理解數(shù)學(xué)關(guān)注學(xué)情優(yōu)化教法——談?wù)動妙l率估計概率的教學(xué)

向利平

與統(tǒng)計與概率板塊的諸多教學(xué)內(nèi)容一樣，老師們對用頻率估計概率這一內(nèi)容的教學(xué)沒有引起重視。一種現(xiàn)象是，教學(xué)時常常要學(xué)生自讀課本，然后告訴學(xué)生“通過大量重復(fù)試驗獲得的隨機(jī)事件發(fā)生的頻率可以作為該隨機(jī)事件發(fā)生的概率”，最后花大量時間進(jìn)行題型訓(xùn)練。另一種現(xiàn)象是，老師本身對與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的背景知識理解不到位，有一些錯誤認(rèn)識，導(dǎo)致課堂中常常出現(xiàn)一些錯誤的做法或說法。本文擬從教學(xué)內(nèi)容的相關(guān)背景知識、教學(xué)目標(biāo)定位等方面談?wù)勛约旱恼J(rèn)識和理解，并提出一個教學(xué)設(shè)計案例，以求拋磚引玉。

一、與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的背景知識

1.概率

現(xiàn)實世界中有確定和不確定兩類現(xiàn)象，我們把不確定現(xiàn)象稱作隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象是否一定發(fā)生是不確定的，但隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性是存在的。為此，人們常常關(guān)心這樣的問題：隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性是否有大有小呢？除了定性的有大有小，是否還可以定量地刻畫呢？

研究隨機(jī)現(xiàn)象的基本方法是隨機(jī)試驗，隨機(jī)試驗的結(jié)果是不確定的，每種可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一次隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)事件是否發(fā)生是沒有什么規(guī)律的，但我們不斷地重復(fù)做同一個試驗時，隨著試驗次數(shù)的增多，隨機(jī)事件發(fā)生的規(guī)律性便呈現(xiàn)出來了，我們把這種規(guī)律性叫做隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律。概率論就是研究這種統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小。為了精確地定量刻畫隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，數(shù)學(xué)中引入了概率這一概念。概率就是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量表達(dá)。

現(xiàn)實生活中的隨機(jī)現(xiàn)象是千姿百態(tài)、豐富多彩的。為了研究的方便，我們將隨機(jī)現(xiàn)象分成一些基本類型。比如，前面學(xué)習(xí)了的用列舉法求概率的古典概型，課本例題和練習(xí)題中涉及的用轉(zhuǎn)盤及各分區(qū)的面積求概率的幾何概型，等等。現(xiàn)實世界中還有很多隨機(jī)現(xiàn)象，我們不能直接通過計算得到某一隨機(jī)事件發(fā)生的概率。比如，拋一枚圖釘，針尖著地的概率，某人站在籃球場的罰球線上投籃投進(jìn)籃筐的概率，等等。用頻率估計概率可以解決這類不能直接通過計算求得的概率問題。

2.用頻率估計概率

以拋擲硬幣試驗為例，如果僅做一次拋擲1000次硬幣的試驗，我們可以計算出硬幣正面朝上的頻率，但無法談?wù)娉项l率的規(guī)律。但如果我們繼續(xù)做第2次、第3次直到第k次試驗，每次拋擲硬幣的次數(shù)n足夠多，正面朝上頻率的規(guī)律就表現(xiàn)出來了，它總在一個定值附近波動。從這k次拋擲試驗的結(jié)果對比中，我們還可以發(fā)現(xiàn)，一般來說拋擲硬幣的次數(shù)n越多，正面朝上的頻率與那個定值相差越小。也就是說，雖然n次試驗所得到的頻率各不相同，但只要n足夠大，頻率就會非常接近一個固定的值。這種規(guī)律稱作頻率的穩(wěn)定性。頻率的這種穩(wěn)定性說明了一個事件發(fā)生的可能性有大小可言，這也使得用頻率測量概率成為可能。事實上，概率論中的大數(shù)定律是已經(jīng)證明過了的：當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，某一事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。

理解用頻率估計概率要注意以下幾點：一是可以用大量重復(fù)試驗中隨機(jī)事件的頻率作為隨機(jī)事件概率的估計值；二是頻率不能等同于概率，兩者有本質(zhì)區(qū)別:頻率依賴于試驗，而概率是隨機(jī)事件本身固有的屬性，是客觀的，不依賴于具體試驗而存在；三是在不同的n次試驗中，即使試驗次數(shù)n相同，但同一事件發(fā)生的頻率也可能不相同，因此不能誤認(rèn)為試驗1000次獲得的結(jié)果就一定比試驗100次獲得的結(jié)果更準(zhǔn)確。

3.隨機(jī)試驗設(shè)計及數(shù)據(jù)分析

歷史上很多人做過成千上萬次拋硬幣試驗，湘教版和人教版教材都列出了一些著名試驗的結(jié)果。下表是人教版教材中列出的幾個著名試驗。

試驗者拋擲次數(shù)n正面向上的次數(shù)m棣莫弗2048 1061 0.5181布豐4040 2048 0.5069費勒10000 4979 0.4979皮爾遜12000 6019 0.5016皮爾遜24000 12012 0.5005正面向上的頻率m n

對以上這些試驗的認(rèn)識應(yīng)把握如下幾點：

①這個表列出了4個人所做的5次試驗，每一次拋擲試驗的次數(shù)為n，這里面的兩個次數(shù)的意義是不一樣的；

②當(dāng)拋擲次數(shù)n很大時，從5次試驗的結(jié)果看，硬幣正面向上這一隨機(jī)事件發(fā)生的頻率均是在固定值0.5上下波動；

③隨著拋擲次數(shù)n的不斷增大，正面向上的頻率越來越接近0.5這個固定值；

拋擲硬幣的問題屬于古典概型，我們知道正面向上的概率是0.5。正因為事先知道正面向上的概率是0.5，歷史上很多人便利用拋擲硬幣試驗研究頻率與概率間的關(guān)系。拋擲硬幣試驗實際上有兩個目的，一是探究大量重復(fù)試驗中隨機(jī)事件發(fā)生的頻率的統(tǒng)計規(guī)律，發(fā)現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性；二是驗證可以將大量重復(fù)試驗的頻率作為概率的估計值。這兩個目的實際上也是本節(jié)課教學(xué)所要達(dá)成的目標(biāo)。

要發(fā)現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，當(dāng)然需要做很多次“n次試驗”，對很多次“n次試驗”獲得的隨機(jī)事件發(fā)生的頻率值進(jìn)行收集、整理并作分析，看看這很多個頻率值是不是具有穩(wěn)定性，看看這很多個頻率值在哪個固定值附近波動。這很多次“n次試驗”及數(shù)據(jù)分析的方式如下表所示。

試驗次序重復(fù)試驗次數(shù)n 隨機(jī)事件發(fā)生的頻率m n隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)m第1次n1m1m1n1第2次n2 n2m2第3次n3m3……m3 n3……第k次nkmkmk m2 nk

二、本節(jié)課的目標(biāo)定位

僅從知識目標(biāo)而言，課程標(biāo)準(zhǔn)對該內(nèi)容的要求并不高，僅一句話：知道通過大量的重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率。但從理解數(shù)學(xué)，從整個統(tǒng)計與概率的過程與方法目標(biāo)的角度看，本教學(xué)內(nèi)容有很重要的價值。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)可作如下定位：

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷提出問題，設(shè)計試驗，收集數(shù)據(jù)，整理和分析數(shù)據(jù)的過程；探究大量重復(fù)試驗中隨機(jī)事件發(fā)生的頻率的統(tǒng)計規(guī)律，發(fā)現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，體會頻率與概率的關(guān)系。信服地接受“通過大量的重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率”。

三、教學(xué)過程的一些困難及突破

通過前面的背景知識分析我們知道，要獲得理想的結(jié)論，需做要多輪次的足夠次數(shù)的隨機(jī)試驗。但課堂的時間是有限的，要達(dá)到多輪次的足夠次數(shù)的試驗顯然不可能。因此，我們可將全班同學(xué)分成若干（比如說14）個試驗小組，各組在相同條件下做一定次數(shù)（比如說50次）的重復(fù)試驗，在收集和整理數(shù)據(jù)時采用累計的方式，就可以得出14輪次的14個數(shù)據(jù)，且第14輪次的試驗次數(shù)可達(dá)到700。

由于是將全班同學(xué)分成若干個小組合作進(jìn)行同一個試驗，因此試驗的規(guī)則、試驗中的注意事項等均需要在試驗前進(jìn)行很好的示范和統(tǒng)一。

教材中提供的拋擲硬幣試驗雖然是很經(jīng)典的試驗，但由于學(xué)生事先已經(jīng)知道了試驗結(jié)果，觀客上不容易引發(fā)學(xué)生的探究欲望，容易引發(fā)應(yīng)付的情緒，甚至應(yīng)付式的謊報數(shù)據(jù)。因此，有必要將問題進(jìn)行改進(jìn)，使學(xué)生在試驗前并不知道試驗的結(jié)果，但試驗結(jié)束后又可進(jìn)行驗證。

試驗結(jié)果與預(yù)設(shè)的結(jié)果難免存在一定程度的偏差，會出現(xiàn)哪些偏差，對出現(xiàn)的數(shù)據(jù)偏差如何解釋，教師在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)做好思考和預(yù)設(shè)。

四、教學(xué)設(shè)計案例

（一）復(fù)習(xí)用列舉法求概率，提出新的問題。

問題1：不透明的布袋中有20個玻璃珠，其中黃色的15個，紅色的5個，每個玻璃珠除了顏色不同外都一樣。從中任意摸出一個玻璃珠，摸到紅色玻璃珠的概率是多少？

問題2：（出示事先準(zhǔn)備的不透明的布袋，內(nèi)裝4個黃色玻璃珠和1個紅色玻璃珠）這個袋子里裝有黃色玻璃珠和紅色玻璃珠共5個，但我不知道里面有多少個黃色玻璃珠和紅色玻璃珠?，F(xiàn)在老師想知道從袋中任意摸一個玻璃珠，摸到紅色玻璃珠的概率是多少。請同學(xué)們幫我想想辦法，怎么辦？

（二）分析問題，設(shè)計試驗方案，分組操作試驗。

引導(dǎo)學(xué)生分析問題2：這個隨機(jī)事件共有5種可能的結(jié)果，但我們不知道有哪5種可能的結(jié)果，所以不能通過計算得出摸到紅色玻璃珠的概率，看來只好進(jìn)行試驗了。

問題3：這個試驗該怎么做呢？做試驗的過程中要注意些什么？需要記下哪些數(shù)據(jù)？（學(xué)生討論之后教師小結(jié)，提出試驗要求）

學(xué)生活動：將全班同學(xué)分成14個小組，每個小組分別進(jìn)行50次摸玻璃珠試驗，并記下這50次試驗中摸到紅色玻璃珠的次數(shù)。

（三）整理并分析試驗數(shù)據(jù)，體會“隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近波動，顯示出一定的穩(wěn)定性”。

1.引導(dǎo)學(xué)生將試驗的數(shù)據(jù)累計并匯總，完成下面的統(tǒng)計表和散點統(tǒng)計圖。

師生交流達(dá)成如下共識：為了節(jié)省試驗的時間，把第1組同學(xué)的50次摸玻璃珠試驗作為第一輪試驗，將數(shù)據(jù)填在第1列中；把第1、2組同學(xué)的100次摸玻璃珠試驗作為第二輪試驗，將數(shù)據(jù)填在第2列中；把第1、2、3組同學(xué)的150次摸玻璃珠試驗作為第三輪試驗，將數(shù)據(jù)填在第3列中。這樣，我們就相當(dāng)于做了12個輪次的試驗。摸到紅玻璃珠頻率

摸玻璃珠次數(shù)50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700摸到紅玻璃珠次數(shù)摸到紅玻璃珠頻率

2.觀察統(tǒng)計圖表，思考并回答下列問題：

①隨著摸玻璃珠試驗輪次的增加，摸到紅玻璃珠的頻率值有什么規(guī)律？

②請同學(xué)們打開裝有玻璃珠的袋子，看看里面有幾個黃色玻璃珠，幾個紅色玻璃珠。用前面所學(xué)的列舉法計算，摸到紅色玻璃珠的概率是多少。

③比較一下，隨著摸玻璃珠次數(shù)的增加，摸到黃色玻璃珠的頻率值與摸到黃色玻璃珠的概率有什么關(guān)系？

（四）歸納小結(jié)，得出新知識。

教師歸納并小結(jié)：實際上，人們從長期的實踐中觀察到，對一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率總在一個固定值附近波動，顯示出一定的穩(wěn)定性。這一統(tǒng)計規(guī)律是由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利最早闡明，數(shù)學(xué)上稱其為大數(shù)定律。值得一提的是，伯努利家族前后三代共出了13位大數(shù)學(xué)家和大物理學(xué)家。

正是有了這一規(guī)律，我們便可以用大量重復(fù)試驗所得的隨機(jī)事件發(fā)生的頻率作為該事件發(fā)生的概率的估計值。

（五）提出新問題，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的深化。

進(jìn)一步觀察統(tǒng)計圖表，思考并回答下列問題：

1.1000次摸玻璃珠試驗獲得的頻率值是否一定比500次摸玻璃珠試驗獲得的頻率值更接近該事件發(fā)生的概率？

2.要獲得較準(zhǔn)確的概率估計值，在收集試驗數(shù)據(jù)時應(yīng)注意些什么？

（六）練習(xí)鞏固，應(yīng)用新知。

在同樣條件下對某種小麥種子進(jìn)行發(fā)芽實驗,統(tǒng)計發(fā)芽種子數(shù)，獲得如下頻數(shù)分布表。

實驗種子n（粒）1550100200500 1000 2000 3000發(fā)芽頻數(shù)m（粒）044592188476951 1900 2850發(fā)芽頻數(shù)0

（1）計算表中的各個頻數(shù)；

（2）估計該小麥種子的發(fā)芽概率；

（3）如果播種該種小麥每公頃所需麥苗數(shù)為4181818棵，種子發(fā)芽后的成秧率為87%，該小麥種子的千粒質(zhì)量為35g，那么播種3公頃該種小麥，估計約需麥種多少kg？

（七）小結(jié)與作業(yè)布置（略）。

（作者單位：長沙市岳麓區(qū)教研室）