佟建恒

【摘要】采用法拉第電磁感應(yīng)定律，求解隨時(shí)間變化的均勻磁場(chǎng)中靜止的線圈上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。觀察到導(dǎo)體細(xì)線圈在周期范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)至少兩次的時(shí)間間隔，這樣的結(jié)果會(huì)導(dǎo)致定律失效。但由于磁場(chǎng)的頻率越來(lái)越大，讓感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也越來(lái)越強(qiáng)，而只有自感在被忽略的情況下，線圈的電動(dòng)勢(shì)才能夠符合歐姆定律的要求。

【關(guān)鍵詞】均勻磁場(chǎng) 導(dǎo)體細(xì)線圈 自感現(xiàn)象

【中圖分類號(hào)】TL62+2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）31-0166-02

在大學(xué)物理的課程中，有很多的內(nèi)容與法拉第電磁感應(yīng)定律相關(guān)，但是在學(xué)習(xí)中，主要以外界磁場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體細(xì)線圈的作用為主，而并不是要由感應(yīng)電流的情況來(lái)決定最終的磁通量。此外有一部分人表示，是否符合歐姆定律，還要看導(dǎo)體線圈的電動(dòng)勢(shì)的具體情況，而對(duì)電磁能并不予以特別的重視。下面，我們主要是根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，來(lái)詳細(xì)的研究一下均勻磁場(chǎng)中導(dǎo)體細(xì)線圈的自感現(xiàn)象。

一、感應(yīng)電流和感應(yīng)電流的函數(shù)式

在外界的磁場(chǎng)里，放入導(dǎo)體細(xì)線圈，同時(shí)讓線圈和磁感線出于90度角的狀態(tài)。如果外界磁場(chǎng)能夠因?yàn)闀r(shí)間的變動(dòng)而得到滿足：

B（t）=Bocos（wt）

如果感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)用e來(lái)表示的話，那么電流方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，這兩者就可以形成螺旋關(guān)系。通過(guò)法拉第定律，能夠得到如下的關(guān)系式：

E=do/dt=d/dt（Φ+Φ）=dt/dΦ-dt/dΦ。在這個(gè)關(guān)系式當(dāng)中，Φ代表的是外界磁場(chǎng)給線圈所提供的磁通量，而經(jīng)過(guò)認(rèn)真的分析能夠看出，這個(gè)關(guān)系式能夠滿足Φ=BS=R2B（t）。而Φ則代表感應(yīng)電流所提供的磁通量，適合下面的公式Φ=BS=LI。在這個(gè)公式中，B代表感應(yīng)電流所提供的磁場(chǎng)強(qiáng)度，L則代表導(dǎo)體細(xì)線圈的感應(yīng)系數(shù)。

通過(guò)利用法拉第電磁感應(yīng)定律，我們能夠發(fā)現(xiàn)，電阻和自感電動(dòng)勢(shì)之間的總和相當(dāng)于導(dǎo)體細(xì)線圈所有的磁場(chǎng)感應(yīng)，用公式來(lái)表達(dá)的話就是：

E=IR-EL+Ldt/dI。 在這個(gè)公式中，EL=IR+Ldt/dL代表自感電動(dòng)勢(shì)，而IR則代表電阻所承受的電壓。

根據(jù)以上的公式，我們能夠列出滿足感應(yīng)電流的方程：

2Ldt/dI+IR=na2Bowsin（wt） 如果對(duì)這個(gè)公式采取轉(zhuǎn)換的話，假如導(dǎo)體線圈的電流符合I（0）=0的要求，那么就可以得到2LpI（p）+I（p）R=na2Bo p2+w2/w2.同時(shí)，I（P）=p2+w2/na2w2Bo+2Lp+R/1。

然后通過(guò)對(duì)I（P）=p2+w2/na2w2BΦ+2Lp+R/1的轉(zhuǎn)換，得到準(zhǔn)確的感應(yīng)電流的公式：I（t）=na2w2Bo[-4L2w2+R2/2Lcos（wt）+4L2w2+R2sin（wt）+4Lw2+R2/2L] 如果時(shí)間t→Φ，那么導(dǎo)體細(xì)線圈就會(huì)趨于平穩(wěn)，此時(shí)的公式應(yīng)為：

I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（t）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBosin（wt）。

如果把公式I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（t）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBosin（wt）帶入到EL=IR+Ldt/dL這里，那么當(dāng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)趨于平穩(wěn)的時(shí)候，就能夠得到下列公式：

E（i）=na2wbo 4w2L2+R2/w2L2+R2 sin（wt）。

二、導(dǎo)體細(xì)線圈的自感系數(shù)

盡管在過(guò)去，已經(jīng)通過(guò)研究得到了載流導(dǎo)體線中磁場(chǎng)的感應(yīng)系數(shù)，而且也總結(jié)出了函數(shù)公式：

B（r）=8a（a2-r2）/u0I（4a2-r2），在這個(gè)公式當(dāng)中，a代表導(dǎo)體線圈半徑，r則代表導(dǎo)體線圈周圍的一個(gè)點(diǎn)，不過(guò)在過(guò)去對(duì)導(dǎo)體線圈磁場(chǎng)進(jìn)行分布期間，全都將線圈當(dāng)作沒(méi)有界限的。這樣的情況就造成，當(dāng)磁場(chǎng)與線圈越來(lái)越近的時(shí)候，磁場(chǎng)就會(huì)具有非常大的強(qiáng)度，而且磁通量也會(huì)變得強(qiáng)起來(lái)，這完全與實(shí)際情況不相符，原因在于使用安培環(huán)路定理，輕易的就能夠得出結(jié)論，而從有限粗細(xì)的導(dǎo)體線圈的角度來(lái)進(jìn)行分析的話，我們發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是在表面處，還是平面的磁通量，其有限粗細(xì)的導(dǎo)體線圈都是有限制的，不過(guò)，導(dǎo)體線圈在橫截面的半徑上如果不大于自身半徑的話，這就意味著相關(guān)文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是正確的。

假如導(dǎo)體線圈的橫截面用dr來(lái)表示，線圈的長(zhǎng)度用dl表示，那么電流元的磁感強(qiáng)度就是4n（dr）2/u0Idl，而所有線圈的磁通量就是Om（I）=B（r）2nrdr=LI。如果把公式B（r）=8a（a2-r2）/u0I（4a2-r2）套用到Om（I）=B（r）2nrdr=LI，同時(shí)舍去dr2的話，我們能夠得到導(dǎo)體細(xì)線圈的自感系數(shù)：L=8a/u0n[6In a-3In（2a-dr）a2-2adr-3a2In（dr）]。假如dr的值是0.01a的話，那么自感系數(shù)就是L=5.0ua。

三、討論

I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（wt）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBo sin（wt），E（i）=na2wbo 4w2L2+R2/w2L2+R2 sin（wt），這兩個(gè)公式因?yàn)樵诟袘?yīng)電動(dòng)勢(shì)上具有一定的相位差Oo（0

B（t）=Bocos（wt）=Bosin（wt+2/n）。另外，感應(yīng)電流之間的相位差是2/n+o（0

通過(guò)以上內(nèi)容我們能夠了解到，導(dǎo)體細(xì)線圈在周期范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)至少兩次的時(shí)間間隔，這樣的結(jié)果會(huì)導(dǎo)致定律失效，同時(shí)，如果磁場(chǎng)的頻率越來(lái)越大的話，那么就意味著感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)越來(lái)越強(qiáng)。不過(guò)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是在表面處，還是平面的磁通量，其有限粗細(xì)的導(dǎo)體線圈都是有限制的，不過(guò)，導(dǎo)體線圈在橫截面的半徑上如果不大于自身半徑的話，這就意味著專業(yè)文獻(xiàn)中所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是正確的。

參考文獻(xiàn)：

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