冉啟康

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,上海 200433)

分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的非Lipschitz隨機(jī)微分方程

冉啟康

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,上海 200433)

討論了一類帶分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的非Lipschitz增長的隨機(jī)微分方程適應(yīng)解的存在唯一性.關(guān)于分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分有多種定義,本文使用一種廣義Stieltjes積分定義方法,利用這種積分的性質(zhì),建立了一類由標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)和一個(gè)Hurst指數(shù)的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)共同驅(qū)動(dòng)的、系數(shù)為非Lipschitz增長的隨機(jī)微分方程適應(yīng)解的存在唯一性定理.

分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng);廣義Stieltjes積分;非Lipschitz增長的SDE;適應(yīng)解

1 預(yù)備及主要結(jié)論

設(shè)(?,F,P)是一個(gè)完備的概率空間,是其上的Hurst指數(shù)為H的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng),本文只討論的情形.自1940年Kolmogorov首次提出分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)以來,由于它在物理、金融、電信等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用而受到越來越多的關(guān)注.1968年,文獻(xiàn)[1]首次給出了分?jǐn)?shù) Brown運(yùn)動(dòng)的基于標(biāo)準(zhǔn) Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分表達(dá)式.文獻(xiàn)[2.3]中對這個(gè)積分表達(dá)式進(jìn)行了改進(jìn).近年來,人們給出了關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的多種隨機(jī)積分的定義,因?yàn)楫?dāng)時(shí),分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅,經(jīng)典的It?o積分不再適應(yīng),人們發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí),隨機(jī)積分可定義為Riemann和的極限,但此積分不滿足性質(zhì)文獻(xiàn)[4]中建立了當(dāng)時(shí)一個(gè)基于Wick乘積的隨機(jī)積分理論,文獻(xiàn)[5]將此積分推廣到0＜H＜1的情形.在文獻(xiàn)[6]中建立了一種廣義Stieltjes積分,這種積分對標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)適用.在文獻(xiàn)[7]中利用這種積分方法證明了SDE,0≤t≤T,當(dāng)b,σW滿足Lipschitz增長條件時(shí),適應(yīng)解的存在唯一性結(jié)果.本文討論方程

我們證明了當(dāng)b滿足非Lipschitz增長條件時(shí),方程(2)存在唯一性的適應(yīng)解.

下面,介紹廣義Stieltjes積分的定義及SDE(2)解空間的定義.

設(shè)(?,F,P)是一個(gè)完備的概率空間,是其上的d-維標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),是其上的Hurst指數(shù)為的d-維分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng),且X0,W,BH相互獨(dú)立.記

其中N表示F的所有P零集.為了定義SDE的解空間,還需要一個(gè)比更大的σ-代數(shù)流使得：是右連續(xù)的,包含的所有P零集,且X0,BH是可測的,W是一個(gè)運(yùn)動(dòng).又表示

為了定義廣義Stieljes積分和SDE的解空間,需要下列函數(shù)空間：

根據(jù)上述記號,下列性質(zhì)是直接的：

引理1.1(1)對任意0＜?＜α,有

(2)對任意?＞0,有

定義 1.1設(shè)稱

為f的α階分?jǐn)?shù)Riemann-Liouville左積分;稱

為f的α階分?jǐn)?shù)Riemann-Liouville右積分.

定義1.2如果其中0＜α＜1,p≥1,定義f的Weyl導(dǎo)數(shù)為

引理 1.2[12](1)如果那么,

記

定義 1.3[6](廣義Stieltjes積分)設(shè)f,g是兩個(gè)定義在(a,b)上的函數(shù),滿足：

(1)f(a+),g(a+),g(b-)存在;

(2)存在p,q≥1,0＜α＜1,使得

那么,f關(guān)于g的廣義Stieltjes積分定義為

特別地,如果αp＜1,因?yàn)樗?/p>

由文獻(xiàn)[6]知：如果f∈Cλ(a,b),g∈Cμ(a,b),且λ+μ＞1,則存在 1-μ＜α＜λ,使得存在,滿足(4)式,且它與普通Stieltjes積分是一致的.

由廣義Stieltjes積分的定義直接得到下列結(jié)論成立：

引理1.3(1)如果那么,對任意t∈[0,T],存在,且

其中

本文中,對b,σW,σH的假設(shè)如下：

定義1.4用表示滿足下列條件的d-維隨機(jī)過程X={Xt,0≤t≤T}的全體：

(1)X是適應(yīng)過程;

(2)X的幾乎所有路徑屬于且滿足

其中,EW(X)表示條件期望

主要結(jié)論如下：

定理1.1如果條件(H1),(H2)及(H3)成立,{σW(t),0≤t≤T}是循序可測的,且存在常數(shù)B＞0,(H4)

那么,當(dāng)T適當(dāng)小時(shí),方程(2)存在唯一解

2 主要結(jié)論的證明

在證明主要結(jié)論前,需要引入幾個(gè)引理：

引理2.1如果條件(H1),(H3)成立,那么對任意,t∈[0,T],有

引理2.2[7]如果那么

引理2.3[7]設(shè)u={u(t),t∈[0,T]}是一個(gè)d×d-維適應(yīng)過程,且滿足

那么,對任意t∈[0,T],a.s.意義下有

為了證明存在性,還需要下列兩個(gè)引理：

引理2.4如果條件(H1)-(H4)成立,則存在常數(shù)b＞0,使得對任意n≥1,有

引理2.5如果條件(H1),(H2),(H3)成立,則對任意t∈[0,T],n,m≥1,有

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Non-Lipschitz stochastic differential equations driven by fractional Brownian

Ran Qikang
(School of Mathematics,Shanghai University of Finance and Economics,Shanghai200433,China)

In this paper,we discuss the existence and uniqueness of a class of non-Lipschitzd stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameterSo far,there are several ways to define stochastic integrals with respect to FBM.In this paper,we define stochastic integrals with respect to FBM as a generalized Stieltjes integral.We give a theorem of existence and uniqueness for SDE with coefficients allowed to have a non-Lipschitzd growth.

fractional Brownian motio,generalized Stieltjes integral, non-Lipschitz stochastic differential equation,adapted solution

O211.63

A

1008-5513(2016)06-0551-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.001

2016-09-06.

國家自然科學(xué)基金(11601306).

冉啟康(1964-),博士,教授,研究方向：隨機(jī)分析.

2010 MSC:60H10,60H05