博士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué). E-mail: zhsy1227@163.com

TH 132.41

A