●黃琴 張興筑

推理“三助手”

●黃琴 張興筑

不斷提出問題是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的必經(jīng)過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是在問題的驅(qū)動(dòng)下，利用圖形和符號(hào)不斷進(jìn)行推理的過程，問題、圖形和符號(hào)與推理密不可分。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，使推理有根據(jù)

問題情境的創(chuàng)設(shè)可以激發(fā)學(xué)生的深入思考，使學(xué)生的思維活動(dòng)向著縱深方向發(fā)展。

執(zhí)教人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》的鞏固訓(xùn)練環(huán)節(jié)，筆者出示思考題：設(shè)x1、x2是一元二次方程2x2+3x-1=0的兩個(gè)根，求代數(shù)式的值。剛開始學(xué)生的普遍做法是：先解一元二次方程2x2+3x-1=0，求得，再把x1、x2的值代入原式求值。計(jì)算過程比較麻煩。這時(shí)有一位學(xué)生提出：“老師，這道題有沒有其他簡(jiǎn)便的方法？”筆者借機(jī)讓學(xué)生仔細(xì)觀察原式，找出特點(diǎn)。學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)原式能化成，只要能求出x1+x2和 x1x2的值，就可以求出原式的值。x1+x2和x1x2的值又是多少呢？這就巧妙地聯(lián)系了這節(jié)課的重點(diǎn)教學(xué)環(huán)節(jié)：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的求解。根據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合題設(shè)，學(xué)生很容易求出x1+x2和x1x2的值，再將數(shù)值代入轉(zhuǎn)化后的代數(shù)式即可得解。

以上教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)問題，通過觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證等思維活動(dòng)，讓學(xué)生自己去思考、探究，巧妙運(yùn)用已學(xué)知識(shí)“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”得出問題解決的簡(jiǎn)便路徑。。

二、巧用圖形，使推理更直觀

圖形直觀形象，而且根據(jù)圖形能提煉出很多有價(jià)值的東西。教學(xué)過程中，教師巧妙地運(yùn)用圖形，可以使學(xué)生的思路更清晰、推理更直觀。

執(zhí)教人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)《實(shí)際問題與一元二次方程》的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者出示思考題：某縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)有一個(gè)長(zhǎng)30米，寬20米的矩形綠地，擴(kuò)建校園時(shí)，準(zhǔn)備把綠地的長(zhǎng)、寬各增加x米。設(shè)增加的面積為y平方米，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。剛開始學(xué)生沒有畫圖，用的是代數(shù)加減法，因?yàn)樵黾拥拿娣e＝新矩形的面積－原矩形的面積，所以y＝(x+ 30)(x+20)-30×20=x2+50x。筆者在肯定學(xué)生的算法后，在黑板上畫出如下圖所示圖形，讓學(xué)生運(yùn)用幾何割補(bǔ)法推導(dǎo)出圖中陰影部分的面積。學(xué)生的思路頓時(shí)被打開了。有的說(shuō)：連接CE、CM和CP。因?yàn)镾陰影=SΔCBE+SΔCEM+SΔCMP+SΔDCP，所以。有的說(shuō)，延長(zhǎng)BC交PM于點(diǎn)N。因?yàn)镾陰影=S矩形BEMN+S矩形DCNP,所以S陰影=x(x+20)+30x=x2+50x。有的說(shuō)：延長(zhǎng)DC交EM于點(diǎn)F。因?yàn)镾陰影=S矩形PDFM+S矩形CBEF，所以S陰影=x(x+30)+20x= x2+50x。還有的說(shuō)：連接CM，因?yàn)镾陰影=S梯形CBEM+S梯形PDCM，所以。

從上例可以看出，在沒有圖形的背景下，學(xué)生的思維難于打開，推理方法單一；有了圖形，學(xué)生可以進(jìn)行多重推理。

三、借助符號(hào)，使推理更簡(jiǎn)捷

符號(hào)可以簡(jiǎn)約有效地表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律。借助符號(hào)，能使推理更加簡(jiǎn)便快捷。

同樣是執(zhí)教《實(shí)際問題與一元二次方程》，在鞏固訓(xùn)練環(huán)節(jié)，筆者出示思考題：甲、乙兩人同時(shí)在同一糧店購(gòu)買糧食兩次（假設(shè)兩次購(gòu)買糧食的單價(jià)不同），甲每次購(gòu)買糧食100千克，乙每次購(gòu)買糧食用去100元。若規(guī)定誰(shuí)兩次購(gòu)買糧食的平均單價(jià)低，誰(shuí)的購(gòu)糧方式就合算。據(jù)此推斷甲、乙兩人的購(gòu)糧方式中哪一個(gè)更合算？這道推理題，光靠文字語(yǔ)言，很難把道理說(shuō)清楚，因?yàn)閮纱钨?gòu)買糧食的單價(jià)都不知道。此處需要借助符號(hào)語(yǔ)言，將兩次購(gòu)買糧食的單價(jià)分別用不同的字母來(lái)表示，再進(jìn)行推理就容易很多。具體來(lái)說(shuō)，可設(shè)甲、乙兩人第一次購(gòu)買糧食的單價(jià)為x元/千克，第二次購(gòu)買糧食的單價(jià)為y元/千克，再設(shè)甲兩次購(gòu)買糧食的平均單價(jià)為M元/千克,乙兩次購(gòu)買糧食的平均單價(jià)為N元/千克。則，所以。因?yàn)閤＞0，y＞0且 x≠y，所以M-N＞0，M＞N。由此推斷出乙的購(gòu)糧方式更合算。

推理貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，推理能力的形成和提升需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程。教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住問題、圖形和符號(hào)等影響推理的關(guān)鍵因素，逐步增強(qiáng)學(xué)生們問題意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)和符號(hào)意識(shí)。

（作者單位：房縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）