張博倫， 王林飛??， 蔡正輝， 黃云笛

(1.中國海洋大學海底科學與探測技術教育部重點實驗室， 山東 青島 266100； 2.中國海洋大學法政學院， 山東 青島 266100)

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SPGL1算法在地震資料隨機噪聲壓制中的應用?

張博倫1， 王林飛1??， 蔡正輝1， 黃云笛2

(1.中國海洋大學海底科學與探測技術教育部重點實驗室， 山東 青島 266100； 2.中國海洋大學法政學院， 山東 青島 266100)

為了提高地震資料的信噪比，本文基于稀疏表示理論，將SPGL1算法應用到地震資料隨機噪聲的壓制中，在構建過完備原子庫時，以Morlet子波為基礎，應用Hilbert變換確定待分解數(shù)據(jù)的瞬時屬性，并將此作為過完備原子庫時頻參數(shù)選取范圍，提高計算效率。通過合成數(shù)據(jù)和實際資料的處理分析，證明了該方法具有良好的去噪效果。

SPGL1； 稀疏分解； 去噪； Morlet子波； 過完備原子庫； Hilbert變換

從野外采集到的地震資料中，一般都含有干擾信號，隨機噪聲就是一種常見的干擾信號。隨機噪聲在地震記錄中沒有統(tǒng)一的分布規(guī)律，也沒有固定的傳播方向，是隨機出現(xiàn)的，較難去除。為了壓制隨機噪聲，提高地震資料的信噪比，人們已提出了多種基于信號分解理論的方法，如傅里葉變換、短時傅里葉變換、Gabor變換、小波變換等分解變換方法。這些變換通常是根據(jù)信號自身的特點，將其分解在一組完備的正交基上，得到相應的分解系數(shù)，然后利用有效信號和干擾信號的差異在系數(shù)域上做相應處理，最后通過反變換達到去噪的目的。它們的共同點是給定信號的表示形式唯一，一旦信號的特征與基函數(shù)不完全匹配，那么所獲得的分解結果就不一定是信號的稀疏表示[1]，就很難將有效信號和干擾信號區(qū)分開來。近年來在數(shù)字圖像處理領域越來越流行的稀疏表示理論恰恰能彌補這些傳統(tǒng)信號表示方法的不足。

1993年，Mallat和Zhang在小波分析的基礎上提出了信號在過完備原子庫上分解的思想[2]。即將信號在符合自身特征的過完備原子庫上進行分解，能夠實現(xiàn)對信號更靈活，更簡潔和自適應的表示，即稀疏表示。根據(jù)稀疏表示理論[3-5]，對含噪信號而言，具有一定結構特征的有效信號能夠在過完備原子庫中得到稀疏表示，而隨機噪聲則不能。用選取的N個最佳時頻原子的線性組合表示有效信號，殘差部分作為噪聲，從而達到去噪的目的。相比基于傳統(tǒng)信號表示理論的去噪方法，稀疏分解去噪法能夠最大程度地將有效信號和干擾信號區(qū)別開來。近年來，稀疏表示理論也被人們引入到地震資料的去噪中[6-10]，然而這些應用大多是基于MP算法(匹配追蹤)[2]對地震信號進行稀疏分解的。時至今日，人們已提出多種稀疏分解算法，主要包括兩大類，一類是以MP和OMP(正交匹配追蹤)為代表的貪婪算法類，這類算法計算復雜度低，易于實現(xiàn)，但是計算精度不高。另一類是凸松弛法，這類方法通過將非凸問題轉化為凸問題求解，從而找到信號的逼近，如BP(基追蹤)，內點法，L1LS(L1范數(shù)罰的最小二乘LS方法)等。SPGL1(spectral projection gradient for L1 minimization，L1范數(shù)約束下譜投影梯度)算法[11]也屬于凸松弛類，其計算精度高，適用于求解大規(guī)模問題以及復數(shù)域問題，在解決大型稀疏矩陣-向量積上有出色的表現(xiàn)，E.Berg和M. Friedlander進行的一系列數(shù)值測試證明了SPGL1算法具有很強的優(yōu)勢[12]。

本文將SPGL1算法應用到地震數(shù)據(jù)隨機噪聲壓制中，在構建過完備原子庫時，以Morlet子波為基礎，通過對Morlet子波伸縮、平移和調制來構建基于Morlet時頻原子的過完備原子庫。為了使構建的原子庫更有針對性，本文運用Hilbert變換獲得待分解數(shù)據(jù)的瞬時屬性，并將此作為過完備原子庫時頻參數(shù)選取范圍，以提高計算效率。并運用合成數(shù)據(jù)和實際地震資料對該套方法進行測試分析，也同小波閾值去噪法進行了對比，驗證了該方法的有效性。

1 基于SPGL1算法的隨機噪聲壓制

1.1 SPGL1算法去噪原理

Chen和Donoho等[13]將基于L1范數(shù)的稀疏分解算法稱為基追蹤(Basis Pursuit，BP)，BP是一種凸松弛方法，其數(shù)學模型為：

BP：min‖x‖1s.t.b=Ax。

(1)

式中:A為過完備原子庫;x為信號b在A下的分解系數(shù)。當b中含有噪聲時，基追蹤問題即可轉化為基追蹤降噪(Basis Pursuit Denoising，BPDN)[14]：

BPDN：min‖x‖1s.t.‖Ax-b‖2≤σ。

(2)

式中σ為信號b中噪聲水平的估計，當σ=0時，BPDN問題等價于BP問題。此外，L1 范數(shù)方法還包括 LASSO[15](The Least Absolute Shrinkage and Selection,最小絕對收縮與選擇)：

LASSO：min‖Ax-b‖2s.t.‖x‖1≤τ。

(3)

式中τ為有效信號稀疏度。

SPGL1算法是由EwoutVanDenBerg和MichaelP.Friedlander于2008年提出的，適用于求解大規(guī)模問題。算法核心思想是將BPDN問題轉化為一系列的LASSO子問題，然后用梯度投影法求解LASSO問題，通過求解LASSO問題達到求解BPDN的目的。

1.2 基于Morlet子波的過完備原子庫

Morlet子波與地震子波具有相似性，在地震資料處理領域被廣泛應用[16-19]，可以通過Morlet子波(子波)伸縮、平移和調制來匹配實際地震數(shù)據(jù)[20]。本文選取Morlet子波構建過完備原子庫，Morlet子波在時域中的表達為：

(4)

式中：f是頻率參數(shù)；u是時間延遲；k是尺度參數(shù)；φ是相位參數(shù)。為了降低計算復雜度，將尺度參數(shù)k設置為0.5[21]。如圖1所示，(a)為零相位，主頻20 Hz的Morlet子波M(取實部)，(b)為它的振幅譜(振幅做歸一化處理)。

((a)20 Hz零相位Morlet子波M；20 Hz zero phase Morlet wavelet M;(b)子波M的振幅譜； Amplitude spectrum of wavelet M.)

(5)

(6)

式中：S為有效信號；noise為噪聲；mn為S基于原子庫A分解后的Morlet原子；an為有效信號S在A中的分解系數(shù)。

圖2 子波M的瞬時頻率

1.3 SPGL1算法去噪流程

現(xiàn)總結SPGL1算法去噪流程如下：

(1)運用Hilbert變換將實地震道信號轉換成復地震道信號。

(2)求取復地震道信號包絡的峰值處對應的時間，以及瞬時頻率和瞬時相位信息。

(3)將包絡的峰值時間作為Morlet原子庫的時間延遲的取值，瞬時頻率作為頻率參數(shù)的取值，瞬時相位作為相位參數(shù)的取值。

(4)運用SPGL1稀疏分解算法求取地震信號基于過完備原子庫的分解系數(shù)。

(5)計算過完備原子庫(矩陣)與分解系數(shù)(向量)的積，即為去噪后的地震數(shù)據(jù)。

2 效果分析

2.1 合成數(shù)據(jù)測試

((a)合成地震記錄；Synthetic seismogram;(b)加入噪聲后的記錄;After adding noise.)

圖4 含噪記錄的復地震道及其峰值包絡

((a)瞬時相位；Instantaneous phase;(b)瞬時頻率；Instantaneous frequency.)

((a)SPGL1算法去噪效果；Denoising effect of SPGL1 algorithm;(b)小波閾值去噪效果；Wavelet threshold denoising effect;(c)誤差；Error contrast.)

2.2 實際地震資料測試

同樣的，在將此方法運用于實際地震資料處理前，也需先獲得地震數(shù)據(jù)的瞬時屬性以構建更有針對性的過完備原子庫，然后預估出噪聲水平σ作為信號重構誤差(噪聲估計不作為本文討論重點)，運用SPGL1算法將地震信號在過完備原子庫上分解，獲得稀疏系數(shù)，原子庫矩陣與系數(shù)向量的積即為去噪后的數(shù)據(jù)。圖7所示為將本文所討論方法和小波閾值去噪法分別運用于實際地震資料處理前后的對比情況，為便于識別，在顯示效果上均加入AGC(自動增益控制)。

通過對比不難看出，應用小波閾值法去噪后地震數(shù)據(jù)仍有“毛刺”現(xiàn)象，去噪不徹底，而基于SPGL1的去噪方法效果更好，去噪后同相軸清晰可辨。同時能最大程度地保護有效信號，應用效果要優(yōu)于小波閾值去噪法。需要說明的是，為了防止原子庫過大而影響計算效率，本文在構建基于Morlet子波的過完備原子庫時是將尺度參數(shù)設置為一固定值0.5，這樣勢必會影響有效信號的重構精度。如何選取更合適的尺度參數(shù)以及怎樣優(yōu)化原子庫的設計將是作者在以后學習中的重點研究的內容。

3 結語

SPGL1算法運算精度高，適合于求解大規(guī)模問題。本文將該算法應用于地震資料隨機噪聲的壓制中。在合成數(shù)據(jù)和實際資料的去噪中均取得了良好的應用效果。相對于小波閾值去噪，基于SPGL1算法的去噪方法具有明顯優(yōu)勢。

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責任編輯 徐 環(huán)

Application of SPGL1 in Random Noise Suppression of Seismic Data

ZHANG Bo-Lun1, WANG Lin-Fei1, CAI Zheng-Hui1, HUANG Yun-Di2

(1.The Key Lab of Submarine Geosciences and Prospecting Techniques, Ministry of Education, Ocean University of China; 2.College of Law and Politics, Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

In seismic exploration, random noise seriously distorts and interferes with seismic signal. In this study, the SPGL1 algorithm of seismic data denoising is adopted based on the sparse representation, which can efficiently suppress random noise and certainly enhance the SNR. During the creation of over-complete dictionary of atoms, instantaneous attributes of undecomposed data are ascertained by Hilbert-Transform with the help of Morlet wavelet, which are regarded as the range of time-frequency parameters of the over-complete dictionary of atoms. Both theoretical analysis and actual results show that, comparison with wavelet threshold denoising method, the proposed method is of strong denoising ability and fast processing rate.

SPGL1； sparsity decomposition； de-noising; morlet wavelet； hilbert-transform； over-complete dictionary of atoms

國家自然科學基金青年科學基金項目(41204087)；教育部高等學校博士學科點專項科研基金新教師類課題(20120132120030)資助 Supported by the Project of National Natural Science Foundation of China (41204087)； the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education (20120132120030)

2015-07-03；

2015-10-30

張博倫(1990-)，男，碩士生，主要從事海洋地震信號處理研究。E-mail: 1129280705@qq.com

?? 通訊作者：E-mail:wanglf@ouc.edu.cn

P631.4

A

1672-5174(2016)12-081-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20150273

張博倫， 王林飛， 蔡正輝， 等. SPGL1算法在地震資料隨機噪聲壓制中的應用[J]. 中國海洋大學學報(自然科學版), 2016, 46(12): 81-86.

ZHANG Bo-Lun, WANG Lin-Fei, CAI Zheng-Hui, et al. Application of SPGL1 in random noise suppression of seismic data[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(12): 81-86.