孫康寧，馬林華,2，胡 星

(1. 空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院,西安 710038；2. 西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

基本陷阱集優(yōu)化的IRA-LDPC碼設(shè)計(jì)*

孫康寧**1，馬林華1,2，胡 星1

(1. 空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院,西安 710038；2. 西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

具有非規(guī)則重復(fù)積累結(jié)構(gòu)的低密度奇偶校驗(yàn)(IRA-LDPC)碼是一種編碼簡(jiǎn)單、性能優(yōu)異的信道編碼方法。陷阱集是影響碼字性能的重要因素，尤其是基本陷阱集。為了進(jìn)一步提高IRA-LDPC碼的糾錯(cuò)性能，針對(duì)該碼校驗(yàn)矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，分析了基本陷阱集的分布特點(diǎn)，提出了一種陷阱集優(yōu)化的IRA-LDPC碼構(gòu)造方法，該方法依據(jù)碼字結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)基本陷阱集進(jìn)行了搜索和消除，降低了錯(cuò)誤平層。仿真結(jié)果顯示，優(yōu)化后的0.5碼率、1 024碼長(zhǎng)的碼字在加性高斯白噪聲信道下2.2 dB時(shí)誤碼率便達(dá)到10-7。

低密度奇偶校驗(yàn)碼；非規(guī)則重復(fù)積累；基本陷阱集；校驗(yàn)矩陣

1 引 言

低密度奇偶校驗(yàn)(Low-Density-Parity-Check,LDPC)碼由Gallager[1]在1963年提出，并被證明是一種性能逼近香農(nóng)限的好碼[2-3]。LDPC當(dāng)前的研究方向主要集中在編譯碼算法和碼字構(gòu)造。在編碼算法方面，基于高斯消去的編碼和基于近似下三角矩陣的編碼是較為經(jīng)典的編碼方法。在譯碼算法方面，以置信度傳播(Belief Propagation,BP)算法為代表的軟信息迭代譯碼應(yīng)用較為廣泛。在校驗(yàn)矩陣構(gòu)造方面，基于循環(huán)校驗(yàn)矩陣分解的構(gòu)造方法[4]具有較好的糾錯(cuò)性能和較低的編碼復(fù)雜度。此外，具有非規(guī)則重復(fù)積累(Irregular Repeat Accumulate,IRA)結(jié)構(gòu)的低密度奇偶校驗(yàn)碼也是一類(lèi)性能優(yōu)異的LDPC碼，并且具有近似線(xiàn)性編碼復(fù)雜度[5],簡(jiǎn)稱(chēng)IRA-LDPC碼。

文獻(xiàn)[6]證明了一定信噪比下當(dāng)IRA-LDPC碼碼長(zhǎng)趨于無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，采用最大似然譯碼可使其誤碼率趨近于零。由于其較好的糾錯(cuò)性能與較低的編碼復(fù)雜度，歐洲數(shù)字視頻廣播(Digital Video Broadcasting,DVB)項(xiàng)目組采用IRA-LDPC碼作為DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)的信道編碼技術(shù)，其64 800碼長(zhǎng)的碼字距離香農(nóng)限僅有0.7 dB，比DVB-S標(biāo)準(zhǔn)提高了3 dB。因此，影響IRA-LDPC碼糾錯(cuò)性能的研究具有重要的意義。

文獻(xiàn)[7]分析了度2節(jié)點(diǎn)和度序列對(duì)IRA-LDPC碼糾錯(cuò)性能的影響，并給出了優(yōu)化方法，性能上有一定的提高。文獻(xiàn)[8]提出將改進(jìn)的PEG(Progressive Edge Growth)法用于構(gòu)造IRA-LDPC碼中信息位對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)矩陣，獲得了不錯(cuò)的糾錯(cuò)效果。文獻(xiàn)[9]研究了IRA-LDPC碼的圖模型結(jié)構(gòu)，并將圖模型結(jié)構(gòu)分析的理論應(yīng)用于碼字的構(gòu)造上，取得了不錯(cuò)的性能。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于IRA-LDPC碼的碼率自適應(yīng)方法，使得其應(yīng)用更加靈活。

Richardson[11]指出，在高斯信道下，LDPC碼均存在著錯(cuò)誤平層，這主要是由陷阱集引起的，并且譯碼過(guò)程中絕大多數(shù)的突發(fā)譯碼錯(cuò)誤都是由于基本陷阱集引起的，其含義見(jiàn)定義1、2。

與變量節(jié)點(diǎn)相連的邊的數(shù)目稱(chēng)為變量節(jié)點(diǎn)的度?；鞠葳寮蠖嘤傻投茸兞抗?jié)點(diǎn)組成，如度2和度3節(jié)點(diǎn)。在IRA-LDPC碼中，存在著大量的度2節(jié)點(diǎn)(M-1個(gè))以及度3等低度節(jié)點(diǎn)，因此有必要針對(duì)IRA-LDPC碼中低度節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的基本陷阱集進(jìn)行分析，并將分析的結(jié)論應(yīng)用于碼字的構(gòu)造上，提高其糾錯(cuò)性能，降低錯(cuò)誤平層。

本文首先簡(jiǎn)要介紹了IRA-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣結(jié)構(gòu)；其次，根據(jù)IRA-LDPC碼的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析了IRA-LDPC碼基本陷阱集的分布規(guī)律，并根據(jù)分布規(guī)律消除了部分小規(guī)模的基本陷阱集；最后，對(duì)提出的優(yōu)化基本陷阱集的碼字進(jìn)行了性能仿真。

2 IRA-LDPC碼基本結(jié)構(gòu)

IRA-LDPC碼的校驗(yàn)矩陣H可分為兩部分：

H=[H1,H2]。

(1)

式中：H1為信息位所對(duì)應(yīng)的M×(N-M)維的校驗(yàn)矩陣；H2為校驗(yàn)位所對(duì)應(yīng)的M×M維校驗(yàn)矩陣，采用如式(2)中所示的雙對(duì)角線(xiàn)結(jié)構(gòu)：

(2)

采用這樣的結(jié)構(gòu)，可以采用貪婪算法實(shí)現(xiàn)一部分校驗(yàn)位的線(xiàn)性求解，從而降低整個(gè)編碼過(guò)程的復(fù)雜度。整個(gè)校驗(yàn)矩陣中的度2變量節(jié)點(diǎn)占變量節(jié)點(diǎn)總數(shù)的M-1/N，存在1個(gè)度為1的變量節(jié)點(diǎn)。H1中不含度2節(jié)點(diǎn)，且多采用PEG[12]法構(gòu)造，以保證碼字構(gòu)造的隨機(jī)性。由于H2結(jié)構(gòu)固定，因此優(yōu)化IRA-LDPC碼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)主要集中在構(gòu)造H1的過(guò)程中，要滿(mǎn)足某個(gè)度序列的要求，也只能對(duì)H1進(jìn)行調(diào)整。

3 基本陷阱集分析

定義1[13]：(w,v)陷阱集T是指一個(gè)由w個(gè)變量節(jié)點(diǎn)組成的集合，并且滿(mǎn)足在這w個(gè)變量節(jié)點(diǎn)及v個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)組成的子圖中，包含v個(gè)度為奇數(shù)的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，變量節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)w表示陷阱集的大小。

定義2[13]：在(w,v)陷阱集T中，如果每一個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度為1或2，則稱(chēng)之為基本陷阱集。

在二進(jìn)制刪除信道(Binary Erasure Channel，BEC)和加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)信道下，引起LDPC碼錯(cuò)誤平層的主要原因是陷阱集的存在[13]，且大多數(shù)錯(cuò)誤都是由于基本陷阱集引起的?；鞠葳寮傻投茸兞抗?jié)點(diǎn)組成，如度2和度3節(jié)點(diǎn)。且一般來(lái)說(shuō)，w、v的值越小，譯碼過(guò)程中越容易出現(xiàn)因陷阱集T引起的誤碼。

就IRA-LDPC碼而言，由于存在大量低度變量節(jié)點(diǎn)，因此在構(gòu)造H1的過(guò)程中要盡量避免基本陷阱集的產(chǎn)生。

在IRA-LDPC碼校驗(yàn)矩陣中，由于H2采用雙對(duì)角線(xiàn)結(jié)構(gòu)，因此所有度2變量節(jié)點(diǎn)和一個(gè)度1變量節(jié)點(diǎn)及其相連校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的Tanner圖組成一條首尾不閉合的“2鏈”，如圖1所示，實(shí)心圓代表變量節(jié)點(diǎn)，空心方形代表校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)。

圖1 IRA-LDPC碼中“2鏈”Tanner圖

Fig.1 The Tanner of “2 chains” in IRA-LDPC codes

隨機(jī)挑選“2鏈”中任意n個(gè)不包含度1的相鄰變量節(jié)點(diǎn)，都會(huì)形成一個(gè)(n,2)陷阱集；挑選“2鏈”中任意n個(gè)包含度1的相鄰變量節(jié)點(diǎn)，也會(huì)形成一個(gè)(n,1)陷阱集，這部分陷阱集是無(wú)法消除的，因此，本文致力于在構(gòu)造過(guò)程中消除有度3節(jié)點(diǎn)參與的基本陷阱集,且v≤1。

通常，基本陷阱集由低度變量節(jié)點(diǎn)及其相鄰校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)組成的環(huán)所構(gòu)成[13]。設(shè)所構(gòu)造的碼字低度變量節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)矩陣整體圍長(zhǎng)為girth，這其中存在大量如圖2所示的規(guī)模大于等于girth/2的陷阱集，即a≥girth/2。

圖2 (a,0)和(a,1)基本陷阱集

Fig.2 The elementary trapping sets of (a,0)and(a,1)

然而，由于IRA-LDPC碼字的雙對(duì)角線(xiàn)結(jié)構(gòu)，任意相鄰的度2變量節(jié)點(diǎn)組成的都是首尾不封閉的“2鏈”，這使得不會(huì)存在如圖2(a)所示的完全由度2變量節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的陷阱集，因此，可將限定規(guī)模內(nèi)的基本陷阱集分成以下幾種情況：

情況1：有1個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)參與

由于校驗(yàn)位所對(duì)應(yīng)的變量節(jié)點(diǎn)采用雙對(duì)角線(xiàn)結(jié)構(gòu)，因此，對(duì)于一個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的列，任意兩個(gè)非零元素的行坐標(biāo)之差為a-1時(shí)，就會(huì)引入一個(gè)由a-1個(gè)度2變量節(jié)點(diǎn)和1個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)組成的陷阱集(a,1)。即如果度3變量節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)列的3個(gè)非零元素的任意兩個(gè)的行坐標(biāo)為ci、cj滿(mǎn)足|ci-cj|≡a-1，則存在一個(gè)如圖2(b)所示的(a,1)陷阱集。

情況2：有2個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)參與

根據(jù)IRA-LDPC碼結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)v1、v2為任意兩個(gè)度3的變量節(jié)點(diǎn)，與其相連的邊的集合分別為{e1,e2,e3}、{e4,e5,e6}。以變量節(jié)點(diǎn)v1為根節(jié)點(diǎn)，展開(kāi)其相鄰節(jié)點(diǎn)的Tanner圖，并記錄所經(jīng)過(guò)的路徑，從{e1,e2,e3}開(kāi)始，追蹤深度最大為2a-4，一旦某條路徑深度大于2a-4，則放棄該條路徑；一旦路徑經(jīng)過(guò)除v2外的其他度3變量節(jié)點(diǎn)，則放棄該條路徑。即如果全部滿(mǎn)足下列條件，則存在一個(gè)如圖2(c)所示的(a,0)陷阱集。

(1)有一條路徑可以連通e1、e4；

(2)有一條路徑可以連通e2、e5；

(3)有一條路徑可以連通e3、e6；

(4)除根節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)外，路徑上所有變量節(jié)點(diǎn)數(shù)量之和為a-2；

(5)根節(jié)點(diǎn)到目的節(jié)點(diǎn)的任意一條路徑長(zhǎng)度不超過(guò)2a-4。

情況3：有3個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)參與

與由2個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)參與時(shí)的情況類(lèi)似，只是當(dāng)有3個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)參與時(shí)，根節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)之間的路徑上會(huì)存在1個(gè)度3變量節(jié)點(diǎn)。即如果全部滿(mǎn)足下列條件，則存在一個(gè)如圖2(d)所示的(a,1)陷阱集。

(1)有一條路徑可以連通e1、e4；

(2)有一條路徑可以連通e2、e5；

(3)有一條路徑可以連通e3、e6；

(4)除根節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)外，路徑上所有變量節(jié)點(diǎn)數(shù)量之和為a-2；

(5)根節(jié)點(diǎn)到目的節(jié)點(diǎn)的任意一條路徑長(zhǎng)度不超過(guò)2a-4；

(6)所有路徑經(jīng)過(guò)度3變量節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為1。

4 基本陷阱集優(yōu)化

本文構(gòu)造了基于優(yōu)化陷阱集的IRA-LDPC碼，搜索陷阱集的規(guī)模為a，步驟如下：

Step 1 初始化校驗(yàn)位所對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)矩陣H2，使其滿(mǎn)足式(2)所示的雙對(duì)角線(xiàn)結(jié)構(gòu)；

Step 2 利用PEG法構(gòu)造信息位所對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)矩陣H1，并使整體度序列滿(mǎn)足優(yōu)化的IRA-LDPC碼度序列，在分配度3節(jié)點(diǎn)邊時(shí)，避免出現(xiàn)度3節(jié)點(diǎn)所在列的非零元素行坐標(biāo)出現(xiàn)|ci-cj|≤a-1的情況，以消除圖2(b)所示的(a,1)陷阱集；

Step 3 按照上節(jié)所述情況2、3中陷阱集的搜索方法，記錄所有(a,0)、(a,1)陷阱集；

Step 4 找到的陷阱集進(jìn)行兩兩分組，將兩個(gè)陷阱集中度3變量節(jié)點(diǎn)的其中一條邊進(jìn)行交換，如圖3所示，以消除陷阱集；

Step 5 如果陷阱集總數(shù)為奇數(shù)，則刪除剩余的1個(gè)陷阱集中度3變量節(jié)點(diǎn)的任意一條邊。

圖3 (a,0)和(a,1)基本陷阱集消除

Fig.3 Deleting the elementary trapping sets of (a,0)and(a,1)

5 性能仿真

在加性高斯白噪聲信道下，對(duì)本文構(gòu)造的IRA-LDPC碼、未進(jìn)行優(yōu)化的IRA-LDPC碼以及文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]構(gòu)造的IRA-LDPC碼性能進(jìn)行了仿真。具體仿真參數(shù)設(shè)置為：碼長(zhǎng)分別為1 024和2 048，碼率為0.5；信道環(huán)境為加性高斯白噪聲信道，調(diào)制方式為BPSK調(diào)制；采用對(duì)數(shù)似然譯碼算法進(jìn)行譯碼，最大迭代次數(shù)為100次。譯碼過(guò)程中出現(xiàn)100個(gè)錯(cuò)誤幀時(shí)計(jì)算此時(shí)的誤碼率和誤幀率，結(jié)果比較如圖4和圖5所示。

圖4 1 024碼長(zhǎng)誤碼率比較

Fig.4 Comparison of BER for the length of 1 024

圖5 1 024碼長(zhǎng)誤幀率比較

Fig.5 Comparison of FER for the length of 1 024

從圖4和圖5可以看出，不論是誤碼率還是誤幀率，本文提出的基本陷阱集優(yōu)化的IRA-LDPC碼均具有一定的優(yōu)勢(shì)，與文獻(xiàn)[8]構(gòu)造的LDPC碼相比，提出的碼字在信噪比大于1.5 dB時(shí)體現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)，10-5誤碼率時(shí)性能提高約0.15 dB，10-6誤碼率時(shí)性能提高約0.4 dB；與未進(jìn)行優(yōu)化的IRA-LDPC碼相比，本文所構(gòu)造的碼字在信噪比為0.5～2.5 dB環(huán)境下糾錯(cuò)性能較好，2 dB時(shí)誤碼率可降低一個(gè)數(shù)量級(jí)，誤幀數(shù)量降低約90%；與文獻(xiàn)[7]中構(gòu)造的LDPC碼相比，本文構(gòu)造的IRA-LDPC碼在信噪比為0.5～2.5 dB的范圍內(nèi)在誤碼率和誤幀率上均具有一定優(yōu)勢(shì)，且在2.2 dB時(shí)誤碼率優(yōu)先降至10-7數(shù)量級(jí)。圖6和圖7是在碼長(zhǎng)為2 048、碼率為0.5時(shí)對(duì)各類(lèi)碼字的誤碼率和誤幀率的仿真。

圖6 2 048碼長(zhǎng)誤碼率比較

Fig.6 Comparison of BER for the length of 2 048

圖7 2 048碼長(zhǎng)誤幀率比較

Fig.7 Comparison of FER for the length of 2 048

由上述2 048碼長(zhǎng)時(shí)的性能仿真圖可以看出，本文提出的碼字在信噪比大于1 dB時(shí)性能優(yōu)勢(shì)開(kāi)始體現(xiàn)，10-6誤碼率時(shí)性能較未優(yōu)化的IRA-LDPC碼、文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]優(yōu)化的碼字分別提高約0.1 dB、0.06 dB和0.1 dB，10-4誤幀率時(shí)性能也提高了約0.14 dB、0.1 dB和0.12 dB。

6 結(jié) 論

本文分析了IRA-LDPC碼基本陷阱集的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并將其應(yīng)用于碼字構(gòu)造過(guò)程中，提出了一種基本陷阱集優(yōu)化的IRA-LDPC碼構(gòu)造方法。仿真結(jié)果顯示，本文優(yōu)化的IRA-LDPC碼在糾錯(cuò)性能上較未優(yōu)化的IRA-LDPC碼以及文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]中構(gòu)造的碼字均有一定提高。此外，本文構(gòu)造的碼字在高信噪比下依然存在一定的錯(cuò)誤平層現(xiàn)象，這可能是由于本文僅針對(duì)(a,0)、(a,1)陷阱集進(jìn)行分析優(yōu)化，而對(duì)于更大規(guī)模陷阱集的快速搜索和優(yōu)化問(wèn)題，仍需在下一步的研究中改進(jìn)。

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SUN Kangning was born in Zibo,Shandong Province,in 1991. He is now a graduate student. His research concerns channel coding and anti-interference communication.

Email:15353744007@163.com

馬林華(1965—)，男，陜西漢中人，2006年于西安電子科技大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闊o(wú)線(xiàn)自組織網(wǎng)絡(luò)和信道編碼;

MA Linhua was born in Hanzhong,Shaanxi Province,in 1965. He received the Ph. D. degree from Xidian University in 2006. He is now a professor and also the Ph.D. supervisor. His research concerns wireless ad hoc networks and channel coding.

Email:lang_max@163.com

胡 星(1990—)，男，河南南陽(yáng)人，博士研究生，主要研究方向?yàn)槎嘈诺澜尤爰夹g(shù)。

HU Xing was born in Nanyang,Henan Province,in 1990. He is currently working toward the Ph.D. degree. His research concerns multi-channel access technology.

Email:xingxing111@163.com

Construction of IRA-LDPC Codes with Elementary Trapping Sets Optimized

SUN Kangning1,MA Linhua1,2,HU Xing1

(1.Aeronautics and Astronautics Engineering Institute,Air Force Engineering University,Xi′an 710038,China；2.The State Key Laboratory of Integrated Services Networks,Xidian University,Xi′an 710071,China)

Irregular repeat accumulate low-density-parity-check(IRA-LDPC) codes have low encoding-complexity and good performance in correcting errors. Trapping sets are key factors to the performance of the codes,especially the elementary trapping sets. In order to improve the error-correcting capacity,according to the characteristic of the structure for parity matrix,the distribution of elementary trapping sets is analyzed,and a construction method of IRA-LDPC codes is proposed. This method based on the construction of the codes can search and eliminate the elementary trapping sets,which lowers the error-floor. As can be seen from the simulation,the bit error rate(BER) reaches 10-7at 2.2 dB with optimized IRA-LDPC codes with 1 024 code-length and 0.5 code-rate in additive white Gaussian noise(AWGN) channel.

LDPC codes；irregular repeat accumulate；elementary trapping sets；parity-check matrix

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.12.013

孫康寧，馬林華，胡星.基本陷阱集優(yōu)化的IRA-LDPC碼設(shè)計(jì)[J].電訊技術(shù)，2016,56(12):1376-1380.[SUN Kangning,MA Linhua,HU Xing.Construction of IRA-LDPC codes with elementary trapping sets optimized[J].Telecommunication Engineering,2016,56(12):1376-1380.]

2016-04-12；

2016-06-28 Received date:2016-04-12；Revised date：2016-06-28

綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西安電子科技大學(xué))開(kāi)放研究課題(INS-15-13)

Foundation Item:The Open Foundation of The State Key Laboratory of Integrated Services Networks(Xidian University)(INS-15-13)

TN911.22

A

1001-893X(2016)12-1376-05

孫康寧(1991—)，男，山東淄博人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾诺谰幋a和通信抗干擾;

**通信作者：15353744007@163.com Corresponding author：15353744007@163.com