江西省南昌市南鋼學(xué)校 李婭琴

例談解析幾何減少計(jì)算量的幾個(gè)技巧

江西省南昌市南鋼學(xué)校 李婭琴

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：

一、充分利用幾何圖形

解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，往往能減少計(jì)算量。

典型例題：設(shè)直線3x+4y+m=0與圓x2+y2+x－2y=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥OQ，求m的值。

解：圓x2+y2+x-2y=0過原點(diǎn)，并且OP⊥OQ，

評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點(diǎn)并且OP⊥OQ，PQ是圓的直徑，圓心在直線3x+4y+m=0上，而是設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)再由OP⊥OQ和韋達(dá)定理求m，將會增大運(yùn)算量。

二、充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略

我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。

評注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計(jì)算。

三、充分利用曲線系方程

利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。

典型例題：求經(jīng)過兩已知圓C1：x2+y2-4x+2y=0和C2：x2+y2-2y-4=0的交點(diǎn)，且圓心在直線：2x+4y-1=0上的圓的方程。

評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡化了計(jì)算。