金 鑫, 梁 軍

(浙江大學 控制科學與工程學院,浙江 杭州 310027)

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基于動態(tài)PLS框架的多變量無靜差預(yù)測控制

金 鑫, 梁 軍

(浙江大學 控制科學與工程學院,浙江 杭州 310027)

針對動態(tài)偏最小二乘(DyPLS)建模方法容易導(dǎo)致模型與實際系統(tǒng)的失配,使控制系統(tǒng)產(chǎn)生靜差的問題,提出基于DyPLS框架的多變量系統(tǒng)無靜差模型預(yù)測控制(MPC)方法.將基于狀態(tài)空間模型的MPC方法推廣到DyPLS框架下.在內(nèi)模型中采用狀態(tài)空間模型描述系統(tǒng)的動態(tài)過程,利用該模型設(shè)計MPC控制器.該方法將內(nèi)模型的狀態(tài)作為控制系統(tǒng)的反饋,由于模型的失配導(dǎo)致該狀態(tài)不能準確地描述系統(tǒng)的實際狀態(tài),導(dǎo)致了靜差的存在.對該框架下的狀態(tài)空間模型進行增廣,引入擾動模型,利用狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)輸出與模型輸出的偏差.給出該增廣模型的能觀測性條件.為了采用卡爾曼濾波器的方法求取觀測器的增益矩陣,分析原空間的數(shù)據(jù)投影到潛變量空間后變量方差的變化情況.該方法在控制中引入了輸出反饋,保證了控制的無靜差跟蹤特性,能夠抑制系統(tǒng)中的不可測擾動.Jerome-Ray的精餾塔模型的仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性.

偏最小二乘；模型預(yù)測控制(MPC)；狀態(tài)空間模型；無靜差控制

模型預(yù)測控制(MPC)是一種利用數(shù)學模型來預(yù)測系統(tǒng)輸出的啟發(fā)式控制方法. MPC算法使用的模型有階躍、脈沖響應(yīng)模型或輸入輸出模型. Muske等[1]提出基于狀態(tài)空間模型的預(yù)測控制算法.輸入輸出模型可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型[2].基于狀態(tài)空間模型的MPC算法得到了廣泛的應(yīng)用.

保證系統(tǒng)輸出對設(shè)定值的無靜差跟蹤是控制系統(tǒng)的重要性能指標之一.在過程存在擾動或者模型和過程不匹配時,這一指標顯得更重要.解決該類無靜差控制問題主要有以下3種方法.1)利用擾動模型對系統(tǒng)的狀態(tài)模型進行增廣.增廣后的系統(tǒng)可以處理擾動和模型失配的問題[3-5].2)利用內(nèi)模原理的思想,將積分器一類的設(shè)定值的內(nèi)模型納入到控制器中[6-8].3)將狀態(tài)空間模型改寫成增量的形式[9-10].增量狀態(tài)空間模型的狀態(tài)變量由原模型的狀態(tài)變量的增量和原模型輸出的增量組成,而模型的輸入變量是系統(tǒng)的控制增量.

計算機技術(shù)的發(fā)展使得利用海量大維數(shù)的數(shù)據(jù)建模成為可能.對于大維數(shù)的數(shù)據(jù)來說,不同變量間的數(shù)據(jù)具有較高的相關(guān)性.而系統(tǒng)的運行范圍往往小于數(shù)據(jù)所代表的維數(shù),因此,發(fā)展出提取主元的數(shù)據(jù)降維方法.偏最小二乘(partial least square, PLS)是用于建立兩組數(shù)據(jù)間函數(shù)關(guān)系的降維建模方法.PLS算法的優(yōu)點是能夠?qū)⒍嘧兞康幕貧w問題解耦成多個不相關(guān)的單變量回歸問題,并能夠處理非方系統(tǒng)和數(shù)據(jù)的病態(tài)問題.利用PLS降維和自動解耦的特點,許多學者將其應(yīng)用于動態(tài)過程數(shù)據(jù)的建模.Kaspar等[11-12]將PLS的負載矩陣P和Q作為實際系統(tǒng)的預(yù)補償器和后補償器,通過這兩種補償器來描述系統(tǒng)的動態(tài)過程.Chen等[13]在PLS的內(nèi)模型中引入ARX模型來描述動態(tài)過程.Laur 等[14]提出基于PLS的MPC相關(guān)辨識方法來得到DyPLS模型. 隨著這些動態(tài)PLS建模方法的發(fā)展,許多新的控制策略得以提出.Kaspar等[11]提出DyPLS框架下的PID控制策略.Chen等[13]在此基礎(chǔ)上提出具有解耦結(jié)構(gòu)的多回路自適應(yīng)PID控制策略.Hu等[15-16]將內(nèi)模控制策略拓展到DyPLS模型中,得到了較好的抑制擾動的性能.Lv等[17]提出多回路的約束控制策略,研究DyPLS框架下MPC變量約束的處理方法.

本文將狀態(tài)空間模型MPC方法拓展到DyPLS框架下,對DyPLS潛變量空間中的每個子模型分別設(shè)計獨立的狀態(tài)空間模型MPC控制器.通過引入擾動模型和狀態(tài)觀測器的方法來保證控制器的無靜差跟蹤性能.

1 DyPLS 建模和控制方法

1.1 DyPLS 建模方法

傳統(tǒng)的PLS算法由提取主元的外模型和建立輸入輸出數(shù)據(jù)得分矩陣函數(shù)關(guān)系的內(nèi)模型組成[18].假定X和Y分別表示一個l×m維的輸入數(shù)據(jù)矩陣和一個l×n維的輸出數(shù)據(jù)矩陣, 其中l(wèi)、m和n分別為樣本個數(shù)、輸入變量的維數(shù)和輸出變量的維數(shù).

通過對X和Y進行迭代計算提取主元來獲得PLS的外部模型：

(1)

式中：R為主元(潛變量)個數(shù) (由于PLS的降維特性,通常情況下R滿足R≤max(m,n))；pr和qr分別為負載矩陣P和Q的第r個負載向量；tr和ur分別為得分矩陣T和U的第r個得分向量；E*和F*分別為X和Y的殘差矩陣.

在內(nèi)模型中,通過對T和U進行最小二乘計算,可以得到回歸矩陣B.

(2)

式中：

B=(TTT)-1TTU=diag [b1,…,bR] ;

T=[t1,t2,…,tR]T.

將式(2)代入式(1),可以得到輸入輸出數(shù)據(jù)矩陣的回歸方程：

(3)

傳統(tǒng)PLS方法的回歸方程僅具有代數(shù)方程的結(jié)構(gòu),因而無法處理動態(tài)系統(tǒng)的建模問題.許多學者通過引入時間序列分析或者動態(tài)濾波器的方法來改進傳統(tǒng)的PLS結(jié)構(gòu),使其能夠處理動態(tài)系統(tǒng)的建模問題.本文采用Lakshminaravanan 等[19]提出的以ARX模型作為PLS的內(nèi)模型來描述得分矩陣間動態(tài)關(guān)系的方法來描述系統(tǒng)的動態(tài)特性.內(nèi)模型的結(jié)構(gòu)為

ur(k)=Ar(q-1)ur(k-1)+Br(q-1)tr(k)+ξr(k)=[ur(k-1),…,ur(k-na),tr(k-1),…,tr(k-nb)]×

[ar,1,…,ar,na,br,1,…,br,nb]T+ξr(k)=

(4)

式中：

Ar(q-1)=-ar,1-ar,2q-1-ar,naq-na+1,

Br(q-1)=br,1q-1+br,2q-2…+br,nbq-nb,

U(k)QT+F*(k) .

(5)

式中：U(k)=diag[u1(k),u2(k),…,uR(k)].

1.2 DyPLS 框架下的控制器設(shè)計

Kaspar等[12]提出的DyPLS控制器設(shè)計框架如圖1所示.圖中,Wx和Wy為輸入數(shù)據(jù)X和輸出數(shù)據(jù)Y對角形式的權(quán)重矩陣,作用是對數(shù)據(jù)進行歸一化處理；Gc、Gp和Gd分別表示控制器、被控對象和系統(tǒng)的擾動；P和Q分別為輸入數(shù)據(jù)X和輸出數(shù)據(jù)Y的負載矩陣；Q+為Q的逆矩陣；Yset為系統(tǒng)的設(shè)定值；D為系統(tǒng)的擾動序列.與傳統(tǒng)控制策略將實際物理量作為控制器的輸入和輸出響應(yīng)不同的是,該框架將系統(tǒng)的輸入和輸出投影到潛變量空間中,控制器的輸入是得分矩陣U,輸出是得分矩陣T,潛變量空間中的各個子控制器同時對Yset在潛變量空間中的投影Uset和U的偏差進行響應(yīng).將求出的控制器輸出T反投影到原空間中,作為系統(tǒng)的輸入信號發(fā)送給系統(tǒng)的執(zhí)行器.該DyPLS框架的優(yōu)點是將多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)系統(tǒng)解耦成潛變量空間中的多個單輸入單輸出(single input single output, SISO)子系統(tǒng),使多變量系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為相互獨立的多個SISO控制問題.

圖1 Kaspar 等[12]提出的PLS控制框架Fig.1 PLS control framework proposed by Kaspar[12]

2 基于DyPLS框架的無靜差預(yù)測控制器設(shè)計

2.1 基于DyPLS框架的狀態(tài)空間MPC

在一些文獻中,PLS被稱為隱空間投影法(latent subspace project method)[20].該方法與子空間辨識法(subspace identification method)是不同的.對于MIMO系統(tǒng)來說,子空間辨識法是一種在原空間中辨識系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法,沒有將原空間中的輸入輸出變量投影到潛變量空間中,也沒有將MIMO系統(tǒng)解耦成多個SISO子系統(tǒng).子空間辨識法不適用于本文設(shè)計的DyPLS框架下的狀態(tài)空間MPC.

為了描述簡便,作如下兩點假設(shè)：假設(shè)式(4)中的模型誤差ξr(k)為零；假設(shè)ARX模型時延系數(shù)na=nb.第r個潛變量ARX 模型(見式(4))可以轉(zhuǎn)換成如下狀況空間模型的形式[2]：

(6)

令Np,r和Nc,r分別表示控制器的預(yù)測時域和控制時域.Np,r的選取要大于模型的時滯部分,并覆蓋動態(tài)響應(yīng)的主要部分.Nc,r應(yīng)滿足Nc,r<=Np,r,且根據(jù)需求選取恰當?shù)闹狄詫崿F(xiàn)在控制靈敏度和穩(wěn)定性間達到平衡的目的.模型輸出ur的Np,r步前向預(yù)測為

(7)

式中：

考慮如下有限時域二次目標函數(shù)：

(8)

式中：uset,r為系統(tǒng)設(shè)定值在潛變量空間中的投影；δr(j)和λr(j)為權(quán)重系數(shù)序列；δr反映了對未來Np,r個不同時刻逼近的重視程度；δr(j)可以均取為1,表示對各個時刻的重視程度相同,或者適當增大某一個δr(j),以提高對某一時刻的重視程度.由PLS迭代提取潛變量的機制[11]可知,第一個潛變量對系統(tǒng)的描述程度最大,后提取的潛變量對系統(tǒng)的描述程度逐漸降低.對于r個不同潛變量控制器的權(quán)重δr均取1,表示對于不同潛變量控制器的重視程度遵循了各個潛變量描述系統(tǒng)的能力.控制增量權(quán)重λr的作用是對Δtr的劇烈變化加以適度限制.當不需要考慮控制器動作的劇烈程度時,可以令λr(j)為零或等于一個很小的值.當λr(j)增大時,相當于在控制器中加入一個軟約束來抑制控制器的執(zhí)行動作幅度,使系統(tǒng)的響應(yīng)變慢,但會提高系統(tǒng)的魯棒性.

將式(7)代入式(8)并求解最小化問題Jr, 可得得分向量的未來增量Δtr的最優(yōu)化合集為

(9)

式中：δr=diag[δr(1),…,δr(Np,r)],λr=diag[λr(0),…,λr(Nc,r-1)],uset,r(k)=[uset,r(k+1),…,uset,r(k+Np,r)]T.

然后對ΔX進行積分得到下一時刻的系統(tǒng)輸入值.

X(k)=X(k-1)+ΔX(k).

從式(7)可以看出,潛變量中的各個SISO控制器是相互獨立的,已經(jīng)實現(xiàn)了控制回路的匹配.該回路的匹配是在潛變量空間中實現(xiàn)的,與原空間中的輸入輸出變量無關(guān),因此采用該方法可以處理非方系統(tǒng)的控制問題.對于各個潛變量的控制器來說,目標函數(shù)式(8)的計算是相互獨立的,運算的復(fù)雜程度較傳統(tǒng)的MIMO系統(tǒng)MPC算法低.

圖2 基于DyPLS框架的狀態(tài)空間MPC控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of state space MPC control scheme in DyPLS framework

2.2 無靜差MPC

通過引入擾動模型和狀態(tài)觀測器的方法來解決控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差問題.在每個采樣時刻,當前時刻或者未來時刻的擾動通常都無法測量.假設(shè)系統(tǒng)的擾動是常值擾動,擾動值在整個預(yù)測時域中為定值.以該擾動來估計狀態(tài)空間模型的輸出ur,得到增廣的狀態(tài)空間模型形式：

(10)

ur的Np,r步前向預(yù)測改寫為

(11)

式中：

因為式(6)不能充分描述系統(tǒng)的狀態(tài),引入狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的狀態(tài)進行估計[21].在引入狀態(tài)觀測器前,給出式(10)的能觀測性條件.

命題1 增廣狀態(tài)空間模型式(10) 能觀測,當且僅當(Ar,Cr)能觀測,

(12)

證明：根據(jù)Hautus能觀測性定理可知,增廣狀態(tài)空間模型式(10)是能觀測的當且僅當?λ,式(13)是行滿秩的.

(13)

當且僅當(Ar,Cr)能觀測,式(13)的第一行是線性不相關(guān)的.λ決定了式(13)第二行的線性相關(guān)性.當且僅當λ≠1時,式(13)的第二行是線性不相關(guān)的.根據(jù)Hautus能觀測性定理可知,式(10)的能觀測性條件只需要滿足λ≠1,即式(12)成立.證畢.

增廣狀態(tài)空間模型式(10)的狀態(tài)觀測器可以定義為

xr(k+1)=Arxr(k)+Brtr(k)+Brdr(k)+

(14)

卡爾曼濾波器的方法要求系統(tǒng)和測量的噪聲滿足高斯分布,并通過噪聲的協(xié)方差來計算增益矩陣.在潛變量空間中使用卡爾曼濾波器,需要知道原空間中數(shù)據(jù)投影到潛變量空間后噪聲協(xié)方差的變化情況.令σr表示第r個潛變量的得分向量的噪聲方差.

命題2σr是矩陣Q+的第r列向量元素的和.

證明：由式(1)可知,得分矩陣U的計算公式為

由式(11)可得,得分向量的未來增量Δtr的最優(yōu)化合集為

(15)

利用式(14)的狀態(tài)變量代替式(15)中的xr,可得Δtr的求取公式.

3 仿真研究

Jerome-Ray精餾塔模型是一個具有右半平面零點的最小相位系統(tǒng)[23].許多控制算法采用該模型進行驗證.系統(tǒng)的模型為

(16)

為了模擬實際系統(tǒng)存在擾動的運行情況,給系統(tǒng)模型加入如下的擾動模型[24]：

(17)

圖3 用于建立DyPLS模型的輸入輸出數(shù)據(jù)Fig.3 Input and output data to model DyPLS system

為了驗證該方法的有效性,采用基于狀態(tài)空間MPC (state space MPC, SMPC)、DyPLS框架下的狀態(tài)空間MPC(state space MPC in DyPLS, SMDP)和無靜差SMDP(offset free state space MPC in DyPLS, OSMDP) 3種方法進行對比仿真實驗.為了建立系統(tǒng)的DyPLS模型,選擇設(shè)定值為[-1,1]的隨機階躍信號激勵系統(tǒng).加入一個零均值方差為0.5的白噪聲信號作為擾動信號的輸入.用于激勵系統(tǒng)模型的信號如圖3所示.利用同樣參數(shù)生成另外一組隨機信號以驗證建模的有效性,建模的結(jié)果如圖4所示.

圖4 DyPLS建模結(jié)果Fig.4 Modeling results of DyPLS

為了確定所提取的潛變量個數(shù),定義如下性能指標：

圖5 無擾動時SMPC的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation result of SMPC without disturbance

圖6 無擾動時SMDP的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result of SMDP without disturbance

圖7 無擾動時OSMDP的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of OSMDP without disturbance

為了驗證控制器的控制性能,進行4 000步的仿真.在第200～1 400步和第600～2 000步時分別給y1和y2一個幅值為2的階躍信號.在第2 500～3 500步時,給y1一個不可測的恒值擾動信號.仿真結(jié)果如圖5～7所示.為了驗證3種方法在系統(tǒng)存在擾動時的控制性能,對擾動模型Gd加入一個零均值方差為0.5的白噪聲信號作為擾動信號的輸入,并重新進行上述的4 000步仿真實驗.仿真結(jié)果如圖8～10所示.仿真中3種方法的控制時域和預(yù)測時域參數(shù)如表1所示.表中，tc為計算時間.

圖8 存在擾動時SMPC的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of SMPC with disturbance

圖9 存在擾動時SMDP的仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of SMDP with disturbance

Tab.1 Parameter for three control algorithms and computing time

方法NpNutc/msSMPC95406．01SMDP65386．36OSDP65385．52

圖10 存在擾動時OSMDP的仿真結(jié)果Fig.10 Simulation results of OSMDP with disturbance

由于預(yù)測模型和系統(tǒng)模型存在偏差,SMPC和SMDP的控制方法存在穩(wěn)態(tài)誤差.OSDP由于在DyPLS的內(nèi)模型中引入了狀態(tài)觀測器使模型失配得以補償,取得了無靜差的跟蹤性能.

4 結(jié) 語

本文提出基于DyPLS框架的具有無靜差跟蹤特性的狀態(tài)空間模型預(yù)測控制方法.該方法具有以下5個特點：1)DyPLS框架下的狀態(tài)空間模型比MIMO狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)簡單；2)可以將MIMO系統(tǒng)解耦成多個SISO子系統(tǒng)；3)可以自動進行控制回路的匹配；4) 能夠處理非方系統(tǒng)的控制問題；5) 對于維數(shù)較大的系統(tǒng)來說,采用DyPLS方法可以降低系統(tǒng)維數(shù).由于DyPLS模型和系統(tǒng)的實際模型之間存在偏差,控制結(jié)果往往存在靜差.為了解決該問題,將狀態(tài)空間模型增廣為包含恒值擾動模型的形式,并引入狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)的狀態(tài).為了利用卡爾曼濾波器求取觀測器的增益矩陣,分析原變量空間投影到潛變量空間后,數(shù)據(jù)的方差關(guān)系.該方法的使用將提高DyPLS模型與系統(tǒng)模型匹配精度的問題轉(zhuǎn)化為估計潛變量空間中各得分向量的方差問題,從而使問題得以簡化.仿真的結(jié)果表明,OSDP能夠取得很好的無靜差跟蹤設(shè)定值的控制性能,并能夠抑制系統(tǒng)中存在的不可測擾動.

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Multivariable offset free model predictive control in dynamic PLS framework

JIN Xin, LIANG Jun

(CollegeofControlScienceandEngineering,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

An offset free model predictive control (MPC) in the DyPLS framework was proposed in order to deal with the problem of system offset which was caused by mismatch between actual plant and dynamic partial least square (DyPLS) model. State space MPC was extended into the DyPLS framework. The state space model was used in inner model to describe the system dynamic, and state space MPC controller was designed. The state of inner model was as the feedback of the control system. This state can’t describe the real system state and results in offset due to model/plant mismatch. A disturbance model was introduced in the inner state space model in order to solve the problem. A state observer was used to estimate the error between the inner model and system output. Observability condition of augmented model was given. The covariance that the original space data were projected to the latent variable space was analyzed in order to calculate the gain matrix of the observer with Kalman filter. The method used the system output as feedback in the control scheme. The offset free tracking was guaranteed and unmeasured step disturbance can be rejected. The simulation results based on Jerome-Ray distillation column model demonstrated the effectiveness of proposed method.

partial least square; model predictive control (MPC); state space model; offset free control

2015-11-09. 浙江大學學報(工學版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

國家自然科學基金資助項目(61174114,U1509203)；教育部高校博士點基金優(yōu)先領(lǐng)域資助項目(20120101130016)；浙江省公益性技術(shù)應(yīng)用研究計劃資助項目(2014C31019).

金鑫(1986—),男,博士生,從事預(yù)測控制方法的研究.ORCID: 0000-0002-1904-9424.E-mail: xjin@iipc.zju.edu.cn 通信聯(lián)系人：梁軍,男,教授.ORCID: 0000-0003-1115-0824.E-mail: jliang@iipc.zju.edu.cn

10.3785/j.issn.1008-973X.2016.04.021

TP 273

A

1008-973X(2016)04-0750-09