周 武

(西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

關(guān)于Hilbert空間中一類廣義隨機(jī)非線性變分不等式

周 武

(西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

介紹并研究了Hilbert空間中的Minty型廣義隨機(jī)非線性變分不等式問題，并在適當(dāng)?shù)臈l件和假設(shè)下，得到了這類廣義非線性隨機(jī)變分不等式和Stampacchia型廣義隨機(jī)非線性變分不等式的等價(jià)的結(jié)論；運(yùn)用該結(jié)論，結(jié)合隨機(jī)化的Banach壓縮映像原理得到了關(guān)于這一類廣義隨機(jī)非線性變分不等式問題的一些新的隨機(jī)解的存在性結(jié)果.

隨機(jī)變分不等式；隨機(jī)算子；隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)；存在性

1 引言及預(yù)備知識(shí)

變分不等式的理論、方法與技巧，可以應(yīng)用于控制論、最優(yōu)化理論、數(shù)學(xué)規(guī)劃等許多問題的研究.在一定條件下，經(jīng)濟(jì)金融中的均衡問題、交通網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸問題、物理中的一部分流體力學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為某一形式的變分不等式問題來加以研究.由于現(xiàn)實(shí)世界中的許多問題都會(huì)涉及的非線性和不確定性問題的處理，從而對(duì)非線性和隨機(jī)變分不等式的研究得到了許多作者的關(guān)注與研究[1-15].

本文的目的是研究一類Hilbert空間中的Minty型廣義隨機(jī)非線性變分不等式問題，并在適當(dāng)?shù)臈l件和假設(shè)下，得到了關(guān)于這類廣義隨機(jī)非線性變分不等式問題的一些新的隨機(jī)解的存在性結(jié)果.

本文以下處處設(shè)(Ω，μ)是一可測(cè)空間.X是一可分的Hilbert空間，〈.，.〉，‖.‖非別表示X上的內(nèi)積和范數(shù)；β(X)表示X中的Borel子集的σ-代數(shù).

一個(gè)映像 u:Ω→X稱為可測(cè)的，如果?B∈β(X)，集合 {ω∈Ω:u(ω)∈B}∈μ一個(gè)映像T:Ω×X→X稱為隨機(jī)的，如果對(duì)于任給的x∈X，ω→T(ω，x) ＝y(tǒng)(ω)是可測(cè)的.

定義1 設(shè)T:Ω×X→X是一個(gè)隨機(jī)映像，稱T 為

(1)單調(diào)的，如果?x，y∈X，〈T(ω，x)-T(ω，y)，xy〉≥0，ω∈Ω.

(2)T稱為強(qiáng)單調(diào)的，如果存在一可測(cè)函數(shù)α:Ω ?(0，∞)，使得對(duì)任一ω∈Ω有〈T(ω，x)-T(ω，y)，xy)〉≥α(ω)‖x-y‖2，?x，y∈X；

(3)稱T為L(zhǎng)ipschity連續(xù)的，如果存在一可測(cè)函數(shù)β:Ω?(0，∞)，使得對(duì)一切ω∈Ω有

(4)T稱為半連續(xù)的，如果映像λ→T(ω，λx＋(1-λ)y):[0，1]→X對(duì)任給的序列{λn}?[0，1]

定義2 設(shè)K是X中的閉凸子集，S，T:Ω×X→X是兩個(gè)隨機(jī)算子.所謂的關(guān)于S和T的隨機(jī)Minty型廣義非線性變分不等式是求一可測(cè)映像x:Ω→K，使得

定義3 設(shè)K是X中的閉凸子集，S，T:Ω×X→X是兩個(gè)隨機(jī)算子，所謂的關(guān)于S和T的隨機(jī)Stampacchia型廣義非線性變分不等式是求一可測(cè)映像x:Ω →K，使得

引理1 設(shè)K是X中的閉凸子集，S，T:Ω×X→X是半連續(xù)的單調(diào)的隨機(jī)映像，則下列結(jié)論等價(jià):

(1)x:Ω→K是隨機(jī)Minty型廣義變分不等式(1.1)的隨機(jī)解；

(2)x:Ω→K是隨機(jī)Stampacchia型廣義非線性變分不等式(1.2)的隨機(jī)解；證明:(2)?(1)設(shè)x:Ω→K是隨機(jī)Stampacchia型廣義非線性變分不等式(1.2)的隨機(jī)解，故有

即x:Ω→K是隨機(jī)Minty型廣義非線性變分不等

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)X是一實(shí)的可分的Hilbert空間，K是X中之一閉凸子集.T:Ω×K→X是一個(gè)強(qiáng)單調(diào)Lipschitz連續(xù)的隨機(jī)算子，其相應(yīng)的強(qiáng)單調(diào)系數(shù)和Lipschitz系數(shù)(均為可測(cè)函數(shù))分別為

而S:Ω×K→X是一個(gè)Lipschitz連續(xù)的隨機(jī)算子，其Lipschitz系數(shù)為可測(cè)函數(shù)γ:Ω→(0，∞)，并且滿足下述條件則隨機(jī)Minty型廣義非線性變分不等式(1.1)有唯一的隨機(jī)解x?:Ω→K.

證明:因?yàn)镵是閉凸子集，由熟知的Hilbert空間中的極小化向量定理，對(duì)于每一y∈K和每一ω∈Ω存在唯一的x(ω)∈K，使得

由假定條件，隨機(jī)算子T是α-強(qiáng)單調(diào)，并且是β－Lipschitz連續(xù)的，其中α，β:Ω→(0，∞)是兩個(gè)可測(cè)函數(shù)，滿足0＜β2(ω)＜2α(ω)－γ(ω)，?ω∈Ω.

而S是γ-Lipschitz連續(xù)的，于是由(2.5)可得

則θ:Ω→(0，1)是一可測(cè)函數(shù)，故由(2.6)知道

F:Ω×K→K是一隨機(jī)的Banach壓縮映像，由隨機(jī)化的Bananch壓縮定理知道(參見 7[]):F存在一隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)，即存在可測(cè)映像x?:Ω→K，使得

故x?:Ω→K是隨機(jī)Stampacchia型廣義非線性變分不等式(1.2)的隨機(jī)解.

由引理1即知x?:Ω→K是隨機(jī)Minty型廣義非線性變分不等式(1.1)的隨機(jī)解.

定理1 易有下述結(jié)果:

定理2 設(shè)X是一實(shí)的可分的Hilbert空間，K是X中之一閉凸子集.T:Ω×K→X是一強(qiáng)單調(diào)的Lipschitz連續(xù)的隨機(jī)算子，其相應(yīng)的強(qiáng)單調(diào)系數(shù)和Lipschitz系數(shù)(均為可測(cè)函數(shù))分別是α:Ω→(0，∞)，β:Ω→[0，∞)并滿足條件:0＜β2(ω)＜2α(ω)，?ω∈Ω則下述隨機(jī)Minty型非線性變分不等式〈T(ω，y)，y－x (ω)〉≥0，?y∈K，ω∈Ω有唯一的隨機(jī)解x?:Ω→K.

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(責(zé)任編輯：付強(qiáng)，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯：周序林)

A class of generalized random nonlinear variational inequalities in Hilbert spaces

ZHOU Wu

(School of Computer Science and Technology，Southwest University for Nationalities，Chengdu 610041，P.R.C.)

This paper introduces and studies generalized random nonlinear Minty variational inequalities in Hilbert spaces.Under some suitable conditions，the equivalent relationship is obtained between generalized random nonlinear Minty variational inequalities and generalized random nonlinear Stampacchia variational inequalities.Using the radom Banach fixed point theorem，some new results of random solutions for this class of random varational inequalities in the setting of Hilbert spaces are obtained.

random varational inequality；random operator；random fixed point；existence

O177.1

A

2095-4271(2016)04-0443-03

10.11920/xnmdzk.2016.04.013

2015-10-13

周武(1962－)，男，漢族，四川人，副教授，研究方向:運(yùn)籌學(xué).