沈 鋒, 宋金陽

(哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于容積卡爾曼濾波的約束恒模波束形成算法

沈 鋒, 宋金陽

(哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

提出一種基于容積卡爾曼濾波的線性約束恒模波束形成算法。首先使用偽觀測法將恒模代價函數(shù)和約束條件寫成狀態(tài)觀測方程,之后利用容積卡爾曼濾波算法來求解以上非線性濾波問題。所提方法能夠避免常規(guī)算法對模型的近似處理和特征值分散效應(yīng)對波束形成器輸出性能的影響,因此對干擾和噪聲有更強的抑制能力。仿真結(jié)果表明,本算法相比隨機梯度法和遞歸最小二乘法具有更快的收斂速度和更高的輸出信干噪比,在非平穩(wěn)環(huán)境下,能夠迅速調(diào)整權(quán)值收斂到最優(yōu)解。

自適應(yīng)波束形成; 恒模準(zhǔn)則; 線性約束; 偽觀測法; 容積卡爾曼濾波

0 引 言

自適應(yīng)波束形成作為一種空域抗干擾技術(shù)近些年得到廣泛的關(guān)注,并被廣泛應(yīng)用到雷達(dá)、聲納、無線通信以及醫(yī)學(xué)成像等諸多領(lǐng)域中。常規(guī)的波束形成準(zhǔn)則都是基于最小方差無失真響應(yīng)準(zhǔn)則(minimum variance distortionless response, MVDR),通過在期望信號方向形成單位響應(yīng)的基礎(chǔ)上最小化輸出信號功率來設(shè)計。在信號模型和噪聲滿足高斯分布的條件下,MVDR波束形成算法能夠得到統(tǒng)計最優(yōu)解。但是對于一些不滿足高斯分布的調(diào)制信號,例如移相鍵控(phase-shift keying,PSK)、正交振幅調(diào)制(quadrature amplitude modulation, QAM)、頻移鍵控(frequency-shift keying, FSK)等通信信號,研究人員發(fā)現(xiàn)此類信號所特有的恒模特性,并利用這些信號在傳播過程中具有小的模值抖動設(shè)計了恒模波束形成器[1]。實驗表明對于恒模信號此類波束形成算法性能優(yōu)于基于信號二階統(tǒng)計量的MVDR波束形成器[2]。

目前,研究人員已經(jīng)提出兩類恒模波束形成算法,一類是無約束算法[3-5],但此類算法存在3點缺陷:①由于恒模準(zhǔn)則屬于非凸代價函數(shù),優(yōu)化算法只能得到局部最優(yōu)解;②恒模準(zhǔn)則是相盲的,恢復(fù)不出期望信號的真實相位;③無約束條件波束形成算法不具備抑制強干擾的能力。其中文獻(xiàn)[5]通過構(gòu)造狀態(tài)空間方程,將輸出信號和權(quán)值向量一起嵌入狀態(tài)變量,從而解決了恒模算法無法得到真實相位的問題,但是依然存在另外兩點缺陷。另一類算法是約束恒模算法[6-11],從根本上解決了以上3點缺陷。因此在無線通信系統(tǒng)中,如果已知期望信號來波角度,通過對陣列響應(yīng)構(gòu)造約束,不但可以使恒模準(zhǔn)則滿足凸函數(shù)[6],而且即使在強干擾或相干干擾環(huán)境中也能恢復(fù)出真實相位的期望信號[6-8]。

由于約束恒模波束形成權(quán)值無解析表達(dá)式,一般使用連續(xù)自適應(yīng)算法來求解。為了能夠達(dá)到快速收斂的目的,論文[9]提出一種基于自適應(yīng)步長隨機梯度法的解法,在一定程度上相比固定步長算法提高了收斂速度。文獻(xiàn)[2,10]分別提出遞歸最小二乘和廣義旁瓣相消器結(jié)構(gòu)下的變遺忘因子遞歸最小二乘算法。文獻(xiàn)[11]提出了基于共軛梯度法的解法,使用迭代策略代替遞歸最小二乘法中加權(quán)協(xié)方差矩陣求逆運算,在保證收斂速度的基礎(chǔ)上降低了計算復(fù)雜度。但是以上算法都使用了近似處理,這增加了穩(wěn)態(tài)誤差同時減慢了收斂速度[5]。更重要的是這類算法都受到協(xié)方差特征值擴散效應(yīng)的影響[12],在輸入信噪比較高的情況下,性能有所退化。

本文提出了基于卡爾曼濾波的線性約束恒模波束形成算法。此方法能夠避免常規(guī)算法的近似處理,并且不受協(xié)方差特征值擴散效應(yīng)的影響。為了解決非線性濾波問題,使用了容積卡曼濾波算法。容積卡爾曼濾波具有數(shù)值穩(wěn)定性好、收斂速度快、精度高和適合高維數(shù)據(jù)處理的特點,自從被提出就引起了廣泛的關(guān)注,并被應(yīng)用到各個領(lǐng)域。文獻(xiàn)[13-14]提出了平方根容積卡爾曼濾波及其改進(jìn)形式,文獻(xiàn)[15]提出了應(yīng)用于連續(xù)時間系統(tǒng)中的處理方法,文獻(xiàn)[16-17]提出基于改善協(xié)方差估計的改進(jìn)算法。本文為了使其適用于陣列處理,將其擴展能夠直接在復(fù)數(shù)域?qū)崿F(xiàn)。仿真實驗驗證,本文算法比常規(guī)算法的收斂速度更快輸出信干噪比更高。

1 恒模波束形成

考慮M陣元的均勻線陣,從遠(yuǎn)場有P個互不相關(guān)的窄帶平面波入射到此陣列上,則接收信號向量表示為

(1)

式中,s0(t)和si(t)分別代表互不相關(guān)的期望信號和干擾信號;as和ai代表期望信號和干擾信號的導(dǎo)向矢量;空間噪聲n(t)為零均值高斯白噪聲,并且與信號不相關(guān)。為了簡便,t時刻的采樣值x(t)寫成xi,恒模準(zhǔn)則表述為

(2)

式中,γ作為先驗條件表示信號散度,定義為

(3)

為說明常規(guī)算法使用了近似處理,以遞歸最小二乘法為例[3],將式(2)中的期望運算寫成求和運算并引入遺忘因子ρ

(4)

在平穩(wěn)隨機環(huán)境下ρ取趨近于1的常數(shù)。之后將式(4)變形為

(5)

2 狀態(tài)空間模型及濾波流程

2.1 約束恒模準(zhǔn)則的狀態(tài)空間模型

由期望信號角度先驗知識構(gòu)造出線性約束,從而使波束形成器在期望角度形成無失真響應(yīng)。這樣構(gòu)成的線性約束恒模準(zhǔn)則[8-11]可以寫為

s.t.aHω=1

(6)

為了使用卡爾曼濾波,首先要構(gòu)造狀態(tài)空間方程,恒模準(zhǔn)則可以看成估計一個未知系統(tǒng)ω,在最小方差的意義上使輸入信號x響應(yīng)的模接近期望信號的模γ。另外,對于式(6)中線性約束這里采用偽觀測方法[18-19],將約束條件看作附加的觀測方程嵌入到狀態(tài)空間模型中。理想情況下式(6)的線性約束寫成不帶測量噪聲的觀測方程,但是這樣會帶來奇異的誤差協(xié)方差矩陣,所以一般情況下將約束條件寫成一個存在固定的小方差測量噪聲形式。這樣雖然不能嚴(yán)格滿足約束條件,但是卻大大提高了濾波算法的穩(wěn)定性。狀態(tài)空間方程表示為

狀態(tài)方程:

ω(k+1)=ω(k)+vs(k)

(7)

觀測方程:

(8)

式中,vs(k)是過程噪聲,假定在平穩(wěn)隨機過程中,選取vs(k)=0。vm1(k)和vm2(k)是測量噪聲。將式(8)寫成向量形式為

z=f(w(k))+vm(k)

(9)

式中,z=[1,γ]T;vm(k)=[vm1(k),vm2(k)]T;f(w(k))=[aHω(k),|ω(k)Hx(k)|2]T。觀測噪聲互不相關(guān)且均值為零,具有協(xié)方差矩陣:

(10)

(11)

(12)

2.2 容積卡爾曼濾波流程

構(gòu)造出的觀測方程式(8)屬于非線性方程,因此本文使用了容積卡爾曼濾波求解以上非線性濾波問題。容積卡爾曼濾波使用容積數(shù)值積分原則計算非線性變換后的隨機變量的均值和協(xié)方差。相比于擴展卡爾曼濾波和無跡卡爾曼濾波,容積卡爾曼濾波算法具有更優(yōu)的非線性逼近性能、數(shù)值精度和濾波穩(wěn)定性,并且實現(xiàn)簡單。下面給出基于容積卡爾曼濾波的約束恒模算法流程:

(13)

狀態(tài)更新:

步驟 1 計算容積點Wi,k-1|k-1∈CM×1

(14)

步驟 2 計算狀態(tài)ωk|k-1∈CM×1和方差Pk|k-1∈CM×M的預(yù)測值

(15)

(16)

量測更新:

步驟 1 計算容積點Wi,k|k-1∈CM×1

(17)

步驟 2 計算通過非線性量測方程傳播的容積點Zi,k|k-1∈C2×1

Zi,k|k-1=f(Wi,k|k-1),i=1,2

(18)

(19)

(20)

(21)

(2) 計算增益和狀態(tài)更新

(22)

(23)

(24)

區(qū)別于其他領(lǐng)域中使用的卡爾曼濾波,此文中的卡爾曼濾波沒有過程噪聲的參與,并且不需要對觀測噪聲進(jìn)行準(zhǔn)確估計,代入預(yù)設(shè)的觀測噪聲方差矩陣Rv即可。本文算法的狀態(tài)維數(shù)為M,觀測維數(shù)為2,各參數(shù)的計算復(fù)雜度如表1所示,則本文算法迭代一次的復(fù)雜度為20M3/3+18M2+31M+10。

表1 各參數(shù)計算復(fù)雜度

3 仿真與分析

(25)

圖1 不同觀測噪聲方差下收斂速度與SINR比曲線Fig.1 Convergence versus SINR at different measurement variance

圖2 3種算法方向圖Fig.2 Beam pattern of the three methods

圖3 收斂性能曲線Fig.3 Convergence performance

圖4 輸出SINR與輸入SNR關(guān)系曲線Fig.4 Relationship between SNR and SINR

圖5 非平穩(wěn)環(huán)境下收斂性能曲線Fig.5 Convergence performance at non-stationary environment

4 結(jié) 論

針對通信系統(tǒng)中的恒模信號,設(shè)計了基于容積卡爾曼濾波的線性約束恒模波束形成算法。線性約束恒模準(zhǔn)則可以很好的克服恒模準(zhǔn)則無法恢復(fù)期望信號相位和無法抑制強干擾的缺點。本文研究了觀測噪聲對線性約束卡爾曼濾波的影響,仿真結(jié)果表明,本算法對觀測噪聲并不敏感,在一定范圍內(nèi)設(shè)置即可。相比傳統(tǒng)基于線性約束恒模準(zhǔn)則的隨機梯度法和遞歸最小二乘法,容積卡爾曼濾波算法在收斂速度和輸出信干噪比有很大的提高。即使在較高輸入信噪比的情況下,本文算法仍然可以避免協(xié)方差特征值分散效應(yīng),得到近似最優(yōu)的輸出信干噪比。

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Constrained constant modulus beamforming based on cubature Kalman filter

SHEN Feng, SONG Jin-yang

(SchoolofAutomation,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China)

A constrained constant modulus adaptive beamforming method based on cubature Kalman filter is proposed. Firstly, the state space model of the constrained constant modulus criterion is formulated with the pseudo-observation method. Then the cubature Kalman filter is utilized to solve the non-linear filtering problem. This algorithm avoids the approximation procedure and the high eigenvalue spread effect which exists in conventional methods, and hence it exhibits better interference and noise suppression capacity. Simulation results demonstrate that the proposed method converges faster than both the stochastic gradient method and the recursive least square method and possesses higher output signal-to-interference-plus-noise ratio. Additionally, it can adjust its weight to the optimal result quickly under the non-stationary environment.

adaptive beamforming; constant modulus criterion; linear constraint; pseudo-observation method; cubature Kalman filter

2015-11-03;

2016-10-12;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2016-10-25。

國家自然科學(xué)基金(61374208);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項基金(HEUCFX41310)資助課題

TN 911.7

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.12.03

沈 鋒(1981-),男,教授,博士,主要研究方向為衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)、陣列信號處理。

E-mail:sf407@126.com

宋金陽(1988-),男,博士研究生,主要研究方向為陣列信號處理。

E-mail:songjy8801@sina.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20161025.1723.014.html