王雪飛, 王昌盛, 尚朝軒, 張宏偉

(1.軍械工程學院 電子與光學工程系, 河北 石家莊 050003；2.軍械工程學院 信息管理中心, 河北 石家莊 050003)

Bayes檢測與估計的教學探索

王雪飛1, 王昌盛2, 尚朝軒1, 張宏偉1

(1.軍械工程學院 電子與光學工程系, 河北 石家莊 050003；2.軍械工程學院 信息管理中心, 河北 石家莊 050003)

Bayes檢測和Bayes估計是“信號檢測與估計”課程中的主要內容。本文給出一種閉環(huán)分析Bayes檢測和Bayes估計的方法。通過由Bayes檢測的離散求和方法，過渡到Bayes估計的連續(xù)積分方法；又通過Bayes估計的決策空間的二維離散化，推導出Bayes檢測器的形式。該方法特點是建立由此及彼的閉環(huán)聯(lián)系和反饋，通過比較的觀點，突出了Bayes檢測和Bayes估計的本質和聯(lián)系，便于學生理解和掌握。

信號檢測；信號估計；教學研究

0 引言

“信號檢測與估計”課程重點研究通信與信息系統(tǒng)中信號檢測與估計的基本理論和方法，其中，Bayes檢測與Bayes估計是重點和難點，也是其它檢測與估計方法(如最大似然、最大后驗等方法)的基礎[1，2]。在教材內容安排上，兩者分屬于不同的模塊，獨立推導和分析，但由于名稱和概念接近，學生容易混淆，概念錯位，張冠李戴，導致不能有效地將其應用于工程實踐[3]。

本文給出一種閉環(huán)分析Bayes檢測與Bayes估計的方法。該方法通過建立離散決策空間與連續(xù)決策空間的閉環(huán)聯(lián)系，深入解剖Bayes檢測與Bayes估計，不僅對比分析了兩者的異同和應用背景，而且將其拓展融入進檢測與估計方法的整體架構中，提高了學生對理論的理解和應用水平。

1 Bayes檢測與Bayes估計

信號在傳輸?shù)倪^程中，會受到干擾，接收端必須對接收信號進行統(tǒng)計分析。統(tǒng)計分析的基本任務就是判定某種信號是否存在，估計攜帶信息的信號參量以及該信號波形的恢復。

對于檢測問題，需要確定判決門限，不同的優(yōu)化準則導致不同的判決門限，對應不同的檢測方法。Bayes檢測的實質是綜合接收數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性和判決假設的先驗概率，在判決帶來的總平均代價最小的情況下尋求最佳的判決門限，其中，總平均代價為各種判決代價的統(tǒng)計均值。設：Hi(i=0,1)為Bayes檢測的假設，Di(i=0,1)為判決，cij(i,j=0,1)為判決的代價因子，則Bayes檢測的先驗知識和準則如表1所示。

表1 Bayes檢測原理

將表1中的各判決概率形式轉化為x的似然函數(shù)在相應判決區(qū)域的積分形式，從而得到，為使R最小，判決區(qū)域的劃分應滿足：

(1)

對于估計問題，需要根據(jù)某種最佳準則構造接收數(shù)據(jù)的函數(shù)，作為參量的估計，不同的最優(yōu)化準則，最佳的含義不同，對應不同的估計方法。

表2 Bayes估計原理

平均代價可寫作條件代價的形式：

(2)

(3)

Bayes檢測中，離散的代價因子決定了檢驗統(tǒng)計量的檢測門限；Bayes估計中，連續(xù)的代價函數(shù)決定了估計量的形式。

2 Bayes決策空間的離散化

以二元假設檢驗為例，考慮電流電平幅度A的檢測，其假設檢驗為

H0:x=wH1:x=A+w

礦山采用陡幫條帶式采剝工藝，采場作業(yè)面變化較頻繁，靈活的公路—汽車運輸才能適應這種采剝方法，但巖石運輸駛離采場后線路相對較為固定，因此考慮是否可以調整固定線路的運輸方式，以降低巖石運輸成本。從目前國內大型露天礦山巖石運輸方式來看，運輸成本相對較為便宜的膠帶運輸越來越受到親睞，也是大型露天開采的發(fā)展趨勢。

(4)

通過構造檢驗統(tǒng)計量，判斷哪種假設成立。這個檢測問題也可以看做由觀測數(shù)據(jù)x對信號的幅度進行估計，而參數(shù)的值域僅為離散的兩個值{0,A}。

若似然比Λ(x)=p(x|H0)/p(x|H1)>Λ0，判決H1成立，則s=A，否則s=0。因此，檢測可以看做是參量離散情況下的估計問題。當參量僅取有限個數(shù)值時，可用多元假設檢驗同時解決檢測與估計問題。

在Bayes估計中，假設參量α為若干個離散的取值，則其先驗概率密度函數(shù)為：

p(α)=p(αi)·δ(α-αi)

(5)

根據(jù)Bayes估計的概念，總平均代價為

(6)

將式(5)代入，得到

(7)

(8)

(9)

與Bayes檢測的平均代價比較， 兩者完全一致。因此，Bayes檢測是Bayes估計的特例，兩者的基礎都是考慮到先驗概率，綜合觀測數(shù)據(jù)，對Bayes公式的運用。不同之處在于：Bayes檢測是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)x在一個二元(M元)的離散決策空間尋找一點與之對應，Bayes估計是對觀測數(shù)據(jù)x在一個連續(xù)的決策空間尋找一點與之對應，一般是輸入空間到?jīng)Q策空間的連續(xù)映射。

3 Bayes檢測與估計的拓展

在經(jīng)典估計問題中，未知參量視為未知的常量，Thomas Bayes創(chuàng)立了Bayes統(tǒng)計理論后，未知參量被看做隨機變量。Bayes方法認為關于隨機變量的任何統(tǒng)計推斷問題中，除了觀測樣本所提供的信息外，還需規(guī)定一個先驗概率分布。根據(jù)觀測樣本和未知隨機變量的先驗分布，利用Bayes公式可以求出已知觀測樣本的條件下，未知參量的條件概率分布(或后驗概率分布)，因此，Bayes檢測與Bayes估計對決策空間的選擇都是基于后驗概率分布的，而這個基礎就是Bayes公式。

根據(jù)決策空間的離散與連續(xù)，以及Bayes統(tǒng)計推斷方法中對先驗概率的已知條件和Bayes代價形式的選擇，得到檢測問題與估計問題關系圖如圖1所示。

從圖中可以看出，最大似然檢測(或最大似然估計)是Bayes檢測(或Bayes估計)在先驗概率與代價函數(shù)未知條件下的特例；最大后驗檢測是最大后驗估計在二元離散參數(shù)空間下的特例。

圖1 Bayes檢測與Bayes估計的拓展

因此，當決策空間由連續(xù)變?yōu)殡x散，估計問題就轉化為相應準則下的檢測問題；經(jīng)典統(tǒng)計推斷方法是Bayes方法的特例。

4 結語

Bayes檢測與Bayes估計是信號檢測與估計的重點內容，對于學生利用統(tǒng)計推斷的理論和思想分析和解決問題起著重要的作用，在系統(tǒng)、聯(lián)系、比較的宏觀視角之下展開教學，有助于學生將整個知識體系融會貫通，增強了新知識以及新、舊概念的聯(lián)系，避免了零碎的知識片斷，保持了知識的連貫性，符合學生的認知特點與學習規(guī)律，在課程學習中達到了事半功倍的效果。

[1] 張明友，呂明.信號檢測與估計[M].北京:電子工業(yè)出版社，2005年2月

[2] [美]Steven M. Kay著,羅鵬飛 等譯.統(tǒng)計信號處理基礎:估計與檢測理論[M].北京:電子工業(yè)出版社，2011年2月

[3] 張文明，羅鵬飛. “隨機信號分析與處理”課程設計案例[J]. 南京:電氣電子教學學報，2010.32(4):88-90

Teaching Exploration on Bayes Detection and Estimation

WANG Xue-fei1, WANG Chang-sheng2, SHANG Chao-xuan1, ZHANG Hong-wei1

(1.ElectricandOpticDepartment,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003，China;2.InformationManagementCenter,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003,China)

Bayes detection and Bayes estimation is the main content of Signal Detection and Estimation course. This paper presents a closed loop analysis in teaching method. By transition from the discrete sum method for Bayes detection to the continuous integration for Bayes estimation, and the form of Bayes detector is derived from the discretization of decision space for Bayes estimation. The method is characterized by establishing the closed-loop feedback, and highlighting the essence and relation of Bayes detection and Bayes estimation over the view of comparison , which is convenient to be understood for students.

signal detection; signal estimation; teaching research

2015-05-12;

2015-10- 26

王雪飛：(1974-)，女，博士，講師，主要從事信號處理、雷達信號處理和對抗等的教學和研究工作，E-mail: wxfwzt2005@tom.com

TN95

A

1008-0686(2016)01-0109-03