胡 人，劉 華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

儒可夫斯基變換與其逆變換研究

胡 人，劉 華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

針對儒可夫斯基變換及其逆變換在復(fù)分析領(lǐng)域的應(yīng)用，進(jìn)行圓域到橢圓域的儒氏變換和儒氏逆變換的分析與實(shí)現(xiàn)。圖像結(jié)果顯示，儒氏逆變換的2分支在橢圓域上分為左右2葉。本文采用儒氏逆變換，將橢圓域進(jìn)行復(fù)合共形映射，得到一個(gè)四角形域，并給出邊界軌跡。

儒可夫斯基變換；共形映射；橢圓域

儒可夫斯基變換是一個(gè)共形映射，在理論和應(yīng)用中具有重要意義。廣為人知的是其在空氣動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用，其在機(jī)翼模型的設(shè)計(jì)與制造過程中具有關(guān)鍵作用。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]將儒可夫斯基變換應(yīng)用于工程和空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，以儒可夫斯基機(jī)翼模型為基礎(chǔ)進(jìn)行了一系列應(yīng)用方面的討論。另外，儒氏映射亦可應(yīng)用在電磁領(lǐng)域中的位場理論，如文獻(xiàn)[3]通過對儒可夫斯基映射與其逆映射的應(yīng)用，分別得出了有源和無源電磁場的電勢分析，并簡述了儒可夫斯基與其逆映射的不同情況。文獻(xiàn)[4]則完全集中將儒氏變換應(yīng)用于翼型設(shè)計(jì)，并通過對變換系數(shù)的調(diào)整，得到不同翼型，從而得到不同機(jī)翼模型的性質(zhì)。由經(jīng)典的儒可夫斯基變換更可推出高維情況，文獻(xiàn)[5]將其推廣，并給出在三維情況下得到的映射模型。

雖然儒氏變換與其逆變換十分重要，并廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，但目前對其進(jìn)行的數(shù)理分析較少，分析學(xué)中最早見于復(fù)變函數(shù)引論[6]。本文主要研究儒可夫斯基變換及其逆變換在復(fù)分析領(lǐng)域的保角映射作用，即橢圓域與圓域的相互轉(zhuǎn)化。從儒可夫斯基變換開始，分析其映射的具體形式，并給出映射過程；討論其逆映射的“雙葉解析函數(shù)”性質(zhì)，并給出逆映射的映射形式。根據(jù)對應(yīng)的映射過程，給出儒氏逆映射對橢圓域映射到圓域的邊界分析，并對一個(gè)在數(shù)學(xué)上應(yīng)用儒可夫斯基變換的具體實(shí)例進(jìn)行分析。

1 背景知識

定義映射為：

該映射為儒可夫斯基變換，其將z平面的圓映射為ω上的橢圓。

由式（1）可得儒可夫斯基逆變換為：

此時(shí)式（2）為雙葉黎曼曲面的變換，其能夠?qū)⒁粋€(gè)橢圓映射成一個(gè)“雙葉”的半圓，如圖1所示[6]。

圖1 儒可夫斯基逆映射

由圖1可知，圖1（a）為長半軸a=c+1/c、短半軸b=c-1/c的橢圓，圖1（b）加粗部分為圖1（a）橢圓的映射結(jié)果，2條細(xì)線為輔助線。由圖1（b）可知，式（2）將橢圓映射成半徑為c和1/c的雙葉半圓環(huán)。

引入實(shí)變數(shù)u和v，令ω=u+iv、z=ρeiθ，由式（1）得：

將上式的實(shí)部與虛部分別與ω=u+iv對比，可將該變換的實(shí)、虛部分離為：

因此經(jīng)過式（1），z平面上半徑為ρ的圓z=ρeiθ變換為ω平面上長半軸、短半軸b=（ρ-）的橢圓，其焦點(diǎn)為（-2，0）和（2，0）。

令ρ=c=2時(shí)，式（1）無系數(shù)，但其可以為除ρ≠1外的任何值。當(dāng)ρ=1時(shí)，由式（3）可知，映射將z平面的圓映射為ω平面連接（-2，0）和（2，0）的直線。

2 曲線外域的映射

式（1）可將圓映射為橢圓，亦將圓外域映射為橢圓外域，如圖2所示[7]。但在處理一般問題時(shí)，需要尋求單位圓的幫助，因此橢圓外域映射為圓外域更加重要。這里應(yīng)用式（2），將ω平面的橢圓外域映射至z平面[8]。由圖2可知，式（2）僅將橢圓的外部映射為雙葉圓環(huán)的“外部”，而并非直觀上逆映射成圓的外部。

圖2 儒可夫斯基映射與其逆映射作用于曲線外域

實(shí)際上，雙葉的儒可夫斯基逆變換將橢圓的外域映射為圓周ρ=c的外部與ρ=1/c的內(nèi)部2葉。因此，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)考慮所選映射的分支，以免混淆。

3 曲線內(nèi)域的映射

3.1 圓環(huán)到橢圓的映射

半徑c=2的圓去除半徑c=1/c的圓的內(nèi)域，也就是當(dāng)z平面區(qū)域?yàn)閳A環(huán)時(shí)，經(jīng)過儒氏變換，能夠映射成ω平面的區(qū)域圖形，如圖3所示。此時(shí)可以看到，式（1）將圓環(huán)內(nèi)部映射為橢圓內(nèi)部[9]。

3.2 橢圓內(nèi)域的映射

下面著重討論橢圓內(nèi)部的映射。由圖3可知，z平面的圓環(huán)經(jīng)式（1）能夠映射成ω平面的橢圓，而ω平面的橢圓經(jīng)式（2）的變化如圖4所示。

此時(shí)，由于式（2）的雙葉性質(zhì)，其實(shí)際上將橢圓的內(nèi)部映射為“兩片”圓環(huán)。圖4（b）中的3條輔助線由外到內(nèi)分別是半徑為c=2、c=1、c=1/c的圓。

圖4 儒可夫斯基逆映射對橢圓內(nèi)域的映射

3.3 儒氏變換的映射軌跡

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，分析儒氏變換邊界的映射軌跡。將半徑為1＜c＜2且x＞0時(shí)的半圓環(huán)經(jīng)式（1）進(jìn)行映射，其映射軌跡如圖5所示。但經(jīng)過儒逆變換后，上半橢圓卻未能逆映射至半圓環(huán)，兩者的關(guān)系發(fā)生了本質(zhì)的變化，如圖6所示。

圖5 儒可夫斯基變換（1）的軌跡

圖6 儒可夫斯基逆變換（2）的軌跡

此時(shí)將上半橢圓經(jīng)儒逆變換后，不再是半圓環(huán)，而變成圖4（b）的邊界輪廓。因此可知，此處的式（2）映射并非如文獻(xiàn)[6]所述，由上半橢圓映射到上半圓，這個(gè)結(jié)果仍是由儒可夫斯基逆變換的雙葉性質(zhì)所造成的。

實(shí)際上，上半橢圓的映射不可能如文獻(xiàn)[6]中所示為上半圓環(huán)，而是如圖7所示，其中的輔助線如上文。此處也可印證圖6所述整個(gè)橢圓進(jìn)行儒逆變換后的形狀。

圖7 儒可夫斯基逆變換（2）映射上半橢圓

為能夠?qū)E圓域進(jìn)行連續(xù)映射，現(xiàn)僅考慮橢圓的右半分支，即：

所得結(jié)果如圖8所示，圖中的輔助線如上文。而對于左半分支，也可類似得到相應(yīng)結(jié)果，如圖9所示。由圖9可知，這也與上文的結(jié)果相符。

圖8 儒可夫斯基逆變換（2）映射右半橢圓

圖9 儒可夫斯基逆變換（2）映射左半橢圓

4 儒氏逆映射的應(yīng)用

下面對儒逆映射（2）進(jìn)行應(yīng)用，此處試圖將橢圓域映射為一個(gè)四角形域。僅取橢圓的右半分支，對其應(yīng)用儒逆變換，則半橢圓域?yàn)椋?/p>

映射結(jié)果為曲邊四角形，如上文圖8所示。之后，再對曲四角形進(jìn)行變換得到：

由此得到四角形區(qū)域，如圖10所示。圖中的不連續(xù)處是由于計(jì)算機(jī)采點(diǎn)精度不夠造成的。此時(shí)，整個(gè)復(fù)合映射的過程中區(qū)域的邊界對應(yīng)如圖11所示[10]。

圖11 半橢圓經(jīng)復(fù)合共形映射成四角形區(qū)域的邊界對應(yīng)

為保證圖像直觀，以較大步長取點(diǎn)作圖，因而圖中略有彎曲；當(dāng)取較小步長時(shí)，這些彎曲不會出現(xiàn)。此時(shí)可以看到，右半橢圓內(nèi)部部分實(shí)軸[0，2]∈R的上下兩沿被一致映射成半圓環(huán)的內(nèi)側(cè)邊界，再經(jīng)對數(shù)函數(shù)映射成為四角形的左側(cè)邊界，但方向不發(fā)生本質(zhì)變化。

5 結(jié)束語

本文主要研究了儒可夫斯基變換與其逆變換在復(fù)平面上的映射作用。研究驗(yàn)證了儒可夫斯基變換將圓映射為橢圓，并將圓外域映射為橢圓外域的情況；著眼于儒氏逆變換，探究其映射作用，并發(fā)現(xiàn)由于其雙葉解析的性質(zhì)，對不同的分支有著不同的映射范圍。對于每個(gè)具體映射，給出了邊界軌跡分析與映射區(qū)域及儒可夫斯基逆變換在分析領(lǐng)域中的具體應(yīng)用。

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［9］ 薛均曉.保形映射理論在幾何造型中的某些應(yīng)用研究［D］.大連：大連理工大學(xué)，2009.

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Study of Joukowski transform and its inverse

HU Ren，LIU Hua
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

This paper focuses on the application of two conformal mappings of Joukowski transform and its inverse transform in complex analysis.It studies the image realization of these two conformal maps.Firstly，it realizes the transformation from circular domain to elliptic domain.The image results show that the two branches of the inverse transformation are divided into two leaves on the elliptic domain.Finally，it transforms elliptic domain into a quadrilateral domain under the composite mapping and gives the boundary trajectory.

Joukowski transform；conformal mapping；elliptical domain

O411

A

2095－0926（2016）04－0045－04

2016-08-31

胡 人（1991—），男，碩士研究生；劉 華（1971—），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向復(fù)分析及其應(yīng)用.