程曉云，胡志興

(1.西安培華學(xué)院 通識教育中心，西安 710065； 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，西安 710069；3.北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

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一類具有Logistic增長的SIQS傳染病模型

程曉云1,2，胡志興3

(1.西安培華學(xué)院 通識教育中心，西安 710065； 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，西安 710069；3.北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

建立了一類具有Logistic增長的SIQS傳染病模型，利用Hurwitz判據(jù)、Lasalle不變原理及Dulac判別法等，證明了疾病消除平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，及在無因病死亡時(shí)地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.而且對所得結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬.

傳染病模型；平衡點(diǎn)；局部漸近穩(wěn)定；全局漸近穩(wěn)定

傳染病動力學(xué)是研究傳染病的一種重要方法，它是根據(jù)種群成長的特性，疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播規(guī)律，建立反映傳染病動力學(xué)特征的數(shù)學(xué)模型.通過對模型動力學(xué)狀態(tài)的定性、定量分析及數(shù)值模擬，預(yù)測疾病的發(fā)展趨勢，并尋求疾病流行原因和關(guān)鍵因素，從而為傳染病的預(yù)防和控制提供一定的指導(dǎo).眾所周知，在傳染病的控制中，對染病者隔離是重要的措施，因此考慮具有隔離項(xiàng)的傳染病模型具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1 模型的建立

文獻(xiàn)[1-5]研究了對染病者進(jìn)行隔離的傳染病模型，文獻(xiàn)[6-9]研究了具有Logistic增長的傳染病及生態(tài)模型.本文將研究染病種群隔離且隔離恢復(fù)后不具免疫力的具有Logistic增長的SIQS傳染病模型.疾病的傳播機(jī)制如下：

圖1 疾病的傳播機(jī)制圖

由圖1建立相應(yīng)的傳染病模型：

(1)

該模型參數(shù)除α為非負(fù)數(shù)外，其余均為正.其中S、I、Q分別表示t時(shí)刻易感種群、染病種群及隔離種群的數(shù)量，β、γ分別表示疾病的傳染率和恢復(fù)率，δ表示對染病種群的隔離率，α表示染病種群和被隔離種群的因病死亡率，ε表示隔離種群的恢復(fù)率.種群數(shù)量N=S+I+Q滿足方程：

(2)

當(dāng)種群無疾病傳播時(shí)，種群的增長符合Logistic方程：

其中η=b-d表示種群的內(nèi)稟增長率，b和d分別表示種群的自然出生率和自然死亡率，且假設(shè)因病死亡率比自然死亡率要小，即α

作歸一化變換：x=S/N,y=I/N,z=Q/N，則x+y+z=1.于是模型(1)和(2)等價(jià)于模型(3)：

(3)

系統(tǒng)(3)在xyN空間的正向不變集：

(4)

2 平衡點(diǎn)的存在性

定理1 系統(tǒng)(3)在區(qū)域D內(nèi)總存在平衡點(diǎn)E1(0,0,K)；當(dāng)R0>1，φ<1時(shí)，存在正平衡點(diǎn)E2(y2,z2,N2).其中

3 疾病消除平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理2 當(dāng)R0≤1時(shí)，疾病消除平衡點(diǎn)E1在區(qū)域D內(nèi)全局漸近穩(wěn)定.

證明 通過求系統(tǒng)(3)在E1處的Jacobian矩陣，容易證得當(dāng)R0<1時(shí)，E1局部穩(wěn)定.

下面分兩種情形證E1在區(qū)域D內(nèi)全局漸近穩(wěn)定：

1)若β>α作Liapunov函數(shù)V=y，由R0<1得β<(γ+δ+α+b)-η.

則

V=y[β-(γ+δ+α+b-η)-η(1-N/K)-(β-α)(y+z)]≤0

及最大不變集M=E={V′=0}={y=0}.由LaSalle不變原理及極限系統(tǒng)理論知識即證：只要初值N0>0，系統(tǒng)(3)從D內(nèi)出發(fā)的任一解都趨向于平衡點(diǎn)E1(0,0,K).

2)若β≤α構(gòu)造Liapunov函數(shù)V=y+z，V沿系統(tǒng)(3)的全導(dǎo)數(shù)：

V′=y(β-α)[1-(y+z)]-γy-(ε+α)z-(y+z)[b(1-N/K)+dN/K+αz]≤0

及最大不變子集M=E={V′=0}={y=0,z=0}.

4 地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理3 當(dāng)R0>1且φ<1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)(3)在E2處的Jacobian矩陣的特征方程：

H(λ)=λ3+mλ2+nλ+p=0，

(5)

其中m=ηN2/K+(β-α)y2+(ε+α+d-αz2)>0，

n=αN2η/K(y2+z2)+(β-α)(ε+δ+α+d)y2+ηN2/K[(β-α)y2+(ε+α+d-αz2)]>0，

p=ηN2/Ky2(β-α)(ε+δ+α+d)+αN2ηy2/K(ε+δ+α+d)>0，

則 mn-p=(ε+δ+α+d)y2{(β-α)[(β-α)y2+(ε+α+d-αz2)]-αN2η/K}+

m{αN2η/K(y2+z2)+ηN2/K[(β-α)y2+(ε+α+d-αz2)]}，

令f(β)=(β-α)[(β-α)y2+(ε+α+d-αz2)]-αN2η/K,并將y2,z2,N2代入，可得

f(β)=(ε+α+d)β3+[(ε+α+d)(ε-γ-2α)-αδ]β2+

α(ε+α+d)(2γ+δ+2α+d-ε)β+(ε+δ+α+d)(α2-αη)β+

αδ(γ+δ+2α+d)β-2α2(γ+δ+α+d)(ε+δ+α+d)，

及 f?(β)=6(ε+α+d)>0，故f″(β)>f″(γ+δ+α+d).

又f″(γ+δ+α+d)=(ε+α+d)(4γ+6δ+2α+6d+2ε)-2αδ>0，故f′(β)單調(diào)遞增，因此f′(β)>f′(γ+δ+α+d).而

f′(γ+δ+α+d)=(ε+α+d)[(γ+δ+α+d)(α+γ+3δ+2ε+3d)-α(ε+δ+d)-αη+α2]-

αδ(γ+δ+d)-αηδ+α2δ

>(ε+α+d)[(γ+δ+α+d)(α+γ+3δ+2ε+3d)-α(ε+δ+d)]-

αδ(γ+δ+d)>0，

所以f(β)單調(diào)遞增，故f(β)>f(γ+δ+α+d).

又

f(γ+δ+α+d)=(γ+δ+α+d)(ε+δ+α+d)[α(γ+δ+d-η)+(ε+d)(γ+δ+d)]，

因?yàn)棣?d，故f(γ+δ+α+d)>0，即得f(β)>0.于是mn-p>0.由Hurwitz判據(jù)知，特征方程(5)的根均具有負(fù)實(shí)部，命題得證.

5 無因病死亡時(shí)平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

當(dāng)α=0時(shí)，系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

(6)

定理5 當(dāng)R0′<1時(shí)，系統(tǒng)(6)的無病平衡點(diǎn)E1′(0,0,K)在區(qū)域D′內(nèi)全局漸近穩(wěn)定.

證明 當(dāng)R0′<1時(shí)，容易證得平衡點(diǎn)E1′局部漸近穩(wěn)定.

構(gòu)造Liapunov函數(shù)V=I，顯然有V′≤0，且最大不變子集M′={V′=0}={I′=0}.

由Lasalle不變原理，點(diǎn)E1′在區(qū)域D′內(nèi)是全局吸引的，結(jié)合局部穩(wěn)定性，命題得證.

對系統(tǒng)(6)，由第三個方程可知，當(dāng)t→時(shí)，N→K.故系統(tǒng)(6)的極限系統(tǒng)為：

(7)

定理6 對極限系統(tǒng)(7)，當(dāng)R0′>1，惟一的地方病平衡點(diǎn)E2′在區(qū)域D″內(nèi)全局漸近穩(wěn)定.

證明 當(dāng)R0′>1時(shí)，容易證明E2′局部漸近穩(wěn)定.

由定理6并結(jié)合極限系統(tǒng)的理論知識，可得下面的定理：

定理7 當(dāng)R0′>1時(shí)，系統(tǒng)(6)的惟一正平衡點(diǎn)E2′在區(qū)域D″內(nèi)全局漸近穩(wěn)定，即當(dāng)無因病死亡時(shí)，系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

6 數(shù)值模擬及結(jié)論

圖2 β=0.01,α=0.005時(shí)系統(tǒng)(3)的軌線圖

為驗(yàn)證本文結(jié)果，對模型(3)的參數(shù)賦值，通過matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬.不妨令:K=1 000,b=0.05,d=0.01,γ=0.03,ε=0.2,δ=0.5.

初值:(0.8,0.08,300),(0.7,0.05,890),(0.46,0.27,680),(0.1,0.75,500).

1)令β=0.01，α=0.005，此時(shí)R0<1，系統(tǒng)(3)滿足定理2，則系統(tǒng)(3)的軌線的圖像如圖2.

圖2表明，系統(tǒng)(3)的軌線最終趨向于無病平衡點(diǎn)，即染病種群和隔離種群在總種群中的比例最終為零，此時(shí)傳染病是最終消除.

2)令β=0.8，α=0，此時(shí)R0′>1，系統(tǒng)(3)滿足定理7，則系統(tǒng)(3)的軌線的圖像如圖3.

圖3 β=0.8,α=0時(shí)系統(tǒng)(3)的軌線圖

圖4 β=0.8,α=0.005時(shí)系統(tǒng)(3)的軌線圖

圖3表明，系統(tǒng)(3)的軌線最終趨于正平衡點(diǎn)，即染病種群和隔離種群在總種群中所占的比例最終趨于某一不變的不為零的常數(shù)，此時(shí)傳染病最終不會消除而成為地方病.

3)令β=0.8，α=0.005，此時(shí)R0>1，系統(tǒng)(3)存在惟一正平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)(3)的軌線的相圖如圖4.

圖4表明，在存在因病死亡時(shí)，系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.因此推測定理7可放寬到因病死亡存在的情況，這種情況有待進(jìn)一步研究.

[1] 陳軍杰.幾個具有隔離的傳染病模型的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19(1):57-64.

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[4] 楊俊仙，徐麗.一類具有非線性發(fā)生率和時(shí)滯的傳染病模型的全局穩(wěn)定性[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2014，49(5)：67-74.

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[8]XIAOYan-ni，CHENLan-sun.Modelingandanalysisofapredator-preymodelwithdiseaseintheprey[J].MathematicalBiosciences，2001，171：59-82.

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[責(zé)任編輯 馬云彤]

A Class of SIQS Epidemic Model with Logistic Growth

CHENG Xiao-yun1, 2， HU Zhi-xing3

(1.General Education Center, Xi’an Peihua University, Xi’an 710065, China; 2.School of Mathematics, Northwest University,Xi’an 710069, China; 3. School of Applied Science,Beijing University of Science and Technology, Beijing 100083, China)

In this paper, a class of SIQS epidemic model with logistic growth is established, by using of the Hurwitz criterion, the Lasalle invariant principle and the Dulac discriminant method, etc., the global stability of the equilibrium point of disease elimination and the local stability of equilibrium point of endemic diseases are proved. Moreover, the obtained results are numerically simulated.

epidemic model; equilibrium point; local asymptotic stability; global asymptotic stability

1008-5564(2016)04-0026-05

2016-04-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61174209)

程曉云(1978—)，女，山西應(yīng)縣人，西安培華學(xué)院通識教育中心講師，西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院博士研究生，主要從事生物數(shù)學(xué)與邏輯代數(shù)研究; 胡志興(1962—)，男，陜西漢中人，北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事非線性動力系統(tǒng)與生物數(shù)學(xué)研究.

R51；O175.1

A