鄭克禮，張永正

(1.東北林業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150040；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

素特征域上gl(0，2)在廣義Witt李超代數(shù)中的中心化子

鄭克禮1，張永正2

(1.東北林業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150040；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

主要研究素特征域上gl(0，2)在廣義Witt李超代數(shù)中的中心化子，其中g(shù)l(0，2)是一般線性李超代數(shù)的子代數(shù).首先，考慮了廣義Witt模李超代數(shù)作為gl(0，2)模的分解；接下來(lái)，計(jì)算了從gl(0，2)到廣義Witt李超代數(shù)的每個(gè)子模的內(nèi)導(dǎo)子；最后，用解線性方程組的方法完全確定了gl(0，2)在廣義Witt李超代數(shù)中的中心化子.

中心化子；李超代數(shù)；模；上同調(diào)群

0 引言

中心化子的概念起源于群結(jié)構(gòu)的研究.[1]作為李(超)群的線性化對(duì)象，李(超)代數(shù)自然也存在著中心化子[2-3]，即：若S為李(超)代數(shù)L的子集，則稱

CL(S)={x∈L|[x，s]=0，?s∈S}

為S在L中的中心化子.

顯然中心化子不僅僅是一個(gè)子集，還是一個(gè)子代數(shù).因?yàn)閷?duì)于伴隨表示一個(gè)李(超)代數(shù)可以作為其子代數(shù)的自然模，則上面中心化子的概念等價(jià)于系數(shù)在L上的S的零維上同調(diào)群.又由于代數(shù)的零維上同調(diào)群可歸結(jié)為內(nèi)導(dǎo)子的研究，所以了解李(超)代數(shù)導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)就顯得尤為重要.早在1970年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家Celousov就對(duì)Cartan型模李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)進(jìn)行了的研究.[4]Skryabin在文獻(xiàn)[5]中給出了模李代數(shù)導(dǎo)子的更一般結(jié)論.近年來(lái)Cartan型模李超代數(shù)內(nèi)外導(dǎo)子也被大量的研究，[6-8]進(jìn)而推動(dòng)了Cartan型模李超模代數(shù)的零維上同調(diào)群發(fā)展.文獻(xiàn)[9]對(duì)系數(shù)在Witt和特殊超代數(shù)上的單模李超代數(shù)A(1；0)的低維上同調(diào)進(jìn)行了深入研究，給出了解決此類(lèi)問(wèn)題的同調(diào)方法.本文的原始思想來(lái)源于文獻(xiàn)[10-11].雖然在文獻(xiàn)[11-12]中分別決定了系數(shù)在廣義Witt李超代數(shù)的兩類(lèi)特殊子模上gl(0，2)的零維和一維上同調(diào)群，但對(duì)于廣義Witt李超代數(shù)的一般情況是未知的.本文將給出一些結(jié)論，并且為研究一般線性李超代數(shù)在更復(fù)雜模中的中心化子結(jié)構(gòu)提供理論基礎(chǔ).

1 預(yù)備知識(shí)

令L是素特征域上的李代數(shù)且V是任意的L-模.

線性映射ψa：L→V，如果存在a∈V使得對(duì)于x∈L有ψa(x)=x·a，則稱ψa為由L到V的內(nèi)導(dǎo)子.記Ider(L，V)為所有由L到V的內(nèi)導(dǎo)子的集合，由上同調(diào)群的定義可得零維上同調(diào)群H0(L，V)={a∈V|x·a=0，x∈L}[13].綜合內(nèi)導(dǎo)子和零維上同調(diào)群的定義，

Ider(L，V)=H0(L，V).

本文將素特征域上的廣義Witt李超代數(shù)[14]的寫(xiě)法做如下調(diào)整：

依然記Y0∶={1，2，…，m}，但記Y1∶={1，2，…，n}，于是

Bk∶={〈i1,i2,…,ik〉|1≤i1

令D1，…，Dm，d1，…，dn是O上的線性變換并且εi∶=(δi1，…，δim)，使得：

Di(x(α)ξu)=x(α-εi)ξu，i∈Y0；

dj(x(α)ξu)=(-1)u(j)x(α)ξu-〈j〉，j∈Y1.

其中δij是Kronecker符號(hào).再令

則稱W為素特征域上的廣義Witt李超代數(shù)，且其包含在Der(O)中.顯然W擁有一組基

{x(α)ξuDi，x(α)ξudj|α∈A，u∈B，i∈Y0，j∈Y1}.

由基的結(jié)構(gòu)知

其中

顯然{eij|i，j=1，2}是gl(0，2)的標(biāo)準(zhǔn)基，其中eij是(i,j)位置為1、其他位置為0的矩陣.由于gl(0，2)是李代數(shù)，可以證明gl(0，2)同構(gòu)于W的子代數(shù)〈ξidj|i,j=1,2〉，則W可通過(guò)伴隨表示看作gl(0，2)-模.又由中心化子的概念，可得在此情況下

CW(gl(0,2))=H0(gl(0,2),W).

即：要得到中心化子CW(gl(0,2))，只需要計(jì)算出零維上同調(diào)群H0(gl(0,2)，W).

如不另行說(shuō)明，在本文中u為B中元素，{ξidj|i,j=1,2}為gl(0,2)的標(biāo)準(zhǔn)基.由文獻(xiàn)[13]可知

其中

2 素特征域上的CW(gl(0，2))

為了決定素特征域上的CW(gl(0,2))，只需要對(duì)所有的i=0，…，n，分別處理H0(gl(0,2)，Wi)與H0(gl(0,2)，Wi)即可.首先，將考慮零維上同調(diào)H0(gl(0,2)，W).

命題2.1H0(gl(0,2)，W0)=〈x(α)Dk|k∈Y0〉.

證明 由定義有W0=〈x(α)Dk|k∈Y0〉.對(duì)任意x∈gl(0,2)，有[x,x(α)Dk]=0，則

H0(gl(0,2)，W0)=W0=〈x(α)Dk|k∈Y0〉.

命題2.2H0(gl(0,2)，W1)=〈x(α)ξiDk|i∈Y1{1，2}，k∈Y0〉.

證明 根據(jù)Wi的定義，W1=〈x(α)ξiDk|i∈Y1，k∈Y0〉.設(shè)存在

其中Cik∈F，滿足[gl(0,2),a]=0.則：

已知D1，D2，…，Dm是線性無(wú)關(guān)的，則C1k=C2k=0.這意味著對(duì)所有的y∈gl(0,2)，i∈Y1{1,2}與k∈Y0有[y,x(α)ξiDk]=0.因此結(jié)論成立.

命題2.3H0(gl(0,2)，W2)=〈x(α)ξu-〈1〉-〈2〉Dk||u|=4，k∈Y0〉.

證明 對(duì)y∈gl(0,2)，|v|=4與k∈Y0，顯然有[y,x(α)ξv-〈1〉-〈2〉Dk]=0.現(xiàn)在只需考慮〈x(α)ξ1ξiDk〉與〈x(α)ξ2ξjDk〉，其中i∈Y1{1}，j∈Y1{1,2}.設(shè)存在W2=〈x(α)ξuDk||u|=2，k∈Y0〉中的元素

使得[gl(0,2),a]=0，其中cik，djk∈F.則：

應(yīng)用命題2.2的方法，對(duì)于i∈Y1{1}，j∈Y1{1,2}，k∈Y0，有cik=djk=0.因此就證明了結(jié)論H0(gl(0,2),W2)=〈x(α)ξu-〈1〉-〈2〉Dk||u|=4，k∈Y0〉.

類(lèi)似于命題2.3的證明，可以給出如下推論和命題：

推論2.1H0(gl(0,2),Wi)=〈x(α)ξu-〈1〉-〈2〉Dk||u|=i+2，k∈Y0，0≤i

命題2.4H0(gl(0,2)，Wn-1)=0.

命題2.5H0(gl(0,2)，Wn)=0.

綜合以上結(jié)論有下面結(jié)論成立：

其次，對(duì)所有i=0，1，…，n，下面考慮零維上同調(diào)H0(gl(0,2)，Wi).

命題2.6H0(gl(0,2),W0)=〈x(α)dl|l∈Y1{1,2}〉.

[ξ1d2，a]=-C1x(α)d2=0；[ξ2d1，a]=-C2x(α)d1=0；

[ξ1d1，a]=-C1x(α)d1=0；[ξ2d2，a]=-C2x(α)d2=0.

由x(α)d1≠0與x(α)d2≠0得到C1和C2都為零.

應(yīng)用類(lèi)似的方法，可以得到下面命題：

命題2.8

〈x(α)ξu-〈1〉-〈2〉dl||u|=4，l∈Y1{1，2}〉.

推論2.2 對(duì)于1≤i

〈x(α)ξu-〈1〉-〈2〉dl||u|=i+2，l∈Y1{1，2}〉.

命題2.9H0(gl(0,2),Wn-1)=〈x(α)(ξE-〈1〉d2+ξE-〈2〉)d1〉.

命題2.10H0(gl(0,2),W2)=0.

由以上結(jié)論可得下面定理.

定理2.2

綜合定理2.1與定理2.2易得以下結(jié)論.

定理2.3

[1] JACOBSON N.Basic algebra I[M].2nd ed.New York：Dover Publications，2009：41-42.

[2] JACOBSON N.Lie algebras[M].New York：Interscience Publishers，1962：27-28.

[3] SCHEUNERT M.Theory of Lie superalgebras.An introduction[M].New York：Springer-Verlag，1979：6-12.

[4] CELOUSOV M J.Dervation of Lie algebras of Cartan-type[J].Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat，1970，98：126-134.

[5] SKRYABIN S M.Isomorphisms and derivations of modular Lie algebras of Cartan type[J].Russ Math Surv，1987，42：245-256.

[6] BAI W，LIU W D.Superderivations for modular graded Lie superalgebras of Cartan type[J].Algebr Represent Theor，2014，17：69-86.

[7] 馬麗麗，張朝鳳，張永正.有限維模李超代數(shù)U的導(dǎo)子超代數(shù)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，43(2)：1-6.

[8] 李明，徐曉寧.無(wú)限維模李超代數(shù)Ω的超導(dǎo)子代數(shù)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，46(3)：7-11.

[9] LIU W D，SUN L P.Low-dimensional cohomology of Lie superalgebraA(1；0) with coefficients in Witt or special superalgebras[J].Taiwanese J Math，2013，17：83-107.

[10] ZHANG C W.On theL0-module structure for the generalized Witt algebra and the special Lie algebra[J].J Lie theory，2007，17(4)：709-729.

[13] ROTMAN J.An introducation to homological algebra[M].2nd ed.New York：Springer，2009：1-6.

[14] 張永正，劉文德.模李超代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2004：11-17..

(責(zé)任編輯：李亞軍)

The centralizer of gl(0,2) in the generalized Witt Lie superalgebra over fields of prime characteristic

ZHENG Ke-li1，ZHANG Yong-zheng2

(1.Department of Mathematics，College of Science，Northeast Forestry University，Harbin 150040，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

This paper is primarily concerned with the centralizer of gl(0,2) in the generalized Witt Lie superalgebra over fields of prime characteristic，where gl(0,2) is the subalgebra of the general linear Lie superalgebra.Firstly，the decomposition of the generalized Witt Lie superalgebra as a gl(0,2)-module is considered.Then the inner derivations from gl(0,2) into each submodules of the generalized Witt Lie superalgebra are calculated.Finally，the centralizer of gl(0,2) in the generalized Witt Lie superalgebra is completely determined by solving linear equations.

centralizer；Lie superalgebra；module；cohomology group

1000-1832(2016)04-0001-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.001

2015-06-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171055，11471090)；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20130101068)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2572015BX04).

鄭克禮(1983—)，男，博士，講師，主要從事李理論研究；張永正(1947—)，男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事李理論研究.

O 152.5 [學(xué)科代碼] 110·2130

A